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Hallo sehr geehrter Matheraum und zunächst einmal ein frohes neues Jahr.
Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Für welche Funktionen f besitzt die Funktion (x,y,z) [mm] \mapsto q(x,y,z)=\pmat{ f(x,y,z) \\ z cos(y)+cos(z) \\ sin(y)-ysin(z)} [/mm] ein Potential? Bestimme diese Potentiale.
Die Existenz eines Potential folgt ja aus der Wirbelfreiheit, d.h. rot q=0 und der Konvexität der Funktion.
rot [mm] q=\nabla \times [/mm] q = [mm] \pmat{ \bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \times \pmat{ f(x,y,z) \\ z cos(y)+cos(z) \\ sin(y)-ysin(z)}=\pmat{ \bruch{\partial}{\partial y}(sin(y)-ysin(z))-\bruch{\partial}{\partial z}(z cos(y)+cos(z)) \\ \bruch{\partial}{\partial z}(f(x,y,z))-\bruch{\partial}{\partial x}(sin(y)-ysin(z)) \\ \bruch{\partial}{\partial x}(zcos(y)+cos(z))-\bruch{\partial}{\partial y}(f(x,y,z))}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{cosy-cosy \\ \bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)-0 \\ 0-\bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Es muss ja demnach gelten: [mm] \bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)=0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)=0
[/mm]
Ich entscheide mich somit z.B. für die Funktion [mm] f(x,y,z)=x^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{cosy-cosy \\ 0-0 \\ 0-0}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Das Potential [mm] \varphi [/mm] soll nun aus der Bedingung [mm] -\vec{F}=\nabla \varphi [/mm] berechnet werden
[mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial x}=-F_1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial y}=-F_2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial z}=-F_3
[/mm]
bzw. (1) [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial x}=-x^2
[/mm]
bzw. (2) [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial y}=-zcos(y)-cos(z)
[/mm]
bzw. (3) [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial z}=-sin(y)+ysin(z)
[/mm]
Im 1. Schritt möchte ich nun (1), also [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial x}=-x^2 [/mm] nach x integrieren.
Ich erhalte [mm] \varphi (x,y,z)=-\integral x^2 dx+C(y,z)=-\bruch{1}{3}x^3+C(y,z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3+C(y,z)
[/mm]
Wobei C(y,z) eine Konstante bzgl. x ist.
Im 2. Schritt setze ich nun [mm] \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3+C(y,z) [/mm] in (2), also [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial y}=-zcos(y)-cos(z) [/mm] ein, um C(y,z) zu berechnen.
Ich erhalte [mm] \bruch{\partial}{\partial y}(-\bruch{1}{3}x^3+C(y,z))=-zcos(y)-cos(z) [/mm] und es ergibt sich somit [mm] \bruch{\partial}{\partial y}C(y,z)=-zcos(y)-cos(z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow C(y,z)=-\integral{zcos(y)-cos(z) dy+D(z)}=-zsin(y)-ycos(z)+D(z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+D(z)
[/mm]
Wobei D(z) eine konstante bzgl. y ist.
Im letzten Schritt möchte ich nun D(z) berechnen, indem ich [mm] \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+D(z) [/mm] in (3), also [mm] \bruch{\partial \varphi}{\partial z}=-sin(y)+ysin(z) [/mm] einsetze.
Ich erhalte [mm] \bruch{\partial}{\partial z}(-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+D(z))=-sin(y)+ysin(z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow{-sin(y)+ysin(z)+D'(z)=-sin(y)+ysin(z)}
[/mm]
D'(z)=0 bzw. [mm] D'(z)=C_0
[/mm]
und es ergibt sich somit das Potential [mm] \varphi(x,y,z)=-\bruch{1}{3}x^3-zsin(y)-ycos(z)+C_0
[/mm]
Meine Frage besteht nun darin zu fragen, ob es prinzipiell reicht zu sagen, dass Jede Funktion f ein Potential besitzt, für die folgendes gilt: [mm] \bruch{\partial}{\partial z}f(x,y,z)=0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y,z)=0, [/mm] denn für alle anderen Fälle wäre das Vektorfeld ja nicht Wirbelfrei.
Es geht somit z.B. auf für [mm] x^k [/mm] mit k [mm] \in \IR
[/mm]
Hoffe ihr könnt mir helfen. mfg dodo4ever
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 So 01.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, allsrdings solltest du für f(x,y,z)=f)x) schreiben mit F(x) als Stammfunktion und nicht nur [mm] x^r
[/mm]
gruss leduart
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Hallo leduart und danke die für die Hilfe...
Was meinst du mit nicht nur [mm] x^r??? [/mm] Trigonometrische Funktionen wollte ich jetzt ausschließen. Kosinus und Sinus sind ja abwechselnd konvex und konkav.
Für welche Funktionen gibt es denn noch Potentiale??? Bzw. Wie kann ich die frage allgemein beantworten ohne gleich ne ganze Seite voller Funktionen voll zu schreiben???
Wie gesagt, danke noch einmal. MfG dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo leduart und danke die für die Hilfe...
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> Was meinst du mit nicht nur [mm]x^r???[/mm] Trigonometrische
> Funktionen wollte ich jetzt ausschließen. Kosinus und
> Sinus sind ja abwechselnd konvex und konkav.
>
> Für welche Funktionen gibt es denn noch Potentiale??? Bzw.
> Wie kann ich die frage allgemein beantworten ohne gleich ne
> ganze Seite voller Funktionen voll zu schreiben???
>
Das gegebene Feld muss auf einer einfach zusammenhängenden Menge
stetig differenzierbar sein. Damit auch f.
> Wie gesagt, danke noch einmal. MfG dodo4ever
Gruss
MathePower
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