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Hallo sehr geehrter Matheraum und zunächst einmal ein frohes neues Jahr.
Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Für welche Funktionen f besitzt die Funktion (x,y,z) [mm] \mapsto q(x,y,z)=\pmat{ f(x,y,z) \\ z cos(y)+cos(z) \\ sin(y)-ysin(z)} [/mm] ein Potential? Bestimme diese Potentiale.
Die Existenz eines Potential folgt ja aus der Wirbelfreiheit, d.h. rot q=0 und der Konvexität der Funktion.
rot [mm] q=\nabla \times [/mm] q = [mm] \pmat{ \bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \times \pmat{ f(x,y,z) \\ z cos(y)+cos(z) \\ sin(y)-ysin(z)}=\pmat{ \bruch{\partial}{\partial y}(sin(y)-ysin(z))-\bruch{\partial}{\partial z}(z cos(y)+cos(z)) \\ \bruch{\partial}{\partial z}(f(x,y,z))-\bruch{\partial}{\partial x}(sin(y)-ysin(z)) \\ \bruch{\partial}{\partial x}(zcos(y)+cos(z))-\bruch{\partial}{\partial y}(f(x,y,z))}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{cosy-cosy \\ \bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)-0 \\ 0-\bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Es muss ja demnach gelten: [mm] \bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)=0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)=0
[/mm]
Ich entscheide mich somit z.B. für die Funktion [mm] f(x,y,z)=x^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{cosy-cosy \\ 0-0 \\ 0-0}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Das Potential [mm] \varphi [/mm] soll nun aus der Bedingung [mm] -\vec{F}=\nabla \varphi [/mm] berechnet werden
[mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial x}=-F_1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial y}=-F_2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial z}=-F_3
[/mm]
bzw. (1) [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial x}=-x^2
[/mm]
bzw. (2) [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial y}=-zcos(y)-cos(z)
[/mm]
bzw. (3) [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial z}=-sin(y)+ysin(z)
[/mm]
Im 1. Schritt möchte ich nun (1), also [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial x}=-x^2 [/mm] nach x integrieren.
Ich erhalte [mm] \varphi (x,y,z)=-\integral x^2 dx+C(y,z)=-\bruch{1}{3}x^3+C(y,z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3+C(y,z)
[/mm]
Wobei C(y,z) eine Konstante bzgl. x ist.
Im 2. Schritt setze ich nun [mm] \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3+C(y,z) [/mm] in (2), also [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial y}=-zcos(y)-cos(z) [/mm] ein, um C(y,z) zu berechnen.
Ich erhalte [mm] \bruch{\partial}{\partial y}(-\bruch{1}{3}x^3+C(y,z))=-zcos(y)-cos(z) [/mm] und es ergibt sich somit [mm] \bruch{\partial}{\partial y}C(y,z)=-zcos(y)-cos(z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow C(y,z)=-\integral{zcos(y)-cos(z) dy+D(z)}=-zsin(y)-ycos(z)+D(z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+D(z)
[/mm]
Wobei D(z) eine konstante bzgl. y ist.
Im letzten Schritt möchte ich nun D(z) berechnen, indem ich [mm] \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+D(z) [/mm] in (3), also [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial z}=-sin(y)+ysin(z) [/mm] einsetze.
Ich erhalte [mm] \bruch{\partial}{\partial z}(-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+D(z))=-sin(y)+ysin(z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow{-sin(y)+ysin(z)+D'(z)=-sin(y)+ysin(z)}
[/mm]
D'(z)=0 bzw. [mm] D'(z)=C_0
[/mm]
und es ergibt sich somit das Potential [mm] \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+C_0
[/mm]
Meine Frage besteht nun darin zu fragen, ob es prinzipiell reicht zu sagen, dass Jede Funktion f ein Potential besitzt, für die folgendes gilt: [mm] \bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)=0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)=0, [/mm] denn für alle anderen Fälle wäre das Vektorfeld ja nicht Wirbelfrei.
Es geht somit z.B. auf für [mm] x^k [/mm] mit k [mm] \in \IR
[/mm]
Hoffe ihr könnt mir helfen. mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 So 01.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Vorweg: ich finde keine wesentlichen Fehler, habe aber ein paar Anmerkungen. Allerdings liegt mien Training zu diesem Thema Jahrzehnte zurück.
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.....
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{cosy-cosy \\ \bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)-0 \\ 0-\bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
cos y - cos y = 0
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> Es muss ja demnach gelten: [mm]\bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)=0[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)=0[/mm]
>
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> Ich entscheide mich somit z.B. für die Funktion
> [mm]f(x,y,z)=x^2[/mm]
>
Ok, aber allgemeiner steht da, dass f nur von x abhängt (diffbar)
> [mm]\Rightarrow \pmat{cosy-cosy \\ 0-0 \\ 0-0}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
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> Das Potential [mm]\varphi[/mm] soll nun aus der Bedingung
> [mm]-\vec{F}=\nabla \varphi[/mm] berechnet werden
Warum wechselst Du hier von q auf F?
>
....
>
> und es ergibt sich somit das Potential
> [mm]\varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+C_0[/mm]
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> Meine Frage besteht nun darin zu fragen, ob es prinzipiell
> reicht zu sagen, dass Jede Funktion f ein Potential
> besitzt,
Hier stimmt Dein Text nicht. Es geht um eine Funktion q, die unter bestimmten Bedingungen ein Potential besitzt.
> für die folgendes gilt: [mm]\bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)=0[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)=0,[/mm] denn für alle
> anderen Fälle wäre das Vektorfeld ja nicht Wirbelfrei.
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> Es geht somit z.B. auf für [mm]x^k[/mm] mit k [mm]\in \IR[/mm]
Das habe ich oben versucht, etwas anders zu formulieren. exp( x ) geht doch auch.
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