Potential einer Kraft bestimme < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Eine Ladung Q im Nullpunkt übt auf eine andere Ladung q im Punkt [mm] \vec x \in \mathrm R^3 [/mm] \ [mm] \left { \vec 0 \right } [/mm] die Kraft [mm] \vec f ( \vec x ) = \bruch{Q*q}{4 \pi \epsilon_0 } * \bruch{1}{ \left | \vec x \right |^3 } \vec x [/mm] aus.
Welche Arbeit wird verrichtet wenn die eine Ladung im Nullpunkt bleibt und die andere vom Punkt A(0,2,0) nach B(1,0,0) bewegt wird entlang
a) einer Geraden
b) einer Parabel [mm] y(x) = c(x-d)^2 + e [/mm] |
Hi,
das Ergebnis ist [mm] \bruch{Q*q}{4 \pi \epsilon_0} * \bruch{1}{2} [/mm]
Nun soll ich Ein Potential dafür Ermitteln.
Nur wie geht das ? Ich dachte einfach über eine Aufleitung?
Grüße
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Wenn man sich das Potential anschaut, dann erkennt man hoffentlich sofort, dass das Kraftfeld kugelsymmetrisch ist, also versucht man ein Potential [mm] \phi [/mm] zu finden, das nur vom Radius abhängt. Die Kraft verhält sich wie [mm] \frac{1}{r^2}, [/mm] aufintegriert ergibt das [mm] -\frac{1}{r}. [/mm] Das Gebiet ist nicht zusammenziehbar, also ist es hier am einfachsten, wenn man explizit nachprüft, dass [mm] -\frac{1}{r}=-\frac{1}{|\vec{x}|} [/mm] das gesuchte Potential ist:
[mm] \nabla\frac{-1}{|\vec{x}|}=-\nabla(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}=\frac{x\hat e_x+y\hat e_y+z\hat e_z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^3}=\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|^3}
[/mm]
(alles [mm] \pm [/mm] konstanter faktor, aber das ist nicht so spannend)
Bitte darauf achten, dass man in der Physik das Potential mit dem genau andersherum gerichtetem Vorzeichen sehen will, weil dort Kraft als
[mm] F=-\nabla\phi
[/mm]
definiert ist, weil die Teilchen die Potentialberge wesentlich lieber herunterrollen, als auf diese raufzukriechen. Die Kraft zeigt also in die richtung des steilsten Abstiegs.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:14 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Danke für deine Antwort, aber ich blick da jetzt nicht so 100% durch, könntest du das vielleicht ein wenig allgemeiner schreiben?
So wie deine Lösung dasteht kann ich leider kein system erkennen, das ich auf andere Potentialberechnungen anwenden könnte, scheint ja doch mehr dahinterzustecken als eine "bloße" Augleitung.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Di 04.08.2009 | | Autor: | elmer |
Hi!
Es gibt auch ein Schema, und mit aufintegrieren hast Du schon Recht. Es ist nur viel zu schreiben, ich habe leider kein Buch zur Hand. Aber Du mußt dein Feld als ein Gradientenfeld betrachten. Dann ist die erste Komponentenfunktion ja die Ableitung der Stammfunktion nach der ersten Variablen.
Integriere also die erste Komponentenfunktion nach x1. Das Ergebnis ist eine Funktion die noch von einer Konstanten c(x2) abhängt. Leite das Ergebnis nach x2 ab und vergleiche es mit der 2ten Komponentenfunktion. So kannst Du mit einem vergleich das c(x2) finden usw.
Tut mir leid, das es nur die Worte sind, aber man kann das Schema bestimmt irgendwo schön aufgeschrieben finden.
Gruß
elmer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Hi,
also ich habe dies Formel hier gefunden für das Potential
[mm] \rightarrow V= \gamma * m * M_E * \bruch{1}{\left | \vec x \right |} [/mm]
Hierbei steht das [mm] \gamma [/mm] ja für die Kurve/Strecke, aber wofür steht das [mm] \color{red} m [/mm] und das [mm] \color{red} M_E [/mm] ?
Muss ich dann in den [mm] \left | \vec x \right | [/mm] einfach die Werte von [mm] \gamma [/mm] eintragen? Also wenn [mm] \vec \gamma = \begin{pmatrix} 2t \\ 5t \\ 3t \end{pmatrix} \rightarrow V= \gamma * m * M_E * \bruch {1}{\sqrt{(2t)^2 + (5t)^2 + (3t)^2 } [/mm] ?
Wobei, was trage ich hier für das Gamma ein? scheint ja kein vektor zu sein ...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie lautet denn die genaue Frage?
ich soll "ein Potential" dazu ermitteln ist zu ungenau.
Potential ist hier ein elektrisches und hat nichts mit deiner masse zu tun. Du solltest nicht zu blindlings nach Formeln suchen.
Wie habt ihr potential definiert?
Du brauchst dazu einen Bezugspunkt, mit Potential 0.
Also: 1. genaue Frage zitieren
2. Definition von Potential aufschreiben.
Dann hast du wahrscheinlich schon selbst die Loesung.
Was du im post gemacht hast ist einfach leider Quatsch.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Hmm... Naja, mit system ist das so eine Sache... Wenn man es einfach sofort explizit ausgerechnet haben will, nehme man einfach die ![[]](/images/popup.gif) Stammformformel und rechne das aus, und verifiziere anschließend, dass das Potential immer noch sinn macht, wenn man den "Strahl im Schatten des Atoms" wegmacht, und stattdessen das nicht sternförmige Gebiet [math]R^3\setminus\{0\}[/math] betrachtet.
Diese Formel ist zwar explizit und überhaupt voll toll, nur
1) kann zumindest ich mir sie noch nicht merken, da Vektorana doch nicht so bombensicher sitzt
2) Die methode ist nicht die einfachste, dieses Integral einfach so auszurechnen ist bereits für die Coulomb-Kraft nicht so spaßig, bei komplizierteren Sachen wird's sehr mühsam ( =kompliziertes Handwerk).
Daher könnte man sich stattdessen überlegen, was es für tolle symmetrien im system gibt, und irgendeinen einfacheren Ansatz machen. Ich habe mir zum beispiel nur angeschaut, was passiert, wenn ich radial vom Zentrum weggehe, was da für kräfte wirken, und wieviel energie man verbraten muss. Entlang so einer radialen geraden zu integrieren ist eben wesentlich einfacher, als entlang einer geraden, die schräg am Zentrum vorbeiläuft, das geht sogar im Kopf. Dadurch erhalte ich den Ansatz, dass 1/r es durchaus tun würde. Dann verifiziere ich das, und bin fertig.
Ich glaube, das was elmer vorgeschlagen hat in etwa das ist, was ich auch lieber als die stammformformel anwende, es ist ein bisschen allgemeiner anwendbar: hat man ein Kraftfeld vorgegeben, dann versuche man die erste komponente nach x, zweite nach y und dritte nach z zu integrieren. Dann bekommt man drei "1D-Stammfunktionen" bzgl x, bzgl y und bzgl z. Dann kann man meistens durch scharfes Hinsehen aus diesen drei Formeln eine zusammenbasteln, indem man mehrfach vorkommende Summanden wegschmeißt, und alles was übrig bleibt zu einer formel zusammenfügt (=Kunst, aber einfacher als Handwerk).
Ich versuch das mal am beispiel etwas klarer zu machen:
Gegeben sei [mm] $F=\vektor{
\sqrt{x^2+y^2}x-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^3} \\
\sqrt{x^2+y^2}y-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^3}+z sinh(y)\\
2z e^{z^2}-\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^3}+cosh(y)
}$
[/mm]
Man "sieht direkt" ohne irgendwas rumzurechnen, dass das Potential [mm] $\phi=\frac{1}{3}\sqrt{x^2+y^2}^{3}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+e^{z^2}+z [/mm] cosh(y)$ sein müsste. Wieso?
Integriere die erste Kraftkomponente nach x: kommt sowas wie [mm] $\frac{1}{3}\sqrt{x^2+y^2}^3+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ [/mm] raus
Integriere die zweite Kraftkomponente nach y: kommt sowas wie [mm] $\frac{1}{3}\sqrt{x^2+y^2}^3+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+z [/mm] cosh(y)$ raus
Integriere die dritte Kraftkomponente nach z: kommt sowas wie [mm] $e^{z^2}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+z [/mm] cosh(y)$
Jetzt schaue dir an, was da alles für Terme doppelt und dreifach vorkommen, und schmeiß die Wiederholungen raus. Was übrig bleibt ist:
[mm] $\phi=\frac{1}{3}\sqrt{x^2+y^2}^{3}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+e^{z^2}+z [/mm] cosh(y)$
Verifiziere dass es passt: [mm] $F=\nabla \phi$, [/mm] fertig.
Ehrlich gesagt weiß ich gar nicht, wie man das sonst rechnen sollte... Wenn man anfängt irgendwelche allgemeinen Kurvenintegrale über diesem feld zu basteln, wird es schrecklich lang. Also, kA was die Differentialgeometer dazu sagen würden, zumindest in theophysik klausuren schien die methode zu klappen *duck*
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