Potenzen in der Zahlentheorie < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)Pierre de Fermat war ein berühmter Mathematiker, er interessierte sich für zahlen der Form 2(²hoch n ) +1 mit n=1,2,3....
Er vermutete dass diese Zahlen Primzahlen waren!
Aber wenn man für n=5 einsetzt kommt 1025 raus, das ist keine Primzahl, durch was lässt es sich teilen?
2) 14²+87²=41²+78². Erkläre! Wie sind die Zahlen ausgewählt worden?
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zu 1) Ich habe bereits 641 als teiler rausbekommen, gibt es noch eine?
Und gibt es eine Methode, ich hab eine Stunde lang probiert...?
zu 2) Erklären, das geht durch Vorrechnen, und sie wurden doch einfach umgedreht...aber das geht doch nicht bei allem so: 76²+89²=67²+98² ?
Da kommt nicht das gleiche raus!
Aber zb mit 17²+84²=71²+48² das ist wieder richtig!
Also wovon hängt das ab???
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> 1)Pierre de Fermat war ein berühmter Mathematiker, er
> interessierte sich für zahlen der Form 2(²hoch n ) +1 mit
> n=1,2,3....
> Er vermutete dass diese Zahlen Primzahlen waren!
> Aber wenn man für n=5 einsetzt kommt 1025 raus, das ist
> keine Primzahl, durch was lässt es sich teilen?
>
> 2) 14²+87²=41²+78². Erkläre! Wie sind die Zahlen
> ausgewählt worden?
>
> zu 1) Ich habe bereits 641 als teiler rausbekommen, gibt es
> noch eine?
Seit wann teilt 641 denn 1025, du meinst wohl 41 und in der Aufgabenstellung muss es wohl heißen [mm] 2^{2n} [/mm] +1.
Spontan sieht man, da die Zahl auf 5 endet, ist sie durch 5 teilbar, die genaue Primfaktorzerlegung der Zahl lautet: 5*5*41.
> zu 2) Erklären, das geht durch Vorrechnen, und sie wurden
> doch einfach umgedreht...aber das geht doch nicht bei allem
> so: 76²+89²=67²+98² ?
> Da kommt nicht das gleiche raus!
Die 2. Frage hast du beantwortet, die erste aber noch nicht.
Ich würd an der Stelle auch hier zeigen warum das so ist und nich einfach hinschreiben, oh =7765, warum egal. Wie du darauf kommst, musst du rausfinden.
Viele Grüße
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Also bei der ersten Aufgabe stand:
Für n=5 konnte L.Euler im Jahre.. zeigen, dass 641 ein Teiler der Fermat'schen Zahl ist.
Ich kapier das nicht! Ja, sowie du es geschrieben hast nur mit einer Klammer noch.
Bei der 2 Aufgabe komme ich immer noch nicht weiter:
Ich meine ich weiß nich wieso genau die Zahlen ausgewählt wurden, ich hab nur irgendewelche genommen und sie umgedreht aber es hat nicht gestimmt. Wieso hat es dann bei den anderen gestimmt?
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Hallo,
> Also bei der ersten Aufgabe stand:
> Für n=5 konnte L.Euler im Jahre.. zeigen, dass 641 ein
> Teiler der Fermat'schen Zahl ist.
> Ich kapier das nicht! Ja, sowie du es geschrieben hast nur
> mit einer Klammer noch.
>
Ah ich glaub ich weiß, du meinst [mm] 2^{2^{5}} [/mm] +1 =494967297.
> Bei der 2 Aufgabe komme ich immer noch nicht weiter:
> Ich meine ich weiß nich wieso genau die Zahlen
> ausgewählt wurden, ich hab nur irgendewelche genommen und
> sie umgedreht aber es hat nicht gestimmt. Wieso hat es dann
> bei den anderen gestimmt?
Wie sie ausewählt wurden ist ja klar, das sind 2 2-stellige Zahlen die quadriert und addiert werden und wenn du die Ziffern der Zahlen vertauschst, diese neue Zahlen dann quadrierst und addiertst, kommt das selbe raus zufällig.
Deine Aufgabe ist nun ohne direkt zu sagen [mm] 14^{2}+87^{2}= [/mm] 7765 = [mm] 41^2 [/mm] + [mm] 78^2, [/mm] du sollst die Gleichheit hier herleiten, mehr verlangt diese Aufgabe nicht.
Ich geb dir mal einen Ansatz für den Beweis:
[mm] 14^{2}+87^{2} [/mm] = [mm] (41-27)^2 +(78+9)^2 [/mm] = ... = [mm] 41^2 [/mm] + [mm] 78^2, [/mm] die Zwischenschritte machst du.
Viele Grüße
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Ja aber wie krieg ich jetzt Teiler raus?
Nein. Also ich versteh das nicht, ich hab doch auch irgendeine Zahl genommen und da kam nicht das gleiche raus!!! Siehe 1 Post!
Und wie kommst du dann denn plötzlich auf 27?
Einen Schritt langsamer bitte.♥
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> Nein. Also ich versteh das nicht, ich hab doch auch
> irgendeine Zahl genommen und da kam nicht das gleiche
> raus!!! Siehe 1 Post!
Eben weil diese beiden Zahlen die Besonderheit aufweisen, dass das selbe rauskommt, wurden sie ausgewählt.
> Und wie kommst du dann denn plötzlich auf 27?
> Einen Schritt langsamer bitte.♥
Na rechne doch mal: Was ist 41-27??
Viele Grüße
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:23 So 20.09.2009 | | Autor: | Kaktus123 |
Du verstehst mich nicht!
Ich wollte nur wissen, wie kann man berechnen durch was 494967297 teilbar ist. So!
Das zweite ist, wieso geht das Beispiel, das im Buch war, aber wenn ich ein beliebiges anderes nehme und so vorgehe, siehe 1 Beitrag kam ja auf beiden Seiten NICHT das Gleiche raus!
Ertsmal bitte das beantworten
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Hallo Kaktus,
mal zur ersten Frage:
> Du verstehst mich nicht!
> Ich wollte nur wissen, wie kann man berechnen durch was
> 494967297 teilbar ist. So!
Du weißt sicher, dass jede natürliche Zahl >1 sich als Produkt von Primzahlen darstellen lässt, wobei diese Darstellung bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.
Nun könnte man sich eine ellenlange Liste mit Primzahlen hernehmen und durchprobieren, welche denn diese Zahl [mm] $F_5=2^{2^5}+1$ [/mm] teilt.
Das kann aber seeeeehr lange dauern (vor allem ohne Computereinsatz)
EULER hat die Teilbarkeit von [mm] $F_5$ [/mm] durch die Primzahl $p=641$ nachgewiesen.
Da er wohl noch keinen Computer hatte, hat er sich das anders überlegt 
Es gibt einen netten, nicht allzu schwer zu beweisenden Satz, der die Form von möglichen Primfaktoren von FERMATzahlen charakterisiert und folgendes besagt:
WENN eine Primzahl $p$ eine FERMATzahl [mm] $F_n$ [/mm] (mit [mm] $n\ge [/mm] 2$) teilt, so ist $p$ von der Form [mm] $p=2^{n+2}\cdot{}k+1$ [/mm] für eine natürliche Zahl $k$
Diesen Satz und noch weitere zahlentheoret. Kniffe könnte er sich wohl zunutze gemacht haben ...
Wie im einzelnen weiß ich aber nicht.
Alles in allem ist das ganz schön harter Tobak.
Dass man diese Frage mit Mitteln der 10. Klasse beantworten kann, bezweifle ich stark ...
Naja ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 So 20.09.2009 | | Autor: | Kaktus123 |
Ok danke.
Udn zur 2 frage?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 So 20.09.2009 | | Autor: | Kaktus123 |
Und die 2 Aufgabe?
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Hallo nochmal,
ich hatte deine obige Frage auf teilweise beantwortet gestellt, da eben genau die 2.Frage noch offen ist.
Also steht die Frage weiterhin im Raum, und es besteht kein Grund, sie noch weitere Male zu stellen.
Gruß
schachuzipus
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> 14²+87²=41²+78². Erkläre! Wie sind die Zahlen ausgewählt worden?
[mm] (10a+b)^{2}+(10c+d)^{2} [/mm] = [mm] (a+10b)^{2}+(c+10d)^{2}
[/mm]
Diesen ganzen Quatsch löst du auf, und dann kommt raus:
[mm] a^{2}-b^{2} [/mm] = [mm] c^{2}-d^{2}
[/mm]
Jetzt könntest du eine Tabelle machen mit den Differenzen aller Quadratzahlen von Null bis Zehn.
Dann ist zum Beispiel:
[mm] 4^{2}-1^{2} [/mm] = 15 und [mm] 8^{2}-7^{2} [/mm] = 15
Ahhhh - beides Mal 15 - deshalb ist 14²+87² = 41²+78²
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