Potenz Komplexer zahl < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
liebe Forenmitglieder ich tu mich bei dieser aufgabe ein wenig schwer, und zwar wie komme ich auf das Ergebniss 2^2010, welche Rechenschritte muss ich dazu vollführen bzw. gibt es dazu eine Stütze bzw Formel ?
lieben dank schon mal im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Christine und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> (2+2i)^2010
> Hallo,
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> liebe Forenmitglieder ich tu mich bei dieser aufgabe ein
> wenig schwer, und zwar wie komme ich auf das Ergebniss
> 2^2010, welche Rechenschritte muss ich dazu vollführen
> bzw. gibt es dazu eine Stütze bzw Formel ?
Du musst lediglich wissen, dass [mm] $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$ [/mm] immer im 4er-Zyklus ist.
Dann berechne mal [mm] $(2+2i)^2$ [/mm] und benutze Potenzgesetze!
Wahlweise klammere direkt mal 2 aus:
[mm] $(2+2i)^{2010}=2^{2010}\cdot{}(1+i)^{2010}$ [/mm] und untersuche genauso wie oben beschrieben [mm] $(1+i)^{2010}$
[/mm]
>
> lieben dank schon mal im vorraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Nebenbei:
Mir scheint die "Lösung" [mm] $2^{2010}$ [/mm] doch arg daneben zu liegen ...
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Formel von Moivre
dazu kartesisch in polare Darstellung
r= [mm] 2\wurzel{2}
[/mm]
und für die Winkel 45°
Dann [mm] 2\wurzel{2}^2010*(cos(2010*45)+sin(2010*45)
[/mm]
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Danke für deine schnelle Antwort ich hab das jetzt mit der Formel von Moivre gelöst. Stimmt das soweit ?
Meine zweite Frage ist wie kann man das in kartesischer Form bzw eleganter lösen. Das mit dem Vierer Zyklus hab ich so halbwegs verstanden aber woher weiss ich was dann i^2010 ohne es 2010 mal zu probieren ist ?
Ansonsten find ich im Papula nur die "Entwicklung nach dem binomischen Lehrsatz" was mir aber bei so einer hohen Potenz arg Umfangreich ausschaut ?
vielen dank
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Hallo nochmal,
> Formel von Moivre
>
> dazu kartesisch in polare Darstellung
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> r= [mm]2\wurzel{2}[/mm]
> und für die Winkel 45°
>
> Dann [mm]2\wurzel{2}^2010*(cos(2010*45)+sin(2010*45)[/mm]
Bis auf ungenaue Schreibweise stimmt das, aber rechne das doch mal aus ...
Schreibe sauberer [mm]\red{(}2\sqrt{2}\red{)}^{2010}[/mm]
Bedenke, dass du die Winkel um Vielfache von [mm]360^{\circ}[/mm] "einstauchen" kannst
>
> Danke für deine schnelle Antwort ich hab das jetzt mit der
> Formel von Moivre gelöst. Stimmt das soweit ?
Jo, du bist aber noch nicht fertig 
Es kommt was schön einfaches heraus ...
> Meine zweite Frage ist wie kann man das in kartesischer
> Form bzw eleganter lösen. Das mit dem Vierer Zyklus hab
> ich so halbwegs verstanden aber woher weiss ich was dann
> i^2010 ohne es 2010 mal zu probieren ist ?
Habe ich doch geschrieben: POTENZGESETZE
Es ist [mm]2010=2+2008=2+4\cdot{}502[/mm]
Also [mm]i^{2010}=i^{2+4\cdot{}502}=i^2\cdot{}\left(i^4\right)^{502}=\ldot ?[/mm]
> Ansonsten find ich im Papula nur die "Entwicklung nach dem
> binomischen Lehrsatz" was mir aber bei so einer hohen
> Potenz arg Umfangreich ausschaut ?
Nutze einfach die Potenzgesetze - steht alles in der 1.Antwort
Alles andere ist wie mit Kanonen auf Spatzen schießen ...
>
> vielen dank
>
Gerne
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | $ [mm] i^{2010}=i^{2+4\cdot{}502}=i^2\cdot{}\left(i^4\right)^{502}=\ldot [/mm] ? $
dazu habe ich 1 raus
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wie mach ich das mit der klammer wenn ich jetzt 2^(2010) ausgeklammert habe habe ich ja noch (1+2j)^(2010) stehen. Ich steh momentan irgendwie auf dem Schlauch das [mm] i^2 [/mm] = -1 ist und [mm] i^4 [/mm] =1 hab ich shcon verstanden jedoch noch nicht wie ich die Klammer auflöse ?
DANKE DANKE DANKE
für deine Nerven und Geduld
ich bin glaub ich ein schwieriger Fall :-D
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Hallo nochmal,
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> [mm]i^{2010}=i^{2+4\cdot{}502}=i^2\cdot{}\left(i^4\right)^{502}=\ldot ?[/mm]
>
> dazu habe ich 1 raus
Ich nicht!
Es ist doch [mm]i^2=-1[/mm] und [mm]i^4=1[/mm]
Mithin [mm]i^2\cdot\left(i^4\right)^{502}=(-1)\cdot{}1^{502}=(-1)\cdot{}1=-1[/mm]
>
>
> wie mach ich das mit der klammer wenn ich jetzt 2^(2010)
> ausgeklammert habe habe ich ja noch (1+2j)^(2010) stehen.
Wie klammerst du denn aus??
Mehr Konzentration bitte!!
Wie oben bereits geschrieben ist [mm](2+2i)^{2010}=(2\cdot{}(1+i))^{2010}=2^{2010}\cdot{}(1+i)^{2010}=2^{2010}\cdot{}\left[(1+i)^2\right]^{1005}=2^{2010}\cdot{}(2i)^{1005}[/mm]
[mm]=2^{2010}\cdot{}2^{1005}\cdot{}i^{1005}=2^{3015}\cdot{}i^{1005}[/mm]
So und das [mm]i^{1005}[/mm] rechnest du jetzt aber in Ruhe und voll konzentriert aus ...
> Ich steh momentan irgendwie auf dem Schlauch das [mm]i^2[/mm] = -1
> ist und [mm]i^4[/mm] =1 hab ich shcon verstanden jedoch noch nicht
> wie ich die Klammer auflöse ?
>
> DANKE DANKE DANKE
> für deine Nerven und Geduld
> ich bin glaub ich ein schwieriger Fall :-D
Du bist irgendwie nicht so ganz bei der Sache, vllt. solltest du ein Päuschen machen und etwas frische Luft schnappen.
Die Potenzgesetze beherrscht du doch blind, da bin ich sicher ...
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | i^(1005)
okay erst mal ungerade daher i*i^(1004)
[mm] i*[(i)^4]^{251}
[/mm]
so dann hab ich i+(1)^251
daraus kommt i |
das müsste jetzt so stimmen,jetzt hab ich den dreh raus hat zwar ein wenig gedauert bis der groschen gefallen ist aber immerhin :P
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
