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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mo 08.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Zu einer komplexen Zahl [mm] z=a+ib \in \IC, a,b \in \IR [/mm] sei [mm] \overline{z} [/mm] definiert als [mm] \overline{z}=a-ib [/mm].
Sei [mm] f:\IC[T] \to \IC[T] [/mm] definiert durch [mm] f(\summe_{k=0}^{n} a_kT^k) = \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k [/mm] für alle [mm] \summe_{j=0}^{n} a_jT^j \in \IC[T] [/mm].
1. Beweisen Sie, dass f bijektiv ist.
2. Beweisen Sie: [mm] f(p) = p \gdw p \in \IR[T] [/mm].
3. Beweisen Sie, dass [mm] p \cdot f(p) \in \IR[T] [/mm] für alle [mm] p \in \IC[T] [/mm] gilt.
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Mein Ansatz:
zu 1.
[mm] f(z) = \overline{z_0} \cdot T^0 + \overline{z_1} \cdot T^1 ... + \overline{z_n} \cdot T^n [/mm]
..soll surjektiv und injektiv sein.
Eventuell mit vollst.Induktion ?
k=1
[mm] (a+ib) \cdot T^1 = (a-ib) \cdot T^1 [/mm] jetzt [mm] \cdot (a-ib) [/mm]
[mm] (a+ib)(a-ib) \cdot T^1 = (a-ib)(a-ib) \cdot T^1 [/mm] durch [mm] T^1 [/mm] div.
[mm] a^2-i^2b^2 = a^2-2aib+i^2b^2 [/mm] [mm] a^2 [/mm] abziehen und [mm] i^2 [/mm] = -1
[mm] b^2 = -2aib - b^2 [/mm] [mm] b^2 [/mm] addieren und durch 2 teilen
[mm] b^2 = -aib [/mm]
Weiter weiss ich leider nicht.
2. und 3. verstehe ich noch gar nicht, was ist p ?
Danke, Susanne.
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> Zu einer komplexen Zahl [mm]z=a+ib \in \IC, a,b \in \IR[/mm] sei
> [mm]\overline{z}[/mm] definiert als [mm]\overline{z}=a-ib [/mm].
> Sei
> [mm]f:\IC[T] \to \IC[T][/mm] definiert durch [mm]f(\summe_{k=0}^{n} a_kT^k) = \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k[/mm]
> für alle [mm]\summe_{j=0}^{n} a_jT^j \in \IC[T] [/mm].
>
> 1. Beweisen Sie, dass f bijektiv ist.
> 2. Beweisen Sie: [mm]f(p) = p \gdw p \in \IR[T] [/mm].
> 3. Beweisen
> Sie, dass [mm]p \cdot f(p) \in \IR[T][/mm] für alle [mm]p \in \IC[T][/mm]
> gilt.
>
Hallo,
ich glaube, Du hast noch nicht verstanden, worum es hier geht.
[mm] \IC[T] [/mm] sind die Polynome über [mm] \IC, [/mm] d.h. die Polynome mit Koeffizienten aus [mm] \IC, [/mm] z.B. [mm] (\wurzel{2}+3i)x^19 [/mm] - 6x + [mm] \pi [/mm] i.
Nun wird eine Abbildung f definiert, welche aus der Menge [mm] \IC[T] [/mm] in die Menge [mm] \IC[T] [/mm] abbildet.
Es wird also die Funktion f auf komplexe Polynome angewendet, und heraus kommt dann wieder ein komplexes Polynom.
In welcher Art und Weise geschieht dies nun? Schau Dir die Funktionsvorschrift an: [mm] f(\summe_{k=0}^{n} a_kT^k) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k.
[/mm]
Das Polynom [mm] \summe_{k=0}^{n} a_kT^k [/mm] wird unter f auf das Polynom mit konjugiert-komplexen Koeffizienten abgebildet.
Im obigen Beispiel ginge das so: f( [mm] (\wurzel{2}+3i)x^19 [/mm] - 6x + [mm] \pi [/mm] i)= [mm] (\wurzel{2}-3i)x^19 [/mm] - 6x [mm] -\pi [/mm] i.
Nach dieser Vorrede, die hoffentlich ein wenig zum Verständnis beigetragen hat, können wir uns der eigentlichen Aufgabe zuwenden.
> 1. Beweisen Sie, dass f bijektiv ist.
Du mußt also zeigen, daß f injektiv und surjektiv ist.
a. surjektiv.
Zeigen, daß Du zu jedem beliebigen Element aus [mm] \IC[T], [/mm] also zu jedem komplexen Polynom eines findest, welches hierauf abgebildet wird.
Bew.:
Sei [mm] p\in \CI[T]. [/mm]
Dann (ist p ein komplexes Polynom, daher) gibt es ein [mm] n\in \IN [/mm] und Koeffizienten [mm] a_i\in \IC [/mm] mit [mm] p(T)=\summe_{i=1}^{n}a_iT^i.
[/mm]
Es ist [mm] f(???)=\summe_{i=1}^{n}a_iT^i, [/mm] also ist f surjektiv.
b. injektiv.
Hier mußt Du zeigen: wenn es zwei Polynome p,q gibt, [mm] p(T)=\summe a_iT^i [/mm] , [mm] q(T)=\summe b_iT^i [/mm]
mit f(p)=f(q), dann folgt p=q.
Bew: f(p)=f(q) ==> [mm] f(\summe a_iT^i )=f(\summe b_iT^i) [/mm] ==> ???
> 2. und 3. verstehe ich noch gar nicht, was ist p ?
p ist ein beliebiges Polynom aus [mm] \IC[T].
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 08.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
VIELEN DANK für Deine ausführliche Erklärung !
Ich weiss aber noch nicht, ob ich es so richtig verstanden habe:
> Bew.:
> Sei [mm]p\in \CI[T].[/mm]
> Dann (ist p ein komplexes Polynom, daher) gibt es ein [mm]n\in \IN[/mm]
> und Koeffizienten [mm]a_i\in \IC[/mm] mit
> [mm]p(T)=\summe_{i=1}^{n}a_iT^i.[/mm]
>
> Es ist [mm]f(???)=\summe_{i=1}^{n}a_iT^i,[/mm] also ist f
> surjektiv.
[mm] f(a+ib)=a-ib[/mm]
> Hier mußt Du zeigen: wenn es zwei Polynome p,q gibt,
> [mm]p(T)=\summe a_iT^i[/mm] , [mm]q(T)=\summe b_iT^i[/mm]
>
> mit f(p)=f(q), dann folgt p=q.
>
> Bew: f(p)=f(q) ==> [mm]f(\summe a_iT^i )=f(\summe b_iT^i)[/mm] ==>
> ???
f(p)=f(q) ==> [mm]f(p+ib)=f(q+ib)[/mm]
Stimmt dieser Ansatz ?
LG, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mo 08.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo schachuzipus,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe !!!
> f bildet doch Polynome auf Polynome ab !!
>
> Du musst zu einem beliebigen Polynom q mit
> [mm]q(T)=\sum\limits_{i=1}^na_iT^{i}[/mm] ein Poynom p finden mit
> f(p)=q
>
> Wann sind denn 2 Polynome gleich?
Ich glaube, mit den Polynomringen stehe ich noch auf Kriegsfuss, aber vielleicht ist ja wenigstens diese Aussage richtig:
2 Polynome sind gleich, wenn die Koeffizienten und die [mm] T^k [/mm] gleich sind -
eigentlich wenn sie einfach identisch sind.
LG Susanne.
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> Ich weiss aber noch nicht, ob ich es so richtig verstanden
> habe:
Hallo,
schachuzipus hat Dir ja schon gesagt, daß Du das nicht richtig gemacht hast.
Ich möchte nochmal weg von den zu erledigenden Beweisen gehen zu dieser Abbildung. Ich glaube nämlich, daß Du Dich da zu sehr auf
>>>> Zu einer komplexen Zahl $ z=a+ib [mm] \in \IC, [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] $ sei $ [mm] \overline{z} [/mm] $ definiert als $ [mm] \overline{z}=a-ib [/mm] $.
fixierst.
Dieser Satz sagt Dir nur, wie zu einer gegebenen komplexen Zahl, das konjugiert-komplexe, [mm] \overline{Zahl}, [/mm] definiert ist: der Realteil bleibt gleich, der Komplexteil ändert sein Vorzeichen.
Ist r=1+2i, so ist [mm] \overline{r}=1-2i.
[/mm]
Ist [mm] s=-\wurzel{13}-7\pi [/mm] i, so ist [mm] \overline{s}=-\wurzel{13}+7\pi [/mm] i.
Vielleicht zeichnest Du Dir ein paar komplexe Zahlen und ihre Konjugiert-Komplexen mal in der Gaußschen Zahlenebene ein.
So. Das mit den Konjugiert-Komplexen war alles nur Vorgeplänkel.
Es geht um Polynome.
Wie ich gesagt hatte: die Abbildung f bildet ein gegebenes Polynom auf ein anderes Polynom ab, dessen Koeffizienten gerade die konjugiert-komplexen der Startpolynoms sind.
Hast Du mein Beispiel studiert und verstanden?
Ich liefere anschließend noch zwei weitere.
>>> Schau Dir die Funktionsvorschrift an:
>>> $ [mm] f(\summe_{k=0}^{n} a_kT^k) [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k. [/mm] $
>>> Das Polynom $ [mm] \summe_{k=0}^{n} a_kT^k [/mm] $ wird unter f
>>> auf das Polynom mit konjugiert-komplexen Koeffizienten abgebildet.
>>> Im obigen Beispiel ginge das so: f( $ [mm] (\wurzel{2}+3i)T^19 [/mm] $ - 6T + $ [mm] \pi [/mm] $ i)= $ [mm] (\wurzel{2}-3i)T^19 [/mm] $ - 6T $ [mm] -\pi [/mm] $ i
Weiter sind [mm] f((17-i)T^5+2T^2-(-3-18i)T+12i)=(17+i)T^5+2T^2-(-3+18i)T-12i,
[/mm]
[mm] f(12T^3+3x)=12T^3+3T,
[/mm]
[mm] f(3iT^4 -(2+5i)T+13)=-3iT^4 [/mm] -(2-5i)T+13.
Hast Du jetzt verstanden, was die Abbildung tut?
Dann kannst Du weitermachen. Vorher nicht - wil es sonst sinnlos ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 08.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela, vielen Dank für die geduldige Erklärung !!!
Jetzt raucht mein Kopf - ich habe einiges nachgelesen - aber ob ich das jemals verstehe ... ?
Nächster Versuch:
Wenn [mm] p[T] = \summe_{k=1}^{n} {a_k}T^k [/mm] dann ist
[mm] f(p[T]) = \summe_{k=1}^{n} \overline{a_k}T^k [/mm]
Ist dieser Ansatz jetzt richtig ?
LG, Susanne.
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Hallo Susanne,
ich mische mich auch nochmal ein, wenn du erlaubst 
>
> Jetzt raucht mein Kopf - ich habe einiges nachgelesen -
> aber ob ich das jemals verstehe ... ?
Da bin ich sicher...
>
> Nächster Versuch:
> Wenn p[T] = [mm] \summe_{k=0}^{n} {a_k}T^k [/mm] dann ist
> f(p[T]) = [mm] \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k
[/mm]
>
> Ist dieser Ansatz jetzt richtig ?
>
> LG, Susanne.
Fast, mache dir den Unterschied zwischen den Objekten p und p(T) klar:
p ist ein Polynom und p(T) ist für jedes T eine komplexe Zahl
f bildet Polynome ab, also wenn p das Polynom mit [mm] p(T)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_kT^k [/mm] ist, so ist f(p) das Polynom mit [mm] (f(p))(T)=\sum\limits_{k=0}^{n}\overline{a_k}T^k
[/mm]
So ist die Abbildung f definiert.
Für den Surjektivitätsnachweis überlege nun mal, wie für ein beliebiges Polynom q mit [mm] q(T)=\sum\limits_{k=0}^{n}b_kT^k [/mm] ein Urbild aussehen kann, also ein Polynom p derart, dass f(p)=q ist
Bedenke, dass gilt [mm] \overline{\overline{z}}=z
[/mm]
Wie musst du nun die Koeffizienten des Polynoms p wählen, damit f(p) das Polynom q mit [mm] q(T)=\sum\limits_{k=0}^{n}b_kT^k [/mm] gibt?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 09.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo ihr lieben Helfer !
Ich musste gestern Hals über Kopf weg und reagiere deshalb erst jetzt auf eure Mails - vielen Dank für eure Hilfe!
Also, ich denke ich habe verstanden, dass die Funktion das Vorzeichen der komplexen Zahl i umdreht.
> Fast, mache dir den Unterschied zwischen den Objekten p und
> p(T) klar:
>
> p ist ein Polynom und p(T) ist für jedes T eine komplexe
> Zahl
Das verstehe ich noch nicht:
Ist [mm] p = -3i T^4 + (2-5i)T + 13 [/mm]
und wenn T=1 ist kann ich eine konkrete komplexe Zahl ausrechnen ?
Das [T] verstehe ich nicht so richtig.
> Für den Surjektivitätsnachweis überlege nun mal, wie für
> ein beliebiges Polynom q mit
> [mm]q(T)=\sum\limits_{k=0}^{n}b_kT^k[/mm] ein Urbild aussehen kann,
> also ein Polynom p derart, dass f(p)=q ist
>
> Bedenke, dass gilt [mm]\overline{\overline{z}}=z[/mm]
>
> Wie musst du nun die Koeffizienten des Polynoms p wählen,
> damit f(p) das Polynom q mit
> [mm]q(T)=\sum\limits_{k=0}^{n}b_kT^k[/mm] gibt?
[mm] f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) = \summe_{k=0}^{n}b_kT^k[/mm]
Stimmt das ?
LG, Susanne.
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> > Fast, mache dir den Unterschied zwischen den Objekten p und
> > p(T) klar:
> >
> > p ist ein Polynom und p(T) ist für jedes T eine komplexe
> > Zahl
> Das verstehe ich noch nicht:
> Ist [mm]p = -3i T^4 + (2-5i)T + 13[/mm]
> und wenn T=1 ist kann ich
> eine konkrete komplexe Zahl ausrechnen ?
> Das [T] verstehe ich nicht so richtig.
Hallo,
Du postest in der linearen Algebra, und deshalb bin ich dafür, die Sache jetzt nicht auf die Spitze zu treiben - um den Preis kleiner Ungenauigkeiten.
Was ein Polynom ist, weißt Du sicher intuitiv aus der Schule. In [mm] \IC[T] [/mm] sagt Dir das [mm] \IC, [/mm] daß die Koeffizienten der betrachteten Polynome aus [mm] \IC [/mm] sind, und die Unbestimmte T genannt wird.
Oben ist p = -3i [mm] T^4 [/mm] + (2-5i)T + 13 Dein Polynom, und
p(1)=-3i* [mm] 1^4 [/mm] + (2-5i)*1 + 13 ist der Wert, den es an der Stelle T=1 annimmt.
> > Für den Surjektivitätsnachweis überlege nun mal, wie für
> > ein beliebiges Polynom q mit
> > [mm]q(T)=\sum\limits_{k=0}^{n}b_kT^k[/mm] ein Urbild aussehen kann,
> > also ein Polynom p derart, dass f(p)=q ist
> >
> > Bedenke, dass gilt [mm]\overline{\overline{z}}=z[/mm]
> >
> > Wie musst du nun die Koeffizienten des Polynoms p wählen,
> > damit f(p) das Polynom q mit
> > [mm]q(T)=\sum\limits_{k=0}^{n}b_kT^k[/mm] gibt?
> [mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) = \summe_{k=0}^{n}b_kT^k[/mm]
Du näherst Dich langsam der Sache, auch wenn es noch nicht richtig ist.
Es ist ja [mm] f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{a_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} a_kT^k.
[/mm]
Das ist noch nicht das gewünschte, denn Du willst ja [mm] \summe_{k=0}^{n}b_kT^k [/mm] herausbekommen. was mußt Du also einsetzen?
Probier's am Beispiel aus:
Was mußt Du einsetzen, wenn f(...)= [mm] (2+3i)x^2-5 [/mm] sein soll?
Wenn Du's hast und abgabebereit aufschreibst, darfst du nicht vergessen, zuvor zu zeigen, daß [mm] \overline{\overline{z}}=z [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 09.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela, vielen Dank für Deine Mühe !
> Es ist ja [mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{a_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k.[/mm]
>
Das verstehe ich nicht so ganz, müsste das nicht so heissen:
[mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{a_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} a_kT^k.[/mm]
Oder bin ich immer noch auf dem Holzweg ?
> Das ist noch nicht das gewünschte, denn Du willst ja
> [mm]\summe_{k=0}^{n}b_kT^k[/mm] herausbekommen. was mußt Du also
> einsetzen?
>
> Probier's am Beispiel aus:
>
> Was mußt Du einsetzen, wenn f(...)= [mm](2+3i)x^2-5[/mm] sein soll?
[mm] f(2-3i)x^2-5 = (2+3i)x^2-5[/mm]
Und für die Aufgabe müsste es dann heissen (falls ich nicht auf dem Holzweg bin):
[mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{q_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} q_kT^k.[/mm]
Stimmt das ?
> Wenn Du's hast und abgabebereit aufschreibst, darfst du
> nicht vergessen, zuvor zu zeigen, daß
> [mm]\overline{\overline{z}}=z[/mm] gilt.
[mm] \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+ib}}=\overline{a-ib}=a+ib=z [/mm]
Ist das dann der Beweis für Surjektivität, weil es zeigt, dass jedes Element in [mm] \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k [/mm] durch die Abbildung getroffen wird ?
Danke, Susanne.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Di 09.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne,
> > Es ist ja [mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{a_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k.[/mm]
>
> >
> Das verstehe ich nicht so ganz, müsste das nicht so
> heissen:
> [mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{a_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} a_kT^k.[/mm]
Da hast du recht, Angela hat sich vertippt.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 09.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne,
> Hallo Angela, vielen Dank für Deine Mühe !
>
> > Es ist ja [mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{a_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k.[/mm]
>
> >
> Das verstehe ich nicht so ganz, müsste das nicht so
> heissen:
> [mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{a_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} a_kT^k.[/mm]
>
> Oder bin ich immer noch auf dem Holzweg ?
>
>
> > Das ist noch nicht das gewünschte, denn Du willst ja
> > [mm]\summe_{k=0}^{n}b_kT^k[/mm] herausbekommen. was mußt Du also
> > einsetzen?
> >
> > Probier's am Beispiel aus:
> >
> > Was mußt Du einsetzen, wenn f(...)= [mm](2+3i)x^2-5[/mm] sein soll?
> [mm]f(2-3i)x^2-5 = (2+3i)x^2-5[/mm]
Ein paar Klammern fehlen, aber sonst ist es richtig:
[mm]f((2-3i)x^2-5) = (2+3i)x^2-5[/mm]
> Und für die Aufgabe müsste es dann heissen (falls ich nicht
> auf dem Holzweg bin):
> [mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k) =\summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{q_k}}T^k= \summe_{k=0}^{n} q_kT^k.[/mm]
>
> Stimmt das ?
Wenn du das noch ein bischen ausführst, ist es der Beweis für die Surjektivität: du willst zeigen, dass jedes [mm]\summe_{k=0}^{n} q_kT^k[/mm] als Funktionswert vorkommt. Das tust du, indem du zu jedem solchen Funktionswert das Urbild angibst, das besteht gerade aus dem einen Punkt [mm]\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k[/mm].
Damit fällt dir die Injektivität gleich mit in den Schoß: Injektivität bedeutet, dass zu jedem Funktionswert das Urbild nur aus einem Punkt besteht. Nichts anderes sagt die Bedingung [mm]f(p)=f(q) \implies p=q[/mm] aus: Voraussetzung ist der gleiche Funktionswert, Ergebnis ist nur ein Punkt imn Definitionsbereich.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Di 09.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer, vielen Dank für Deine Hilfe !
Nach langem Brüten hier mein erneuter Versuch:
Für alle Polynome q [mm] \in \IC[T] [/mm] gibt es ein Polynom p so dass gilt f(p) = q:
[mm] f(\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k) = \summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{q_k}}T^k = \summe_{k=0}^{n} q_kT^k = \summe_{k=0}^{n} a_kT^k [/mm]
Injektivität [mm]f(p)=f(q) \implies p=q[/mm]:
[mm] f(\summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k) = f(\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k) \implies \summe_{k=0}^{n} p_kT^k = \summe_{k=0}^{n} q_kT^k [/mm]
Ist das ok ?
zu 2:
Wenn das Polynom auf sich selbst abgebildet wird, kann keine komplexe Zahl dabei sein, und damit ist das Polynom [mm] p \in \IR[T] [/mm]:
Wenn [mm] f(p) = p [/mm] ist dies eine identische Abbildung und damit ist [mm] p \in \IR[T] [/mm].
Wenn [mm] p \in \IC[T] [/mm] wäre, dann kann f(p) nicht p sein, da [mm] f(p) = \overline{p} [/mm] sein müsste.
zu 3:
Sei [mm] p = z [/mm] und [mm] f(p) = \overline{z} [/mm].
Dann gilt [mm] z \cdot \overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2-iab+iab+b^2 = a^2+b^2[/mm]
Hierbei gibt es keine komplexe Zahl mehr und damit gilt die Behauptung.
Geht das so ?
Mein Kopf qualmt !
Danke, Susanne.
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> Nach langem Brüten hier mein erneuter Versuch:
Hallo,
Zu zeigen: f ist surjektiv, d.h.
>
> Für alle Polynome q [mm]\in \IC[T][/mm] gibt es ein Polynom p
[mm] \in \IC[T]
[/mm]
> so dass gilt f(p) = q:
Bew.:
Sei [mm] q\in \IC[T], q:=\summe_{k=0}^{n} q_kT^k.
[/mm]
Es ist [mm] p:=\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k \in \IC, [/mm] und man erhält:
f(p)=
> [mm][mm] f(\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \overline{\overline{q_k}}T^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} q_kT^k [/mm]
=q.
Also ist f surjektiv.
>
> Injektivität [mm]f(p)=f(q) \implies p=q[/mm]:
> [mm]f(\summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k) = f(\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k) \implies \summe_{k=0}^{n} p_kT^k = \summe_{k=0}^{n} q_kT^k[/mm]
>
> Ist das ok ?
Nein Du hast doch nicht f(p)=f(q) [mm] \implies [/mm] p=q gezeigt.
Fang so an: sei [mm] p:=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k [/mm] und [mm] q:=\summe_{k=0}^{n} q_kT^k.
[/mm]
f(p)=f(q)
==> [mm] f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k )=f(\summe_{k=0}^{n} q_kT^k)
[/mm]
==> ...=...
und nun mußt Du die Kurve kriegen und zeigen, daß dann beide Polynome gleich sind.
Gruß v. Angela
>
> zu 2:
> Wenn das Polynom auf sich selbst abgebildet wird, kann
> keine komplexe Zahl dabei sein, und damit ist das Polynom [mm]p \in \IR[T] [/mm]:
>
> Wenn [mm]f(p) = p[/mm] ist dies eine identische Abbildung und damit
> ist [mm]p \in \IR[T] [/mm].
> Wenn [mm]p \in \IC[T][/mm] wäre, dann kann f(p)
> nicht p sein, da [mm]f(p) = \overline{p}[/mm] sein müsste.
>
> zu 3:
> Sei [mm]p = z[/mm] und [mm]f(p) = \overline{z} [/mm].
> Dann gilt [mm]z \cdot \overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2-iab+iab+b^2 = a^2+b^2[/mm]
>
> Hierbei gibt es keine komplexe Zahl mehr und damit gilt die
> Behauptung.
>
> Geht das so ?
> Mein Kopf qualmt !
>
> Danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mi 10.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen,
jetzt ist der Kopf erst mal wieder freier.
Also, neuer Tag, neues Glück - mit neuen Erkenntnissen durch eure Hilfe - vielen Dank !
> Nein Du hast doch nicht f(p)=f(q) [mm]\implies[/mm] p=q gezeigt.
> Fang so an: sei [mm]p:=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k[/mm] und [mm]q:=\summe_{k=0}^{n} q_kT^k.[/mm]
f(p)=f(q)
==> [mm] f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k )=f(\summe_{k=0}^{n} q_kT^k)[/mm]
==> [mm]\summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k[/mm]
==> [mm] \overline{p}=\overline{q} \rightarrow p=q [/mm]
Ist das jetzt ok ?
Danke, Susanne.
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> Guten Morgen,
> jetzt ist der Kopf erst mal wieder freier.
>
> Also, neuer Tag, neues Glück - mit neuen Erkenntnissen
> durch eure Hilfe - vielen Dank !
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> > Nein Du hast doch nicht f(p)=f(q) [mm]\implies[/mm] p=q gezeigt.
>
> > Fang so an: sei [mm]p:=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k[/mm] und
> [mm]q:=\summe_{k=0}^{n} q_kT^k.[/mm]
>
> f(p)=f(q)
>
> ==> [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k )=f(\summe_{k=0}^{n} q_kT^k)[/mm]
>
>
> ==> [mm]\summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k[/mm]
>
> ==> [mm]\overline{p}=\overline{q} \rightarrow p=q[/mm]
>
> Ist das jetzt ok ?
Nein - obgleich ich weiß, daß Du völlig das richtige meinst.
Aber: was soll [mm] \overline{p} [/mm] sein? Das ist nirgends definiert! Das Konjugiert-Komplexe wurde ja nur für komplexe Zahlen erklärt, nicht aber für Polynome.
Aber Du kannst es retten:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k
[/mm]
==> es ist [mm] \overline{p_k}= \overline{q_k} [/mm] für alle k
==> ...
[mm] ==>\summe_{k=0}^{n}{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n}{q_k}T^k
[/mm]
==> p=q
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mi 10.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
DANKE !
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k[/mm]
>
> ==> es ist [mm]\overline{p_k}= \overline{q_k}[/mm] für alle k
>
> ==> ...
>
> [mm]==>\summe_{k=0}^{n}{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n}{q_k}T^k[/mm]
>
> ==> p=q
Puh, verstehe ich leider nicht
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> > [mm]\summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n} \overline{q_k}T^k[/mm]
>
> >
> > ==> es ist [mm]\overline{p_k}= \overline{q_k}[/mm] für alle k
> >
> > ==> ...
Na, wenn die Konjugiert-Komplexen zweier Zahlen gleich sind, was ist dann mit den Zahlen?
Und wenn die Koeffizienten zweier Polynome gleich sind, was ist dann mit den Polynomen?
Gruß v. Angela
>> [mm] \summe_{k=0}^{n}{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n}{q_k}T^k[/mm]
[/mm]
> >
> > ==> p=q
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Mi 10.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
> Na, wenn die Konjugiert-Komplexen zweier Zahlen gleich
> sind, was ist dann mit den Zahlen?
>
> Und wenn die Koeffizienten zweier Polynome gleich sind, was
> ist dann mit den Polynomen?
>
Die Polynome sind gleich.
Ich weiss nur nie so richtig, wie ich das für einen Beweis aufbereiten muss.
Danke !!!
LG Susanne.
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> zu 2:
> Wenn das Polynom auf sich selbst abgebildet wird, kann
> keine komplexe Zahl dabei sein, und damit ist das Polynom [mm]p \in \IR[T] [/mm]:
Hallo,
ja, den "Tatbestand" hast Du schon richtig erfaßt. Bewiesen ist es noch nicht, ich könnte ja sagen:"Stimmt abba gaa nich", und dann müßtest Du mich überzeugen.
Mach es so:
Zeige zunächst, daß aus [mm] z=\overline{z} [/mm] folgt, daß [mm] z\in \IR. [/mm]
Schreibe hierfür z=a+ib.
Danach kommt der Beweis der eigentlichen Aussage.
Sei p:= [mm] \summe_{k=0}^{n} p_kT^k \in \IC[T].
[/mm]
Es sei f(p)=p,
also [mm] f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k)=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k
[/mm]
==>...
Die Rückrichtung ist ja sehr einfach.
> zu 3:
> Sei [mm]p = z[/mm] und [mm]f(p) = \overline{z} [/mm].
> Dann gilt [mm]z \cdot \overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2-iab+iab+b^2 = a^2+b^2[/mm]
>
> Hierbei gibt es keine komplexe Zahl mehr und damit gilt die
> Behauptung.
>
> Geht das so ?
Das ist noch etwas mager: Du hast es bisher nur für Polynome nullten Grades gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mi 10.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
> Zeige zunächst, daß aus [mm]z=\overline{z}[/mm] folgt, [mm]z \in \IR.[/mm]
> Schreibe hierfür z=a+ib.
Wenn [mm] z \in \IC [/mm], dann wäre a+ib=a-ib also 1=-1 und daraus folgt, [mm] z [/mm] kann nicht [mm] \in \IC [/mm] sein, sondern muss [mm] \in \IR [/mm] sein.
> Danach kommt der Beweis der eigentlichen Aussage.
>
> Sei p:= [mm]\summe_{k=0}^{n} p_kT^k \in \IC[T].[/mm]
>
> Es sei f(p)=p,
>
> also [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k)=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k[/mm]
>
==> f ist eine identische Abbildung und damit muss [mm] p \in \IR [/mm] sein.
> > zu 3:
> > Sei [mm]p = z[/mm] und [mm]f(p) = \overline{z} [/mm].
> > Dann gilt [mm]z \cdot \overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2-iab+iab+b^2 = a^2+b^2[/mm]
>
> Das ist noch etwas mager: Du hast es bisher nur für
> Polynome nullten Grades gezeigt.
[mm] \summe_{k=0}^{n} a_kT^k \cdot \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k [/mm]
Und jetzt weiss ich wieder mal nicht weiter - stöhn.
Danke, Susanne.
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> > Zeige zunächst, daß aus [mm]z=\overline{z}[/mm] folgt, [mm]z \in \IR.[/mm]
> > Schreibe hierfür z=a+ib.
> Wenn [mm]z \in \IC [/mm], dann wäre a+ib=a-ib also 1=-1 und daraus
> folgt, [mm]z[/mm] kann nicht [mm]\in \IC[/mm] sein, sondern muss [mm]\in \IR[/mm]
> sein.
>
Dem kann ich überhaupt nicht folgen...
Wieso folgt 1=-1? (Ich weiß es natürlich, wie Du darauf kommst - aber hast Du sichergestellt, daß Du nicht durch 0 dividierst?)
Wäre Dein Schluß 1=-1 richtig, würde hieraus folgen, daß man kein [mm] z\in \IC [/mm] mit [mm] z=\overline{z} [/mm] finden kann. Also auch kein z [mm] \in \IR, [/mm] denn es ist doch [mm] \IR\subset \IC.
[/mm]
Machen wir's neu:
Es seien a,b [mm] \in \IR [/mm] , z:=a+ib und [mm] z=\overline{z}.
[/mm]
==> a+ib=a-ib
==> ib=-ib ==> 2ib=0 ==> ??? ==> z [mm] \in [/mm] ...
> > Danach kommt der Beweis der eigentlichen Aussage.
> >
> > Sei p:= [mm]\summe_{k=0}^{n} p_kT^k \in \IC[T].[/mm]
> >
> > Es sei f(p)=p,
> >
> > also [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k)=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k[/mm]
>
> >
> ==> f ist eine identische Abbildung und damit muss [mm]p \in \IR[/mm]
> sein.
Dem Schluß folge ich nicht. Wir sagen: sei p [mm] \in \IC[T] [/mm] mit f(p)=p.
Wenn Du hier mit der identischen Abbildung argumentierst, kann ich nur herausfinden, daß [mm] p\in \IC[T] [/mm] ist. Auf [mm] \IR [/mm] deutet doch bisher nichts hin.
> > Es sei f(p)=p,
> >
> > also [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k)=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k[/mm]
Du mußt den Funktionswert berechnen, und dann aus den Koeffizienten Deine Schlüsse ziehen.
>
> > > zu 3:
> > > Sei [mm]p = z[/mm] und [mm]f(p) = \overline{z} [/mm].
> > > Dann gilt
> [mm]z \cdot \overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2-iab+iab+b^2 = a^2+b^2[/mm]
>
> >
> > Das ist noch etwas mager: Du hast es bisher nur für
> > Polynome nullten Grades gezeigt.
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_kT^k \cdot \summe_{k=0}^{n} \overline{a_k}T^k[/mm]
>
> Und jetzt weiss ich wieder mal nicht weiter - stöhn.
Das habe ich auch noch nicht zu Ende gedacht.
Spontan fällt mir dreierlei ein:
1. Eine Induktion über den Grad des Polynoms p
2. Man zeigt, daß f(p*q)=f(p)*f(q) ist, nutzt f(f(p))=p und verwendet die zuvor gezeigte Aussage 2)
3. Man nimmt an, daß pf(p) einen komplexen Koeffizienten hat, und zeigt, daß er reell ist.
Vielleicht gibt es auch noch eine 4. Möglichkeit.
Ich neige zu 2.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 10.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
>
> Dem kann ich überhaupt nicht folgen...
>
> Wieso folgt 1=-1? (Ich weiß es natürlich, wie Du darauf
> kommst - aber hast Du sichergestellt, daß Du nicht durch 0
> dividierst?)
>
> Wäre Dein Schluß 1=-1 richtig, würde hieraus folgen, daß
> man kein [mm]z\in \IC[/mm] mit [mm]z=\overline{z}[/mm] finden kann. Also auch
> kein z [mm]\in \IR,[/mm] denn es ist doch [mm]\IR\subset \IC.[/mm]
Oh, wow, stimmt !
> Machen wir's neu:
>
> Es seien a,b [mm]\in \IR[/mm] , z:=a+ib und [mm]z=\overline{z}.[/mm]
>
> ==> a+ib=a-ib
>
> ==> ib=-ib ==> 2ib=0 ==> ??? ==> z [mm]\in[/mm] ...
Daraus folgt ib=0 und daraus folgt [mm] z \in \IR [/mm]
> Wenn Du hier mit der identischen Abbildung argumentierst,
> kann ich nur herausfinden, daß [mm]p\in \IC[T][/mm] ist. Auf [mm]\IR[/mm]
> deutet doch bisher nichts hin.
Aber kehrt eine Abbildung in [mm] \IC [/mm] nicht immer die Vorzeichen des imaginären Teils um ?
>
> Es sei f(p)=p,
>
> also [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k)=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k[/mm]
> Du mußt den Funktionswert berechnen, und dann aus den
> Koeffizienten Deine Schlüsse ziehen.
Der Funktionswert von [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k) [/mm] ist aber doch [mm] \summe_{k=0}^{n} p_kT^k [/mm] und dabei beißt sich die Katze wieder in den Schwanz.
Vielen Dank !
LG, Susanne.
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> > Es seien a,b [mm]\in \IR[/mm] , z:=a+ib und [mm]z=\overline{z}.[/mm]
> >
> > ==> a+ib=a-ib
> >
> > ==> ib=-ib ==> 2ib=0 ==> ??? ==> z [mm]\in[/mm] ...
> Daraus folgt ib=0 und daraus folgt [mm]z \in \IR[/mm]
Stimmt zwar irgendwie, ist auch richtig, aber ich würde es sogar noch ein Stückchen weitertreiben: ib=0 ==> b=0 ==> z=a+ib=a [mm] \in \IR. [/mm] (Aber es ist schon in Ordnung, wie Du es schreibst.)
>
> > Wenn Du hier mit der identischen Abbildung argumentierst,
> > kann ich nur herausfinden, daß [mm]p\in \IC[T][/mm] ist. Auf [mm]\IR[/mm]
> > deutet doch bisher nichts hin.
> Aber kehrt eine Abbildung in [mm]\IC[/mm] nicht immer die
> Vorzeichen des imaginären Teils um ?
Natürlich. Du hast in der Sache ja recht. Aber Du willst ja erst ZEIGEN, daß aus f(p)=p folgt, daß [mm] p\in \IR.
[/mm]
Das mit dem "Vorzeichen umdrehen" spielt da natürlich eine Rolle.
>
> >
> > Es sei f(p)=p,
> >
> > also [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k)=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k[/mm]
>
> > Du mußt den Funktionswert berechnen, und dann aus den
> > Koeffizienten Deine Schlüsse ziehen.
>
> Der Funktionswert von [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k)[/mm] ist aber
> doch [mm]\summe_{k=0}^{n} p_kT^k[/mm] und dabei beißt sich die Katze
> wieder in den Schwanz.
Wenn sich Katzen in den Schwanz beißen, sieht das sehr lustig aus. Aber hier beißt sich nichts.
Paß auf:
[mm] f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k)=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k
[/mm]
==> [mm] \summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k.
[/mm]
==> Für alle k gilt [mm] \overline{p_k}=p_k.
[/mm]
Im Vorgeplänkel hattest Du gezeigt: [mm] \overline{z}=z [/mm] ==> [mm] z\in \IR. [/mm] Dies kannst Du nun verwenden.
==> Für alle k gilt [mm] p_k \in \IR [/mm] ==> [mm] p=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k \in \IR[T].
[/mm]
Merkst Du? Hier dreht sich nichts im Kreis. Es schreitet zielstrebig voran.
Du brauchst nun noch die Rückrichtung:
[mm] p\in \IR[T] [/mm] ==> f(p)=p.
Nimm hierzu [mm] p\in \IR[T] [/mm] und berechne f(p).
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 10.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
> Im Vorgeplänkel hattest Du gezeigt: [mm]\overline{z}=z[/mm] ==>
> [mm]z\in \IR.[/mm] Dies kannst Du nun verwenden.
>
> ==> Für alle k gilt [mm]p_k \in \IR[/mm] ==> [mm]p=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k \in \IR[T].[/mm]
>
> Merkst Du? Hier dreht sich nichts im Kreis. Es schreitet
> zielstrebig voran.
Ok, puhhhh, das habe ich jetzt verstanden - wobei das Vorgeplänkel für mich Schwerstarbeit war !
> Du brauchst nun noch die Rückrichtung:
>
> [mm]p\in \IR[T][/mm] ==> f(p)=p.
>
> Nimm hierzu [mm]p\in \IR[T][/mm] und berechne f(p).
Wenn [mm]p\in \IR[T][/mm] und f(p)=p dann ist
[mm] f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k) = \summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k [/mm]
Da vorher schon gezeigt wurde, dass in [mm] \IR[/mm] [mm] \overline{p_k} = p_k [/mm] gilt, ist dann f(p) = p.
Jetzt ok ?? Hoffentlich !
Liebe Angela, ohne dich wäre ich schon längst verzweifelt !
Danke, Susanne.
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> > Nimm hierzu [mm]p\in \IR[T][/mm] und berechne f(p).
>
> Wenn [mm]p\in \IR[T][/mm] und f(p)=p ,
also [mm] p:=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k [/mm] mit [mm] p_k \in \IR [/mm] für alle K=0,1,...,n
> dann ist
f(p)=
> [mm]f(\summe_{k=0}^{n} p_kT^k) = \summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k[/mm]
Genau.
>
> Da vorher schon gezeigt wurde, dass in [mm]\IR[/mm] [mm]\overline{p_k} = p_k[/mm]
> gilt,
ist also [mm] \summe_{k=0}^{n} \overline{p_k}T^k=\summe_{k=0}^{n} p_kT^k=p,
[/mm]
insgesamt
> ist dann f(p) = p.
>
> Jetzt ok ?? Hoffentlich !
Ja. So war's jetzt richtig. Ich habe nur an Kleinigkeiten geputzt.
>
> Liebe Angela, ohne dich wäre ich schon längst verzweifelt
Es freut mich, daß ich Dir helfen konnte.
Für Verzweiflung gibt's noch keinen Anlaß!
Man kann das lernen, und vor allem muß man es üben.
Ich konnt's auch nicht von Anfang an, und die Wahrscheinlichkeit, daß es auch nicht jeder Deiner Kommilitonen aus dem Ärmel schüttelt, ist groß.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mi 10.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
VIELEN VIELEN DANK !!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
