Polynomring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:41 Sa 17.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen.
Also ich habe bei einer Multiple-Choice Aufgabe ein Problem. Bestimmt könnt ihr mir dabei helfen.
Also K[X] Polynomring über dem Körper K ind der Unbestimmten X
Ist f[mm]\in [/mm]K[X] invertierbar, so ist Grad f = 0.
Ist diese Behauptung war oder falsch? Könntet ihr mir vielleicht erklären warum es wahr ist oder falsch ist?
Danke Jessica.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 17.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
in [mm]K[X][/mm] gilt die Gradformel:
[mm]grad(f\cdot g) = grad(f) + grad(g)[/mm].
Kennst du die aus der Vorlesung? Wenn nein, dann versuche sie kurz zu beweisen.
Sie hilft dir in jedem Fall weiter. Damit ist die Aussage trivial. 
Melde dich mal mit einem Vorschlag oder weiteren Fragen.
Alles Gute
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 So 18.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Stefan.
Danke für den Tipp.
Also ich denke, dass diese Aussage falsch ist, da wenn f invertierbar ist das inverse Element existiert. Ich bezeichne es mal f-1.
Ich habe mir das ein einem Beispiel mal klar gemacht.
Sei zum Beispiel f= x3 dann ist f-1=x-3
f*f-1=x0
Grad(f*f-1)=-[mm]\infty [/mm] bzw. hat keinen Grad.
Grad(f)= 3
Grad(f-3)= -3
Dann wäre Grad(f)+Grad(f-1)=3+(-3)=0
Somit wäre ein Wiederspruch zur Gradformel.
Habe ich das mir jetzt richtig hergeleitet oder habe ich einen Fehler in meiner Begründung.
Jessica.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 18.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
also, negative Grade sind gar nicht zugelassen. Insofern macht deine Begründung leider keinen Sinn.
Stattdessen geht es so (aber nur dann, wenn man die Gradformel benutzen darf):
Es sei [mm]f(x) \in \IK[x][/mm] mit [mm]grad(f) \ge 1[/mm].
Wir nehmen an, es gäbe ein Inverses von [mm]f(x)[/mm], also ein [mm]g(x) \in \IK[x][/mm] mit
[mm]f(x) \cdot g(x) = 1[/mm].
Wir bilden auf beiden Seiten den Grade der Polynome und erhalten unter der Beachtung der Gradformel:
[mm]grad(f) + grad(g) = grad(f\cdot g) = grad(1) = 0[/mm].
Dies stellt aber wegen
[mm]grad(f) \ge 1[/mm] und [mm]grad(g) \ge 0[/mm]
einen Widerspruch dar. Daher kann kein [mm]f(x) \in \IK[x][/mm] mit [mm]grad(f) \ge 1[/mm] ein Inverses in [mm]\IK[x][/mm] besitzen.
Dagegen besitzt jedes [mm]f(x) \in \IK[x][/mm] mit [mm]grad(f)=0[/mm] ein Inverses in [mm]\IK[x][/mm], da der Unterring der konstanten Polynome isomorph (im Simme eines Ringisomorphismus) zum Körper [mm]\IK[/mm] ist.
Alles klar?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
