Potentiale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Di 04.09.2012 | | Autor: | Robse |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektorfelder Potenziale besitzen und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.
a) v : [mm] \IR^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (y−x,x+y)
b) v : [mm] \IR^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (sin(xy),cos(xy))
c) v : [mm] \IR^3 \to \IR^3, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto (ye^{xy},xe^{xy},2z) [/mm] |
Hallo, leider gibt unser Vorlesungsskript nicht so viel in Sachen Potentiale her. Ich wäre dankbar, wenn mir jemand erklärt was bei meinen Rechnungen falsch ist
a) v : [mm] \IR^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (y−x,x+y)
[mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2}} [/mm] = grad [mm] \delta [/mm] =
[mm] \vektor{\delta_{x} \\ \delta_{y}}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = -x+y = [mm] \delta_{x} [/mm] nach x integriert: [mm] \delta [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x^2+yx+C(y)
[/mm]
[mm] \delta [/mm] nach y ableiten: [mm] \delta_{y} [/mm] = [mm] x+C_{y}(y) [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] = x+y
[mm] C_{y}(y) [/mm] = y nach y integrieren: C(y) = [mm] \bruch{1}{2}y^2+C
[/mm]
Lösung: [mm] \delta [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x^2+yx+\bruch{1}{2}y^2+C
[/mm]
b) v : [mm] \IR^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (sin(xy),cos(xy))
[mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2}} [/mm] = grad [mm] \delta [/mm] =
[mm] \vektor{\delta_{x} \\ \delta_{y}}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = sin(xy) = [mm] \delta_{x} [/mm] nach x integreirt: [mm] \delta [/mm] = [mm] -\bruch{1}{y}cos(xy)+C(y) [/mm] nach y ableiten: [mm] \bruch{x}{y}sin(xy)+\bruch{1}{y^2}cos(xy)+C_{y}(y)
[/mm]
[mm] C_{y}(y) [/mm] = [mm] -\bruch{x}{y}sin(xy)+(1-\bruch{1}{y^2})cos(xy)
[/mm]
Das müsste ich jetzt nach y integrieren. Ich habe es mit partieller Integration probiert komme da aber absolut nicht weiter....
c) v : [mm] \IR^3 \to \IR^3, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto (ye^{xy},xe^{xy},2z)
[/mm]
Hier habe ich gar keine Idee, wie es mit 3 Variablen funktioniert. Also Literatur habe ich leider nur alle 3 Papular-Bände. Falls mir jemand zu diesem Thema noch etwas empfehlen kann, wäre ich echt dankbar.
Robse
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Hallo robse,
Gehen wir das mal der Reihe nach durch:
> Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektorfelder Potenziale
> besitzen und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.
> a) v : [mm]\IR^2 \to \IR^2,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (y−x,x+y)
> b) v : [mm]\IR^2 \to \IR^2,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (sin(xy),cos(xy))
> c) v : [mm]\IR^3 \to \IR^3,[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto (ye^{xy},xe^{xy},2z)[/mm]
>
>
> Lösung: [mm]\delta[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}x^2+yx+\bruch{1}{2}y^2+C[/mm]
Richtig. Leicht nachzuprüfen, wenn man beides jeweils ableitet.
>
>
> b) v : [mm]\IR^2 \to \IR^2,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (sin(xy),cos(xy))
Prüfe zunächst die Integrabilitätsbedingung, d.h.:
[mm] f(x,y)=(f_1,f_2), [/mm] dann muss [mm] \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x} [/mm] gelten.
Gilt dies nicht, dann besitzt f kein Potential.
>
>
>
> c) v : [mm]\IR^3 \to \IR^3,[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto (ye^{xy},xe^{xy},2z)[/mm]
Prüfe auch hier erst einmal die Integrabilitätsbedingung.
f(x,y,z)=(u,v,w), wobei u, v und w Funktionen sind.
Dann musst du prüfen:
[mm] u_y=v_x
[/mm]
[mm] u_z=w_y
[/mm]
[mm] v_z=w_y
[/mm]
Nachdem du das gemacht hast, geht es recht simpel weiter. Eigentlich so, wie im zweidimensionalen Falle:
Du integrierst u nach x. Dadurch erhält man [mm] \delta(x,y,z)=U(x,y,z)+C(y,z)
[/mm]
Jetzt leitest du nach y ab und setzt das mit w gleich.
Und so weiter und so fort.
Wenn noch Fragen offen sind, dann einfach noch einmal stellen.
Aber vielleicht hilft dir ja der kleine Schubser? ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Robse |
Hallo Richie,
erstmal einen großen Dank für deine super Erklärung. Das mit der Integrabilatätsbedingung habe ich absolu nicht gewusst, dass macht die Sache bei b) erhelbich einfacher. Als Lösung habe ich dort folgendes bekommen:
[mm] \bruch{\delta f_{1}}{\delta y} [/mm] = xcos(xy)
[mm] \bruch{\delta f_{2}}{\delta x} [/mm] = -ysin(xy)
xcos(xy) [mm] \not= [/mm] -ysin(xy) , also existiert kein Potetial
Bei der Aufgabe c) habe ich leider immer noch so meine Probleme.
Mein Lösungsweg bis jetzt war folgender:
Integrabilitätsbedingung:
[mm] u_{y} [/mm] = [mm] (xy+1)e^{xy} \hat= v_{x} [/mm] = [mm] (xy+1)e^{xy}
[/mm]
[mm] u_{z} [/mm] = 0 [mm] \hat= w_{y} [/mm] = 0
[mm] v_{z} [/mm] = 0 [mm] \hat= w_{y} [/mm] = 0 --> Potential existiert
[mm] \integral{ye^{xy} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y}e^{xy}+C(y,z)
[/mm]
nach y abgeleitet: [mm] (\bruch{x}{y}-\bruch{1}{y^{2}})e^{xy}+C_{y}(y,z)
[/mm]
mit w gleichsetzten und nach [mm] C_{y}(y,z) [/mm] umstellen: [mm] C_{y}(y,z) [/mm] = (x- [mm] \bruch{x}{y}-\bruch{1}{y^{2}})e^{xy}
[/mm]
nach y integriert: C(y,z) = [mm] \integral{(x- \bruch{x}{y}-\bruch{1}{y^{2}})e^{xy} dy}
[/mm]
Wie ich jetzt theoretisch weiter vorgehe ist mir bekannt, nur leider bekomme ich dieses Integral nicht gelöst... Ich hoffe du, bzw. gerne auch jemand anderes, kannst mir dort weiterhelfen?
Mfg Robse
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Hallo Robse,
> Hallo Richie,
>
> erstmal einen großen Dank für deine super Erklärung. Das
> mit der Integrabilatätsbedingung habe ich absolu nicht
> gewusst, dass macht die Sache bei b) erhelbich einfacher.
> Als Lösung habe ich dort folgendes bekommen:
>
> [mm]\bruch{\delta f_{1}}{\delta y}[/mm] = xcos(xy)
> [mm]\bruch{\delta f_{2}}{\delta x}[/mm] = -ysin(xy)
> xcos(xy) [mm]\not=[/mm] -ysin(xy) , also existiert kein Potetial
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei der Aufgabe c) habe ich leider immer noch so meine
> Probleme.
> Mein Lösungsweg bis jetzt war folgender:
>
> Integrabilitätsbedingung:
> [mm]u_{y}[/mm] = [mm](xy+1)e^{xy} \hat= v_{x}[/mm] = [mm](xy+1)e^{xy}[/mm]
> [mm]u_{z}[/mm] = 0 [mm]\hat= w_{y}[/mm] = 0
> [mm]v_{z}[/mm] = 0 [mm]\hat= w_{y}[/mm] = 0 --> Potential existiert
>
> [mm]\integral{ye^{xy} dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{y}e^{xy}+C(y,z)[/mm]
Es ist doch:
[mm]\integral{ye^{xy} \ dx} = \blue{e^{xy}}+C(y,z)[/mm]
> nach y abgeleitet:
> [mm](\bruch{x}{y}-\bruch{1}{y^{2}})e^{xy}+C_{y}(y,z)[/mm]
> mit w gleichsetzten und nach [mm]C_{y}(y,z)[/mm] umstellen:
> [mm]C_{y}(y,z)[/mm] = (x- [mm]\bruch{x}{y}-\bruch{1}{y^{2}})e^{xy}[/mm]
> nach y integriert: C(y,z) = [mm]\integral{(x- \bruch{x}{y}-\bruch{1}{y^{2}})e^{xy} dy}[/mm]
>
> Wie ich jetzt theoretisch weiter vorgehe ist mir bekannt,
> nur leider bekomme ich dieses Integral nicht gelöst... Ich
> hoffe du, bzw. gerne auch jemand anderes, kannst mir dort
> weiterhelfen?
>
>
> Mfg Robse
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Robse |
Alles klar, ich danke dir.
Da habe ich mich wohl beim integrieren verrechnet....
Also sieht es jetzt folgendermaßen aus:
[mm] \integral{ye^{xy} dx} [/mm] = [mm] e^{xy}+C(y,z)
[/mm]
nach y integriert: [mm] xe^{xy}+C_{y}(y,z)
[/mm]
also ist dann [mm] C_{y}(y,z) [/mm] = 0, nach y integriert: 0+C(z)
nach z abgeleitet, mit 2z gleichsetzten: [mm] C_{z}(z) [/mm] = 2z
C(z) = [mm] z^{2}
[/mm]
Das Potential ist also: [mm] e^{xy}+z^2 [/mm] ??
Ich hoffe doch mal, dass jetzt alles richtig ist. Wenn ja dann nochmal vielen Dank für die Hilfe.
Robse
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Hallo Robse,
> Alles klar, ich danke dir.
> Da habe ich mich wohl beim integrieren verrechnet....
>
> Also sieht es jetzt folgendermaßen aus:
>
> [mm]\integral{ye^{xy} dx}[/mm] = [mm]e^{xy}+C(y,z)[/mm]
> nach y integriert: [mm]xe^{xy}+C_{y}(y,z)[/mm]
> also ist dann [mm]C_{y}(y,z)[/mm] = 0, nach y integriert: 0+C(z)
> nach z abgeleitet, mit 2z gleichsetzten: [mm]C_{z}(z)[/mm] = 2z
> C(z) = [mm]z^{2}[/mm]
>
> Das Potential ist also: [mm]e^{xy}+z^2[/mm] ??
>
Ja.
> Ich hoffe doch mal, dass jetzt alles richtig ist. Wenn ja
> dann nochmal vielen Dank für die Hilfe.
>
> Robse
Gruss
MathePower
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