Polynomringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 10.07.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | $(X + 1)(X - 2) = [mm] X^2 [/mm] - X - 2$ |
Hallo Leute,
bin momentan am Vorbereiten für die Klausur und bin beim Thema Polynomringe. Und zwar habe ich das so meine Schwierigkeiten zu zeigen, dass etwas ein Polynomring ist. Ich müsste ja jetzt erstmal zeigen, dass das ganze eine abelsche Gruppe ist:
[mm] (N)$X^2 [/mm] - X - [mm] 2+0=X^2 [/mm] - X - 2$
(A) [mm] $X^2 [/mm] - X [mm] -2+(Y^2-Y-2+Z^2-Z-2)=(X^2 [/mm] - X [mm] -2+Y^2-Y-2)+Z^2-Z-2$
[/mm]
Es geht mir eigentlich nur im die Schreibweise, würde ich das ganze so beginnen und dann halt alle Axiome durchexerzieren?
Danke schonmal!
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moin Anton,
Deine Gleichung $(x+1)(x-2) = [mm] x^2-x-2$ [/mm] gilt in jedem Polynomring.
Also poste bitte mal die gesamte Aufgabe oder ggf. ein paar Hintergrundinfos, in welchem Kontext diese Aufgabe genau auftritt.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 10.07.2012 | | Autor: | AntonK |
Er hat speziell keine Aufgabe gegeben, sondern die Definition für einen Polynomring eingeführt und ein Beispiel:
"Als ganz einfach numerische Beispiele schauen wir uns
(X + 1)(X - 2) = X2 - X - 2 oder (X2 + X + 1)(X - 1) = X3 - 1
an, hier ist R = [mm] \IZ."
[/mm]
Wenn ich nun eben beweisen muss, dass etwas ein Polynomring ist, also dass alle Axiome erfüllt sind, nehme ich da ein beliebiges Element aus [mm] \IZ [/mm] z.B. und setze es für X ein oder wie mache ich das?
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> Er hat speziell keine Aufgabe gegeben, sondern die
> Definition für einen Polynomring eingeführt und ein
> Beispiel:
>
> "Als ganz einfach numerische Beispiele schauen wir uns
> (X + 1)(X - 2) = X2 - X - 2 oder (X2 + X + 1)(X - 1) = X3
> - 1
> an, hier ist R = [mm]\IZ."[/mm]
Diese Gleichheit gilt in jedem Polynomring, insbesondere in [mm] $\IZ[x]$.
[/mm]
> Wenn ich nun eben beweisen muss, dass etwas ein Polynomring
> ist, also dass alle Axiome erfüllt sind, nehme ich da ein
> beliebiges Element aus [mm]\IZ[/mm] z.B. und setze es für X ein
> oder wie mache ich das?
>
Ich glaube es wäre mal ganz gut wenn du nachgucken (und am besten hier reinschreiben) könntest, wie genau ein Polynomring bei euch definiert ist und was für Beispiele ihr bereits hattet.
Entweder du verstehst hier noch nicht ganz, was ein Polynomring sein soll oder ihr habt ihn grundlegend anders definiert als er normalerweise (in der Algebra) definiert wird.
Dein Beispiel von oben wie gesagt ist ein einfaches Produkt zweier Polynome und diese Gleichheit gilt über jedem Ring, also in jedem Polynomring.
Andererseits kannst du aus dieser Gleichheit noch lange nicht zeigen, dass du in einem Polynomring bist.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Di 10.07.2012 | | Autor: | AntonK |
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie eine Aufgabe aussehen könnte, in der man zeigen muss, dass etwas ein Polynomring ist, könntest du mir vielleicht so eine Aufgabe zusammen basteln? Zuzeigen, dass etwas ein Ring ist, kann ich mir vorstellen, aber speziell eine Aufgabe zum Polynomring kann ich mir einfach nicht vorstellen, wäre dir dankbar, wenn du da eine Beispielaufgabe hättest.
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Da fällt mir an sich nichts zu ein.
Ein Polynomring wird immer definiert, indem man den Grundring (bei euch heißt er scheinbar $R$) und eine Menge von Unbekannten (zB $x$) angibt.
Dann schreibt man $R[x]$ für den Polynomring über $R$ in der Unbestimmten $x$.
Dies ist schon nach Definition ein Ring bzw. man zeigt normalerweise allgemein, dass dies für jeden Ring $R$ wieder einen Ring bildet.
Es mag sein, dass jemand ein gutes Beispiel hat, deshalb lasse ich die Frage mal offen.
Aber wie gesagt wüsste ich nicht wie man so eine Aufgabe konstruieren könnte; zumindest nicht wenn bereits bekannt ist, dass $R[x]$ für einen beliebigen Ring $R$ wieder einen Ring bildet.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 10.07.2012 | | Autor: | AntonK |
Moment, dann verstehe ich das glaube ich nun, ich nehme dann z.B. R[x] wobei x [mm] \in \IZ [/mm] ist und zeige, dann, dass R[x] ein Polynomring ist. Wäre das eine gängige Anwendung? Mir fehlt ganz einfach der Bezug zum Polynomring, kann mir die keine Aufgabe zu vorstellen.
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> Moment, dann verstehe ich das glaube ich nun, ich nehme
> dann z.B. R[x] wobei x [mm]\in \IZ[/mm] ist und zeige, dann, dass
> R[x] ein Polynomring ist.
Moment:
$x [mm] \in \IZ$ [/mm] kann nicht sein, denn $x$ ist eine Unbekannte.
Du musst hier unterscheiden zwischen einem Polynom, einem Element von $R[x]$ und einem Polynom, in das du etwas einsetzt.
Du kannst als Beispiel auch ein Element, das nicht in $R$ liegt, in einem Polynom aus $R[x]$ einsetzen (wenn du Spaß drann hast).
> Wäre das eine gängige
> Anwendung? Mir fehlt ganz einfach der Bezug zum
> Polynomring, kann mir die keine Aufgabe zu vorstellen.
Also zeigen, dass etwas ein Polynomring ist, tut man wie gesagt normalerweise nicht.
Mögliche Aufgaben sind etwa zu zeigen, dass gewisse Eigenschaften des Grundrings $R$ auf den Polynomring übergehen (etwa ist $R$ ein Integritätsbereich, so auch $R[x]$, ist $R$ Noethersch so auch $R[x]$, ist $R=K$ ein Körper, dann ist $K[x]$ ein euklidischer Bereich (insbesondere ein Hauptidealbereich und ein Integritätsbereich)).
Sagen dir diese ganzen Begriffe noch nichts keine Sorge, die lernst du noch kennen.
Öfters wird der Polynomring über einem Körper $K$ in mehreren Unbekannten [mm] $x_1, \ldots [/mm] , [mm] x_n$ [/mm] untersucht, geschrieben [mm] $K[x_1, \ldots [/mm] , [mm] x_n]$ [/mm] oder [mm] $K[\underline{x}]$.
[/mm]
Mit einer ganzen Reihe von Erkenntnissen über Ringe, Polynomringe, Polynomringe über Körpern, etc. kann man etwa sogenannte algebraische Gleichungssyteme lösen, als Beispiel finde alle $x,y,z [mm] \in \IQ$, [/mm] die alle nachfolgenden Gleichungen erfüllen:
[mm] $x*y+2*y^2-x-4*y+2= [/mm] 0$
[mm] $2*y^2+2*y*z-10*y-2*z+8=0$
[/mm]
[mm] $x^2-y^2-5*x+y+6=0$
[/mm]
[mm] $-y^2+x*z-4*x+y-2*z+8=0$
[/mm]
[mm] $y^2-z^2-y+7*z-12=0$
[/mm]
[mm] $-y^3+x*y+2*y^2-x-3*y+2=0$
[/mm]
Dieses System hat genau 5 Lösungen, aber um diese auch wirklich (effizient, nicht nur durch bloßes probieren) berechnen zu können braucht man eine ganze Menge Theorie über Polynomringe.
Wenn du gerade erst Polynomringe kennenlernst ist das zwar ein netter Ausblick, aber du wirst wohl erstmal andere Dinge zeigen dürfen.
Als Beispiel:
Ist $K$ ein Körper, so hat ein Polynom vom Grad $n$ höchstens $n$ Nullstellen.
Also es gibt durchaus eine ganze Reihe von Anwendungen und Aufgaben in Polynomringen, aber meist in Zusammenhang mit anderen Fragen.
Zeigst du etwa die obige Aussage für Körper, so kannst du daraus folgern, dass [mm] $\pm [/mm] 1$ die einzigen Elemente des Körpers sind, die [mm] $x^2 [/mm] = 1$ erfüllen.
Dass die beiden Diese Gleichung erfüllen glaubst du wohl, wenn du dir das Polynom [mm] $x^2-1$ [/mm] betrachtest und bereits gezeigt hast, dass es höchstens $2$ Nullstellen haben kann, dann hast du auch gezeigt, dass es keine weiteren geben kann.
Also kurz und knapp:
Man kann mit Polynomringen sehr viel machen.
Normalerweise behandelt man erst eine ganze Reihe von Theorie und wenn man dann genug weiß kann man Polynomringe verwenden, um andere Aufgaben zu lösen (die man auf den ersten Blick manchmal gar nicht mit Polynomen in Verbindung bringen würde).
Ich kann dir hier nur wärmstens die Vorlesung Computeralgebra empfehlen, falls du irgendwann mal die Gelegenheit haben solltest die zu hören, da werden unter anderem Verfahren gezeigt um solche Gleichungssysteme wie oben zu lösen (Stichwort: Gröbnerbasen).
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Mi 11.07.2012 | | Autor: | AntonK |
Alles klar, dann weiß ich nun erstmal Bescheid, vielen Dank!
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