Potential und Richtungsableitu < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Do 23.08.2007 | | Autor: | biblis |
| Aufgabe | a) v: [mm] R^2->R^2, [/mm] v(x,y)= (-y,x) besitzt kein Potential, denn [mm] v_{1}/ [/mm] partielle Ableitung y =-1 und [mm] v_{2} [/mm] / partielle Ableitung x =1
b) aber v(x,y)= (x,y) besitzt ein Potential. f(x,y)= 1/2 [mm] (x^2+y^2) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe einen Frage zum Potential. Wir haben das Potential so definiert, dass ein v: [mm] U->R^n [/mm] ein Potential hat, wenn es ein f [mm] C^2(U) [/mm] gibt mit grad f=v.
Dann wurden uns zwei Beispiele gegeben, eins mit Potential und eins ohne. Meine Frage ist nun, wann ich denn ein Potential habe? Habe ich ein Potential, wenn die Richtungsableitungen gleich sind (was bedeutet dann aber [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2}?? [/mm] ich leite doch komplett v erst nach x und dann nach y ab??!!) oder brauche ich eine Funktion f, die abgeleitet v ergibt (so verstehe ich nämlich die Definition, aber dann würde ich doch zu Beispiel a) auch ein f finden können, sodass v ein Potential ist)?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
gruß biblis
|
|
| |
|
Hallo!
Vielleicht hilft dir eine etwas anschaulichere, physikalischere Anschauung der Begriffe etwas.
Das Potenzial ist sowas wie die Höhe eines Gebirges, dann gibt es die vektorielle Kraft, die einen Körper Bergab treibt. Die Kraft ist demnach die Richtungsableitung des Potenzials.
Dein v ist vektoriell, also sowas wie die Kraft, und gesucht ist das Potenzial u.
Damit gilt:
a)
[mm] $\vektor{-y \\ x}=\vektor{\partial_x u \\ \partial_yu}$
[/mm]
b)
[mm] $\vektor{x \\ y}=\vektor{\partial_x u \\ \partial_yu}$
[/mm]
Im zweiten Fall ist die Lösung recht einfach, im ersten wirst du keine Lösung finden. Ich meine, die Kraft beschreibt ja einen Kreis bzw einen Wirbel, wie müßte ein Gebirge aussehen, wenn ein einmal ins rutschen geratender Stein sich danach stets im Kreis bewegt, und dabei sogar noch beschleunigt? (Kraft x Weg = kin. Energie)
Es gibt noch ne andere Möglichkeit, herauszufinden, ob man es ein Potenzial gibt, das ist die Rotation
[mm] \vektor{\partial_y v_z- \partial_z v_y\\ \partial_z v_x- \partial_x v_z \\ \partial_x v_y- \partial_y v_x}
[/mm]
Dieser Ausdruck ist ein Maß für die Wirbel im Feld. Gibt es Wirbel, gibt es kein Potenzial! Denn die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten gibt eben die Energie, also das Wegintegral des Feldes dazwischen an, und zwar unabhängig vom Weg. Hast du Wirbel, wäre das Integral unterschiedlich, wenn du links oder rechts am Wirbel vorbei integrierst.
Nun, du hat 2D-Vektoren, da vereinfacht sich das zu [mm] \vektor{\partial_y v_x \\ \partial_x v_y}, [/mm] und genau das ist die Aussage von der Lösung zu Aufgabe a). Das Ding ist nicht 0, also gibts kein Potenzial.
Ich hoffe, diese etwas handfeste, mathematisch nicht ganz einwandfreie Anschauung hilft dir weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:48 Do 23.08.2007 | | Autor: | biblis |
hallo,
vielen dank für deine antwort. jetzt hab ich auch endlich mal eine vorstellung davon, was ein potential ist 
mein prof hat uns auch so ein seltsames bild dazu an die tafel gemalt und mit deiner erklärung seh ich jetzt auch den kreis bzw. wirbel im gebirge.
aber ich hab doch noch eine kurze frage. also, muss die richtungsableitung von v=0 sein, damit ich ein potential finden kann? dies ist ja bei beispiel b) der fall und bei a) nicht.
liebe grüße
biblis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 25.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
> a) v: [mm]R^2->R^2,[/mm] v(x,y)= (-y,x) besitzt kein Potential, denn
> [mm]v_{1}/[/mm] partielle Ableitung y =-1 und [mm]v_{2}[/mm] / partielle
> Ableitung x =1
>
> b) aber v(x,y)= (x,y) besitzt ein Potential. f(x,y)= 1/2
> [mm](x^2+y^2)[/mm]
> ich habe einen Frage zum Potential. Wir haben das Potential
> so definiert, dass ein v: [mm]U->R^n[/mm] ein Potential hat, wenn es
> ein f [mm]C^2(U)[/mm] gibt mit grad f=v.
Hallo,
ich gehe das ausgehend von dieser Definition rein rechnerisch an.
>oder brauche ich eine Funktion f, die
> abgeleitet v ergibt (so verstehe ich nämlich die
> Definition,
Genau.
> aber dann würde ich doch zu Beispiel a) auch
> ein f finden können, sodass v ein Potential ist)?
Ja? Wie denn?
Gucken wir mal nach.
Angenommen, wir hätten ein f mit grad f = v,
d.h. [mm] f_x=-y [/mm] und [mm] f_y=x.
[/mm]
Wenn die part. Ableitung von f nach x gleich -y ist, hat f die Gestalt f(x,y)=-xy + g(y).
In g(y) kommt kein x vor, sonst hätte sich das beim partiellen Ableiten irgendwo niedergeschlagen.
Wenn die part. Ableitung von f nach y gleich x ist, hat f die Gestalt f(x,y)=xy + h(x)
In h(x) kommt kein y vor, sonst hätte sich das beim partiellen Ableiten irgendwo niedergeschlagen.
Also müßte -xy + g(y)=xy + h(x) gelten, und das kann nicht sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Do 23.08.2007 | | Autor: | biblis |
hallo,
vielen dank für deine antwort. du hast recht, man findet echt kein potential.
liebe grüße
biblis
|
|
|
|
