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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Do 19.06.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Polynomkongruenzen:
(a) [mm] $5X^2-8\equiv [/mm] 0(11)$
(b) [mm] $5X^2-8\equiv [/mm] 0(12)$ |
Hallo zusammen,
würde die Aufgabe so angehen: Zunächst gilt, dass die erste Polynomkongruenz wegen [mm] $11\in\mathbb{P}$ [/mm] maximal $2$ Lösungen haben kann, da das Polynom vom Grade $2$ ist.
Gesucht sind die Wurzeln der Polynomgleichungen über den Restklassenringen modulo 11 bzw. 12.
[mm] $\overline{5}X^2-\overline{8}=\overline{0}\Leftrightarrow \overline{5}X^2=\overline{8}$
[/mm]
Für die erste Kongruenz ist [mm] $\overline{5}=\overline{5+11}=\overline{16}$ [/mm] und es gilt
[mm] $\overline{16}X^2=\overline{8}\Leftrightarrow \overline{8}\cdot \overline{2}X^2=\overline{8}$.
[/mm]
Es folgt:
[mm] $\overline{8}\cdot \overline{2}X^2=\overline{8}\Leftrightarrow \overline{2}X^2=\overline{1}$. [/mm] Wegen [mm] $\overline{1}=\overline{12}=\overline{2}\cdot \overline{6}$ [/mm] folgt wiederum:
[mm] $\overline{2}X^2=\overline{1}\Leftrightarrow \overline{2}X^2=\overline{12}\Leftrightarrow \overline{2}X^2=\overline{2}\cdot \overline{6}\Leftrightarrow X^2=\overline{6}$.
[/mm]
Ich müsste also die Lösungen von [mm] $X^2=\overline{6}$ [/mm] bestimmen, aber wie kann ich das bewerkstelligen? Die Darstellung [mm] $X^2=6+11n$ [/mm] hilft mir auch nicht wirklich weiter, jedenfalls sehe ich nicht die Lösung.
Wäre nett, wenn jemand meinen Ansatz kommentieren könnte.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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> Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden
> Polynomkongruenzen:
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> (a) [mm]5X^2-8\equiv 0(11)[/mm]
> (b) [mm]5X^2-8\equiv 0(12)[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> würde die Aufgabe so angehen: Zunächst gilt, dass die erste
> Polynomkongruenz wegen [mm]11\in\mathbb{P}[/mm] maximal [mm]2[/mm] Lösungen
> haben kann, da das Polynom vom Grade [mm]2[/mm] ist.
>
> Gesucht sind die Wurzeln der Polynomgleichungen über den
> Restklassenringen modulo 11 bzw. 12.
>
> [mm]\overline{5}X^2-\overline{8}=\overline{0}\Leftrightarrow \overline{5}X^2=\overline{8}[/mm]
>
> Für die erste Kongruenz ist
> [mm]\overline{5}=\overline{5+11}=\overline{16}[/mm] und es gilt
> [mm]\overline{16}X^2=\overline{8}\Leftrightarrow \overline{8}\cdot \overline{2}X^2=\overline{8}[/mm].
>
> Es folgt:
> [mm]\}overline{8}\cdot \overline{2}X^2=\overline{8}\Leftrightarrow \overline{2}X^2=\overline{1}[/mm].
Hallo,
ja, weil 11 eine Primzahl ist, kannst Du mit dem Inversen von overline{8} multiplizieren.
> Wegen [mm]\overline{1}=\overline{12}=\overline{2}\cdot \overline{6}[/mm]
> folgt wiederum:
> [mm]\overline{2}X^2=\overline{1}\Leftrightarrow \overline{2}X^2=\overline{12}\Leftrightarrow \overline{2}X^2=\overline{2}\cdot \overline{6}\Leftrightarrow X^2=\overline{6}[/mm].
>
> Ich müsste also die Lösungen von [mm]X^2=\overline{6}[/mm]
> bestimmen, aber wie kann ich das bewerkstelligen? Die
> Darstellung [mm]X^2=6+11n[/mm] hilft mir auch nicht wirklich weiter,
Hallo,
doch.
Jede nat. Zahl X läßt bei Division durch 11 den Rest 0,1,2,...,9 oder 10.
Und nun schau Dir den Rest des Quadrates an.
Gruß v. Angela
> jedenfalls sehe ich nicht die Lösung.
>
> Wäre nett, wenn jemand meinen Ansatz kommentieren könnte.
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> Gregor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Do 19.06.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
> Hallo,
>
> doch.
>
> Jede nat. Zahl X läßt bei Division durch 11 den Rest
> 0,1,2,...,9 oder 10.
>
> Und nun schau Dir den Rest des Quadrates an.
>
Wenn ich [mm] $X\equiv [/mm] r (11)$ mit $r=1,2,3,4...,9,10$ betrachte, erhalte ich für das Quadrat [mm] $X^2\equiv r^2 [/mm] (11)$. Die Reste des Quadrates modulo 11 ergeben:
[mm] $1^2\equiv [/mm] 1(11)$
[mm] $2^2\equiv [/mm] 4(11)$
[mm] $3^2\equiv [/mm] 9(11)$
[mm] $4^2\equiv [/mm] 5(11)$
[mm] $5^2\equiv [/mm] 3(11)$
[mm] $6^2\equiv [/mm] 3(11)$
[mm] $7^2\equiv [/mm] 5(11)$
[mm] $8^2\equiv [/mm] 9(11)$
[mm] $9^2\equiv [/mm] 4(11)$
[mm] $10^2\equiv [/mm] 1(11)$.
Daraus würde ich schließen, dass es keine Lösung geben kann.
Viele Grüße
Gregor
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
> > jedenfalls sehe ich nicht die Lösung.
> >
> > Wäre nett, wenn jemand meinen Ansatz kommentieren könnte.
> >
> > Vielen Dank und viele Grüße
> > Gregor
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> Daraus würde ich schließen, dass es keine Lösung geben
> kann.
Hallo,
ja, zu diesem Schluß war ich auch gekommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 19.06.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
bei Aufgabe (b) würde ich ähnlich vorgehen:
Aus [mm] $\overline{5}X^2=\overline{8}$ [/mm] folgt:
[mm] $\overline{5}X^2=\overline{8}\Leftrightarrow \overline{5}X^2=\overline{20}$.
[/mm]
[mm] $\overline{5}X^2=\overline{20}\Leftrightarrow \overline{5}X^2=\overline{4}\cdot \overline{5}$
[/mm]
[mm] $X^2=\overline{4}$.
[/mm]
Mit [mm] $X\equiv [/mm] r(12)$ mit $r=1,2,...,10,11$ folgt:
[mm] $X^2\equiv r^2(12)$ [/mm] mit
[mm] $r^2\equiv [/mm] 1(12)$ für $r=1$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 4(12)$ für $r=2$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 9(12)$ für $r=3$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 4(12)$ für $r=4$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 1(12)$ für $r=5$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 0(12)$ für $r=6$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 1(12)$ für $r=7$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 4(12)$ für $r=8$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 9(12)$ für $r=9$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 4(12)$ für $r=10$
[mm] $r^2\equiv [/mm] 1(12)$ für $r=11$
Demnach sind [mm] $\overline{2}$, $\overline{4}$, $\overline{8}$ [/mm] und [mm] $\overline{10}$ [/mm] Lösungen der Polynomkongruenz.
Viele Grüße
Gregor
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Hallo,
ja, das habe ich auch.
Im Prinzip hätte man ja auch gleich alles in die Ausgangsgleichung einsetzen können.
Gruß v. Angela
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