Polynomraum < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Do 05.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich möchte nur kurz wissen, wie ich den Polynomraum [mm] P_n [/mm] , also den Raum aller Polynome vom Grad [mm] \le{n} [/mm] als Mengenschreibweise schreiben kann.
Ist habs mal so versucht:
[mm] P_n=\{p:\IR^m \to \IR | p=\summe_{i=0}^{n}a_ix^i , a_i\in\IR, x\in\IR^m\}
[/mm]
Also [mm] P_n [/mm] ist die Menge aller Funktionen p, die vom [mm] \IR^m [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden, die sich als gegebene Summe mit maximalen Exponenten n schreiben lassen, und die [mm] a_i [/mm] sind reelle Zahlen und die [mm] x_i [/mm] sind m-dimensionale Vektoren (aus meinem Ausgangsraum [mm] \IR^m).
[/mm]
Ist es so richtig?
LG, Nadine
:edit: Oder gilt der Begriff Polynom nur für Funktionen, die von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] abbilden?
|
|
| |
|
> Hallo zusammen!
>
> Ich möchte nur kurz wissen, wie ich den Polynomraum [mm]P_n[/mm] ,
> also den Raum aller Polynome vom Grad [mm]\le{n}[/mm] als
> Mengenschreibweise schreiben kann.
>
> Ist habs mal so versucht:
>
> [mm]P_n=\{p:\IR^m \to \IR | p=\summe_{i=0}^{n}a_ix^i , a_i\in\IR, x\in\IR^m\}[/mm]
>
> Also [mm]P_n[/mm] ist die Menge aller Funktionen p, die vom [mm]\IR^m[/mm] in
> den [mm]\IR[/mm] abbilden, die sich als gegebene Summe mit maximalen
> Exponenten n schreiben lassen, und die [mm]a_i[/mm] sind reelle
> Zahlen und die [mm]x_i[/mm] sind m-dimensionale Vektoren (aus meinem
> Ausgangsraum [mm]\IR^m).[/mm]
>
> Ist es so richtig?
Hmm, was hast Du Dir denn, für den Fall $m>1$, unter [mm] $x^i$ [/mm] für [mm] $x\in \IR^m$ [/mm] und [mm] $i\in \IN$ [/mm] im allgemeinen vorgestellt?
>
> :edit: Oder gilt der Begriff Polynom nur für Funktionen,
> die von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] abbilden?
Du benötigst jedenfalls eine geeignete Definition von [mm] $x^i$, [/mm] siehe oben. Es ist in Deiner "Definition" nicht klar, wie diese Operation aufzufassen ist. Du würdest jedenfalls zur Definition eines Polynoms mit Definitionsbereich [mm] $\IR^m$ [/mm] nicht nur eine Vektorraumstruktur (die der [mm] $\IR^m$ [/mm] natürlich ohne weiteres besitzt), sondern auch eine Ringstruktur benötigen.
Kurz: Du wirst wohl die [mm] $a_i$ [/mm] und $x$ aus einem Ring beziehen müssen. Die "Werte" eines solchen Polynoms wären dann aber wieder Elemente desselben Ringes, aus dem Du $x$ eingesetzt hast.
Was Du, andererseits, problemlos machen könntest wäre: Polynome in den Koordinaten eines [mm] $x\in\IR^m$ [/mm] zu betrachten. Solche Dinger kennst Du ja sicher aus der analytischen Geometrie. Auf diese Möglichkeit scheint Dein Versuch hinzudeuten, den Wert des Polynoms in [mm] $x\in \IR^m$ [/mm] als reelle Zahl aufzufassen (also, im Falle $m>1$, nicht mehr als Element von [mm] $\IR^m$).
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Do 05.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Raum der Polynome ist ein Vektorraum der erstmal nichts mit dem [mm] \IR^n [/mm] zu tun hat. Nachdem man gezeigt hat, dass es ein VR der Dimension n+1 ist und ne Basis gewaehlt hat kann man ihn auf den [mm] \IR^{n*1} [/mm] abbliden. Wenn du die uebliche Basis [mm] 1,x,x^2....nimmst, [/mm] indem du [mm] p(x)=\summe_{i=0}^{n}a_ix^i [/mm] auf den Vektor [mm] (a_0,a_1........,a_n)^T [/mm] aus [mm] \IR^{n*1} [/mm] abbildest.
Wenn man vom VR der Polynome spricht, meint man den der Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR
[/mm]
Dein
$ [mm] P_n=\{p:\IR^m \to \IR | p=\summe_{i=0}^{n}a_ix^i , a_i\in\IR, x\in\IR^m\} [/mm] $
ist also falsch. x ist eine Variable.
Also muesstest du schreiben:
$ [mm] P_n=\{p:\IR \to \IR | p(x)=\summe_{i=0}^{m}a_ix^i , a_i\in\IR,n,m \in \IN, m\le n, }m$
[/mm]
Was man unter [mm] x^i [/mm] mit [mm] x\in \IR^n [/mm] verstehen sollte muesstest du erst erklaeren.
(nebenbei, warum wilst du das in Mengenschreibweise schreiben, hier ist der kurze Satz den du darueber schreibst die bessere und kuerzere Beschreibung.)
Wenn man von diesen [mm] P_n [/mm] spricht, meint man nur Abb von R nach R. Aber man kann natuerlich andere Polynome definieren. nur nicht einfach das [mm] x^i [/mm] undefiniert als irgendwas benutzen.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 05.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht viel von simplizes, nur dass man sie in der linearen Optimierung benutzt. und da hat man ja Punkte [mm] (x1,x2,...x_n) [/mm] aus dem [mm] \IR^n
[/mm]
das Polynom bildet jeden Vektor aus [mm] \IR^n [/mm] auf eine reelle zahl ab. du kannst es also als [mm] f(\vec{x}) [/mm] auffassen, das durch die summe die ja genau definiert ist. dargestellt wird.
Wozu man diese Polynome benutzt muesst ihr ja wohl gelernt haben. vielleicht ergibt sich daraus der Sinn.
Wenn du direkt dein eigentliches Problem geschildert haettest. haettest du von mir nicht erst ne antwort gekriegt, die ja zu deinem Problem offensichtlich nix sagt, mir aber Zeit gekostet hat.
Also sag bitte immer gleich, um was es wirklich geht!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 05.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hi Leduart!
> Wenn du direkt dein eigentliches Problem geschildert
> haettest. haettest du von mir nicht erst ne antwort
> gekriegt, die ja zu deinem Problem offensichtlich nix sagt,
> mir aber Zeit gekostet hat.
> Also sag bitte immer gleich, um was es wirklich geht!
Sorry, das war keine böse Absicht.
Deine Antwort auf meine erste Frage hat mir aber auch geholfen 
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
>
>
> > (nebenbei, warum wilst du das in Mengenschreibweise
> > schreiben, hier ist der kurze Satz den du darueber
> > schreibst die bessere und kuerzere Beschreibung.)
>
> Ich habe versucht, mir eine Definition eines Polynomraumes
> aus der Vorlesung zu erklären...
>
> Wir hatten nämlich folgendes gegeben zum Thema "Polynom auf
> Simplizes":
>
> [mm]P_k^n=\{p:\IR^n\to\IR | p=\summe_{|\beta|\le k}^{}a_\beta*x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}...x_n^{\beta_n}, \beta=(\beta_1,...,\beta_n), |\beta|=\beta_1+...+\beta_n \}[/mm]
> ist der Raum der Polynome vom Grad [mm]\le{k}[/mm]
>
> Hier verstehe ich nämlich nur Bahnhof... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Was für eine Menge von Polynomen ist das?
Dies sind Polynome in den Koordinaten [mm] $x_1, \ldots, x_n$ [/mm] von [mm] $x\in\IR^n$ [/mm] vom Grad [mm] $\leq [/mm] k$.
Die Summanden [mm] $a_\beta*x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}...x_n^{\beta_n}$ [/mm] nennt man Monome in [mm] $x_1, \ldots, x_n$ [/mm] und ihr Grad ist eben gleich der Summe der Exponenten: [mm] $\beta_1+\beta_2+\cdots [/mm] + [mm] \beta_n$.
[/mm]
> > Wenn man von diesen [mm]P_n[/mm] spricht, meint man nur Abb von R
> nach R
>
> Aber in dem Ding da oben ist es wieder eine Abbildung von
> [mm]\IR^n[/mm] nach [mm]\IR[/mm] und trotzdem spricht man von Polynomraum
> ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Dann überlege mal, ob nicht vielleicht die oben definierte Menge [mm] $P_k^n$ [/mm] der Polynome in den Koordinaten von [mm] $x=(x_1,\ldots, x_n)\in \IR^n$ [/mm] vom Grad [mm] $\leq [/mm] k$ ein Vektorraum ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 12.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Dies sind Polynome in den Koordinaten [mm]x_1, \ldots, x_n[/mm] von [mm]x\in\IR^n[/mm] vom Grad [mm]\leq k[/mm].
> Die Summanden [mm]a_\beta*x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}...x_n^{\beta_n}[/mm] nennt man Monome in [mm]x_1, \ldots, x_n[/mm] und ihr Grad ist eben gleich der Summe der Exponenten: [mm]\beta_1+\beta_2+\cdots + \beta_n[/mm].
Mir ist grad aufgefallen, dass ich das irgendwie doch nicht richtig verstanden habe *grummel*
Also ich hab mir mal ein Beispiel gemacht:
[mm]\ n=2[/mm]
[mm]\ k=4[/mm]
[mm] \beta=(\beta_1,\beta_2)
[/mm]
[mm] |\beta|=\beta_1+\beta_2
[/mm]
Also [mm] P_k^n=\{p:\IR^n\to\IR | p=\summe_{|\beta|\le k}^{}a_\beta\cdot{}x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}...x_n^{\beta_n}, \beta=(\beta_1,...,\beta_n), |\beta|=\beta_1+...+\beta_n \} \Rightarrow P_4^2=\{p:\IR^2\to\IR | p=\summe_{|\beta|\le 4}^{}a_\beta\cdot{}x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}x_3^{\beta_3}\}
[/mm]
Damit erhalte ich für [mm] |\beta|\le{k}, [/mm] also [mm] |\beta|\le{4} [/mm] folgende Summen:
[mm] |\beta|=1+3
[/mm]
[mm] |\beta|=3+1
[/mm]
[mm] |\beta|=2+2
[/mm]
[mm] |\beta|=1+2
[/mm]
[mm] |\beta|=2+1
[/mm]
Und damit erhalte ich dann folgende Gesamtsumme:
[mm] p=a_{(1,3)}x_1^1x_2^3+a_{(3,1)}x_1^3x_2^1+a_{(2,2)}x_1^1x_2^2+a_{(1,2)}x_1^1x_2^2+a_{(2,1)}x_1^2x_2^1
[/mm]
Und das soll jetzt ein Polynom aus diesem Raum sein?
Wie sieht es aus?
Woher nehm ich die Werte für die a?
Und wieso sagst du, dass ich in all diesem Summanden zur Bestimmung des Grades einfach die Exponenten zusammenaddieren muss?
Dieses Potenzgesetz kann ich doch nur anwenden, wenn die Basen gleich sind, sind sie hier doch aber nicht (einmal [mm] x_1 [/mm] und einmal [mm] x_2)?
[/mm]
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> > Dies sind Polynome in den Koordinaten [mm]x_1, \ldots, x_n[/mm] von
> [mm]x\in\IR^n[/mm] vom Grad [mm]\leq k[/mm].
> > Die Summanden
> [mm]a_\beta*x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}...x_n^{\beta_n}[/mm] nennt
> man Monome in [mm]x_1, \ldots, x_n[/mm] und ihr Grad ist eben gleich
> der Summe der Exponenten: [mm]\beta_1+\beta_2+\cdots + \beta_n[/mm].
>
> Mir ist grad aufgefallen, dass ich das irgendwie doch nicht
> richtig verstanden habe *grummel*
>
> Also ich hab mir mal ein Beispiel gemacht:
>
> [mm]\ n=2[/mm]
> [mm]\ k=4[/mm]
> [mm]\beta=(\beta_1,\beta_2)[/mm]
> [mm]|\beta|=\beta_1+\beta_2[/mm]
>
> Also [mm]P_k^n=\{p:\IR^n\to\IR | p=\summe_{|\beta|\le k}^{}a_\beta\cdot{}x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}...x_n^{\beta_n}, \beta=(\beta_1,...,\beta_n), |\beta|=\beta_1+...+\beta_n \} \Rightarrow P_4^2=\{p:\IR^2\to\IR | p=\summe_{|\beta|\le 4}^{}a_\beta\cdot{}x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}x_3^{\beta_3}\}[/mm]
>
> Damit erhalte ich für [mm]|\beta|\le{k},[/mm] also [mm]|\beta|\le{4}[/mm]
> folgende Summen:
> [mm]|\beta|=1+3[/mm]
> [mm]|\beta|=3+1[/mm]
> [mm]|\beta|=2+2[/mm]
> [mm]|\beta|=1+2[/mm]
> [mm]|\beta|=2+1[/mm]
>
> Und damit erhalte ich dann folgende Gesamtsumme:
>
> [mm]p=a_{(1,3)}x_1^1x_2^3+a_{(3,1)}x_1^3x_2^1+a_{(2,2)}x_1^1x_2^2+a_{(1,2)}x_1^1x_2^2+a_{(2,1)}x_1^2x_2^1[/mm]
>
> Und das soll jetzt ein Polynom aus diesem Raum sein?
Es ist jedenfalls ein Polynom vom 4. Grad in [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$.
[/mm]
> Wie sieht es aus?
Du hast es doch soeben hingeschrieben: was willst Du mehr?
> Woher nehm ich die Werte für die a?
Die musst Du, wenn Du ein ganz konkretes Beispiel willst, natürlich auch noch festlegen.
>
> Und wieso sagst du, dass ich in all diesem Summanden zur
> Bestimmung des Grades einfach die Exponenten
> zusammenaddieren muss?
> Dieses Potenzgesetz kann ich doch nur anwenden, wenn die
> Basen gleich sind, sind sie hier doch aber nicht (einmal
> [mm]x_1[/mm] und einmal [mm]x_2)?[/mm]
Zugegeben. Aber dennoch nennt man die Summe der Exponenten der Variablen, die als Faktoren in einem Monom auftreten, den ![[]](/images/popup.gif) Grad des Monoms. Das Monom [mm] $7x_1^3 x_2^1$ [/mm] hat also den Grad 4. Anderes Beispiel: [mm] $3x_1x_4+4x_2x_3$ [/mm] ist vom 2. Grad ("quadratisch"), obwohl nirgends das Quadrat einer Variablen zu sehen ist...
|
|
|
|
