Pos-Bestimmung via Drehmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Position (x,y,z) eines lokalen kart. Koordinatensystems L gegenüber dem globalen kart. Koordinatensystem G.
Gegeben:
s: Abstand zwischen den Ursprüngen L und G (s)
[mm] \alpha: [/mm] Winkel zwischen der lokalen x-Achse und der globalen z-Achse
[mm] \beta: [/mm] Winkel zwischen der lokalen y-Achse und der globalen z-Achse
[mm] \theta: [/mm] Rollwinkel der lokalen z-Achse.
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Hallo,
obige Aufgabenstellung ist Teil meiner Studienarbeit. Es handelt sich dabei um einen Zylinder, der zwecks Temperaturmessungen in den Boden eindringt. Dabei misst ein Trägheitssensor die Winkel des Körpers zum Gravitationsvektor ( [mm] \alpha, \beta), [/mm] außerdem misst ein Rollsensor den Rollwinkel [mm] \theta [/mm] (Verdrehung des Bohrers). GGf kann dieser auch =0 gesetzt werden.
Der Abstand s wird über die Kabellänge bestimmt.
Habe mich nun schon einige Tage mit Drehmatrizen etc rumgeschlagen, und soweit folgenden Lösungsweg erarbeitet:
1.) Aufstellen einer Drehmatrix [mm] R=f(\alpha, \beta,\theta)
[/mm]
2.) Position im glob. Kos sollte sich dann folgender Maßen ergeben:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = s [mm] \cdot R_{total} \cdot \vec e_{3G}
[/mm]
mit [mm] \vec e_{3G} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] bliebe also die letzte Spalte der Drehmatrix mal dem Abstand.
Hapern tut's nun bei der Drehmatrix. Ich weiß nicht, wie ich die Angabe der Winkel zum Gravitationsvektor sinnvoll einbauen soll. Eine Idee ist, aus eine Euler-Matrix , (die das Rollen um [mm] \theta [/mm] enthält) eine neue zu konstruieren, und dabei folgendes einzubauen:
Wenn ich mich nicht irre, gilt, da [mm] \alpha [/mm] = [mm] \angle (\vec e_{1L}, \vec e_{3G}) [/mm]
und somit [mm] \cos\alpha [/mm] = [mm] \vec e_{1L} \cdot \vec e_{3G} [/mm] = [mm] e_{1xL} \cdot e_{3xG} [/mm] + [mm] e_{1yL} \cdot e_{3yG} [/mm] + [mm] e_{1zL} \cdot e_{3zG}
[/mm]
da bleibt dann nur noch [mm] \cos\alpha [/mm] = [mm] e_{1zL} [/mm] übrig.
Analog wird aus [mm] \beta [/mm] dann [mm] \cos\beta [/mm] = [mm] e_{2zL}.
[/mm]
Über die Transformation der Vektoren mittels meiner Euler-Matrix möchte ich dies nun einbauen:
[mm] \vec e_{1L} [/mm] = R [mm] \cdot \vec e_{1G} [/mm] ergibt dann für [mm] \vec e_{1zL} [/mm] = [mm] R_{31} [/mm] = [mm] \cos\alpha, [/mm] also ein Eintrag meiner neuen Matrix
[mm] \vec e_{2L} [/mm] = R [mm] \cdot \vec e_{2G} [/mm] ergibt dann für [mm] \vec e_{2zL} [/mm] = [mm] R_{32} [/mm] = [mm] \cos\beta
[/mm]
Soweit so gut (und hoffentlich richtig), nur wie geht's weiter ? Problem wäre auch , welche Eulerdarstellung (Drehreihenfolge) ich wählen soll, m.E. sollte das ja wurscht sein, aber beim Ausrechen scheint das schon einen Unterschied zu machen...
Danke schonmal im Vorraus, mir schwirrt der Kopf...
Buzz
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Di 15.08.2006 | | Autor: | Martin243 |
Hallo,
eine kleine Skizze würde mir vielleicht weiterhelfen. Wie verhalten sich Körper und Bohrer zueinander? Für eine Koordinatentransformation braucht man doch 6 Parameter (6 Freiheitsgrade: 3 Pos. + 3 Orient.). Welche fallen hier weg?
Gruß
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 19.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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