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| Aufgabe | Vereinfachen Sie folgenden Term so weit wie möglich:
[mm] (-1,5)^{-6}*((2,5a)^{n}*\bruch{b}{(-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}})^6 [/mm] : [mm] ((a-\bruch{1}{2}a)^{-n}*\bruch{(-y-x)^{n+1}*b^{-1}}{15^{n-1}*3^{-n}})^{-6} [/mm] |
Hallo Zusammen
kann mir vielleicht jemand eine Hilfestellung bei der Aufgabe geben....
weiß nicht womit ich anfangen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Brinki |
Ich würde zunächst einmal die Division in eine Multiplikation umwandeln. Hierbei wird aus der Hochzahl -6 am Ende die zugehörige Gegenzahl.
Nun sind die Dezimalzahlen dran - wandle sie in Brüche um: $-1,5 =- [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] usw.
Weiter geht's zum Beispiel mit den Hochzahlen der großen Klammern. Da wir in der Klammer (bis auf die Klammer mit "a") überall Produkte haben, wirken die Hochzahlen auf alle Faktoren -> 2. und 3. Potenzsatz.
Dann darfst du aufräumen: Nenner der Brüche entfernen (wie beim ersten Schritt), zusammenfassen und vereinfachen.
Schöne Aufgabe - hier musst du die Potenzgesetzte wirklich ganz genau kennen.
Grüße
Brinki
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Hallo
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Werde mich dann mal an die Aufgabe setzen. Wenn ich etwas heraus
habe schreibe ich es mal.
Danke noch mal
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Hallo Zusammen,
ich hasse Potenzen.....
ich habe keinen blassen Schimmer, wie die Aufgabe lösen soll, habs schon mit den Tipps versucht, aber bereits am ersten Tipp scheitert es.
Könnte mir noch mal jemand helfen??
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Die Aufgabe heißt ja eigentlich: Vereinfache
[mm] \bruch{(-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*\bruch{b}{(-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}}\right)^6}{(a-\bruch{1}{2}a)^{-n}*\left(\bruch{(-y-x)^{n+1}*b^{-1}}{15^{n-1}*3^{-n}}\right)^{-6}}
[/mm]
Als ich solche Aufgaben zu lösen hatte, war mein höchstes Gesetz: Alles auf eine Zeile bringen. Dazu war folgendes Gesetz das Wichtigste:
[mm] \bruch{1}{a^{n}} [/mm] = [mm] a^{-n},
[/mm]
insbesondere
[mm] \bruch{1}{a} [/mm] = [mm] a^{-1},
[/mm]
Als erstes bringen wir die Teilbrüche in Zähler und Nenner des Riesenbruchs also in eine Zeile:
[mm] \bruch{(-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6}{(a-\bruch{1}{2}a)^{-n}*\left((-y-x)^{n+1}*b^{-1}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{-1}\right)^{-6}}
[/mm]
Nun lösen wir den großen Bruch auf:
[mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*\left((a-\bruch{1}{2}a)^{-n}*\left((-y-x)^{n+1}*b^{-1}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{-1}\right)^{-6}\right)^{-1}
[/mm]
Nun ist schon mal das größte Übel beseitigt (bzw. geschaffen  ).
Als nächstes gilt es, folgendes Gesetz anzuwenden:
[mm] \left(a^{n}\right)^{m} [/mm] = [mm] a^{n*m}
[/mm]
Natürlich gilt insbesondere:
[mm] \left(a^{n}*b^{m}\right)^{p} [/mm] = [mm] a^{n*p}*b^{m*p}
[/mm]
Probier das mal auf die (reichlich vorhandenen) Klammern und Potenzen anzuwenden und poste dein Ergebnis (mit Lösungsweg)
Bevor du das tust (und um ein wenig Arbeit zu vermeiden), solltest du dir den Teil
[mm] (-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}
[/mm]
ansehen. Wenn du genau überlegst, kann [mm] (-1)^{n-1} [/mm] nur -1 oder 1 sein. Insbesondere gilt:
[mm] (-1)^{n-1} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
(Überlege, warum!)
Dann kann man die beiden Potenzen nach dem Potenzgesetz
[mm] a^{n}*b^{n} [/mm] = [mm] (a*b)^{n}
[/mm]
zusammenfassen:
[mm] (-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*(x+y)^{n+1} [/mm] = [mm] ((-1)*(x+y))^{n+1} [/mm] = [mm] (-x-y)^{n+1}.
[/mm]
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Hallo
vielen Dank für deine schnelle Hilfe....
nur leider verstehe ich jetzt gar nichts mehr...komme mit den vielen Klammern total durcheinander und weiß gar nicht wo ich anfangen soll....für die 9. Klasse finde ich die Aufgabe ziemlich heftig.....
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Bei der Aufgabe geht es durchaus so oder so darum, die Übersicht zu behalten.
Du musst mit der jeweils äußersten Klammer anfangen. Hier also die riesige ganz rechts:
[mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*\left((a-\bruch{1}{2}a)^{-n}*\left((-y-x)^{n+1}*b^{-1}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{-1}\right)^{-6}\right)^{-1}
[/mm]
Was ist zu tun? Du nimmst die Potenz der großen Klammer: hier (-1), und multiplizierst die Potenz jeden Faktors des Produkts in der großen Klammer damit:
[mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*\left((a-\bruch{1}{2}a)^{-n}*\left((-y-x)^{n+1}*b^{-1}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{-1}\right)^{-6}\right)^{-1}
[/mm]
= [mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*\left((a-\bruch{1}{2}a)^{(-1)*(-n)}*\left((-y-x)^{n+1}*b^{-1}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{-1}\right)^{(-1)*(-6)}\right)
[/mm]
So, das war's schon. Die erste Klammer ist eliminiert:
= [mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*(a-\bruch{1}{2}a)^{(-1)*(-n)}*\left((-y-x)^{n+1}*b^{-1}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{-1}\right)^{(-1)*(-6)}
[/mm]
Nun vereinfachen wir die Ausdrücke in den Potenzen noch:
= [mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*(a-\bruch{1}{2}a)^{n}*\left((-y-x)^{n+1}*b^{-1}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{-1}\right)^{6}
[/mm]
Nun ist die nächste Klammer dran. Ich schlage die rechte [mm] (...)^{6} [/mm] - Klammer vor. Das Prinzip ist wieder dasselbe. Die Potenz jeden Faktors in der Klammer muss mit der 6 multipliziert werden:
= [mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*(a-\bruch{1}{2}a)^{n}*\left((-y-x)^{6*(n+1)}*b^{6*(-1)}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{6*(-1)}\right)
[/mm]
Die Klammer kann eliminiert werden und die Potenzen werden vereinfacht:
= [mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*(a-\bruch{1}{2}a)^{n}*(-y-x)^{6n+6}*b^{-6}*\left(15^{n-1}*3^{-n}\right)^{-6}
[/mm]
Probier du nun mal noch die rechteste Klammer auszuwerten. Oder geht es wirklich überhaupt nicht? Du siehst doch: Es kommt langsam Licht in den Term
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ok, ich versuche mal die rechte Klammer
= [mm] (15^{n-1}*3^{-n})^{-6}
[/mm]
= [mm] (15^{n-1}*(-6)*3^{-n}*(-6))
[/mm]
= [mm] 15^{-6n+6}*3^{6n}
[/mm]
ich hoffe ich habs so richtig..
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ok, ich versuche mal die rechte Klammer
= $ [mm] (15^{n-1}\cdot{}3^{-n})^{-6} [/mm] $
= $ [mm] (15^{n-1}\cdot{}(-6)\cdot{}3^{-n}\cdot{}(-6)) [/mm] $
= $ [mm] 15^{-6n+6}\cdot{}3^{6n} [/mm] $
ich hoffe ich habs so richtig..
upps....das ist jetzt wohl doppelt....
ich habe jetzt versucht auch die linke Klammer schon aufzulösen
da komme ich dann auf
[mm] =(-1,5)^{-6}*(2,5a)^{6n}*b^{6}*(-1)^{-n+1}*(x+y)^{-n-1}
[/mm]
ich hoffe ich war nicht zu schnell und hab fehler eingebaut...
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Deine erste Umformung (die rechte Klammer) war richtig.
Bei der linken hast du fast alles richtig gemacht, du hast nur nicht beachtet, das hoch 6 auch in die hoch (-1) - Klammer zu ziehen: Lies dir erst mal das hier durch und probier es dann nochmal
Insgesamt haben wir nun also:
[mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*(a-\bruch{1}{2}a)^{n}*(-y-x)^{6n+6}*b^{-6}*15^{-6n+6}*3^{6n}
[/mm]
Nun ist links die große Klammer dran.
Zunächst jedoch machen wir das, was ich oben schon beschrieben habe:
Es ist
[mm] (-1)^{n-1} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1},
[/mm]
also ist aufgrund des Potenzgesetzes
[mm] a^{n} [/mm] * [mm] b^{n} [/mm] = [mm] (a*b)^{n}
[/mm]
dann
[mm] (-1)^{n-1}*(x+y)^{n+1} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*(x+y)^{n+1} =((-1)*(x+y))^{n+1} [/mm] = [mm] (-x-y)^{n+1}
[/mm]
Eingesetzt in den Term:
[mm] (-1,5)^{-6}*\left((2,5a)^{n}*b*\left((-x-y)^{n+1}\right)^{-1}\right)^6*(a-\bruch{1}{2}a)^{n}*(-y-x)^{6n+6}*b^{-6}*15^{-6n+6}*3^{6n}
[/mm]
So nun löse die große [mm] (...)^{6} [/mm] - Klammer auf. Es gibt drei Faktoren zu bearbeiten.
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dann müsste ich
= [mm] (2,5)^{6n}*b^{6}*(-x-y)^{-6x-6}
[/mm]
haben
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Richtig!
(Außer dem kleinen Vertippfehler [mm] (...)^{-6x-6} [/mm] anstatt [mm] (...)^{-6n-6})
[/mm]
Wir haben nun also (Wir kommen doch gut vorwärts!):
[mm] (-1,5)^{-6}*(2,5)^{6n}*b^{6}*(-x-y)^{-6n-6}*(a-\bruch{1}{2}a)^{n}*(-y-x)^{6n+6}*b^{-6}*15^{-6n+6}*3^{6n}
[/mm]
So, und nun kommt der letzte Schritt (der mit Hilfe der Potenzgesetze erfolgt):
Wir müssen das Potenzgesetz
[mm] a^{n}*b^{n} [/mm] = [mm] (a*b)^{n}
[/mm]
bzw. das Gesetz
[mm] a^{n}*a^{m} [/mm] = [mm] a^{n+m}
[/mm]
anwenden.
Auf Deutsch:
Suche alle Faktoren mit gleicher Basis
--> Addiere die Exponenten (und mach es zu einem Faktor)
Suche alle Faktoren mit gleichem Exponenten
-->Multipliziere die Basen (und mach es zu einem Faktor)
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also
[mm] b^{6} [/mm] hebt sich mit [mm] b^{-6} [/mm] auf
[mm] (-x-y)^{-6n-6} [/mm] hebt sich mit [mm] (-y-x)^{6n+6} [/mm] auf
dann habe ich also noch
[mm] (-1,5)^{-6}*(7,5)^{6n}*(a-\bruch{1}{2}a)^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
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Sehr gut.
Nun noch ein paar kleine "Kunstgriffe":
[mm]a - \bruch{1}{2}a[/mm] ist übrigens [mm]\bruch{1}{2}a[/mm]
= [mm] (-1,5)^{-6}*(7,5)^{6n}*(\bruch{1}{2}a)^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] (-1,5)^{-6}*(7,5)^{6n}*\left(\bruch{1}{2}\right)^{n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] (-1,5)^{-6}*(7,5)^{6n}*\left(2^{-1}\right)^{n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] (-1,5)^{-6}*(7,5)^{6n}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
Das minus beim ersten Term können wir weglassen, wegen hoch 6
= [mm] (1,5)^{-6}*(7,5)^{6n}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] (1,5*5/5)^{-6}*(7,5)^{6n}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] (7,5/5)^{-6}*(7,5)^{6n}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] (7,5)^{-6}*\left(\bruch{1}{5}^{-6}\right)*(7,5)^{6n}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] \left(\bruch{1}{5}\right)^{-6}*(7,5)^{6n-6}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] \left(\bruch{1}{5}\right)^{-6}*(15/2)^{6n-6}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] \left(\bruch{1}{5}\right)^{-6}*(15)^{6n-6}*\left(\bruch{1}{2}\right)^{6n-6}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}*15^{-6n+6}
[/mm]
= [mm] \left(\bruch{1}{5}\right)^{-6}\left(\bruch{1}{2}\right)^{6n-6}*\left(2\right)^{-n}*a^{n}
[/mm]
= [mm] 5^{6}*2^{-6n+6}*2^{-n}*a^{n}
[/mm]
= [mm] 5^{6}*2^{-7n+6}*a^{n}
[/mm]
Wie du siehst, bringen diese "Kunstgriffe" aber nicht mehr die Welt
Ich überprüfe nochmal bis morgen abend, ob wir auch wirklich alles richtig gerechnet haben. (Bei solchen riesen Aufgaben unterläuft ja gern mal ein Fehler) Das Grundprinzip hast du aber denk ich auf jeden Fall verstanden und auch richtig angewandt, und das war die Hauptsache
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ok...
das Grundprinzip habe ich, hoffe ich zumindest, verstanden, habe ja noch vier weitere Aufgaben zu lösen, wenn ich diese alleine hinbekomme, sitzt es auf jeden fall
zu allen Aufgaben haben wir auch Musterlösungen bekommen. Bei der Aufgabe oben, kommt laut Musterlösung [mm] 10^{6} [/mm] heraus.....irgendwo haben wir dann wohl ein fehler eingebaut....
erst mal noch vielen vielen dank, dass du dir Zeit für meine Problemaufgabe genommen hast....
schönen Abend noch
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