Potenzgesetze reeller Exponent < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:08 So 21.04.2013 | | Autor: | Lauschgift |
| Aufgabe | Beweisen sie für [mm] a > 0 [/mm] und [mm] x , y \in \IR [/mm] :
a) [mm] a^x * a^y = a^{x+y} [/mm]
[mm] a^{x*y} = (a^x)^y [/mm]
b) [mm] x < y \Rightarrow {\begin{cases} a^x < a^y, & \mbox{für } a > 1 \\ a^x < a^y, & \mbox{für } a<1 } \end{cases} [/mm]
c) [mm] a < b \Rightarrow {\begin{cases} a^x < b^x, & \mbox{für } x > 0 \\ a^x > b^x, & \mbox{für } x < 0 } \end{cases} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bräuchte mal wieder einen Denkanstoß bei obiger Aufgabe. Ich habe der Vollständigkeit halber mal alle Aufgabenteile aufgeschrieben, allerdings würden mir ein paar Tipps zu Teil a) erstmal genügen.
Ich hatte überlegt, dass wir eventuell [mm] a^x [/mm] als Supremum einer Menge definieren könnten und entsprechend auch [mm] a^y [/mm].
Ich wäre allerdings wirklich dankbar, wenn mich jemand mal kurz in die richtige Richtung stupsen könnte, ich komme einfach auf keinen fruchtbaren Ansatz...
Vielen Dank schonmal!
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Hallo,
damit wir dir helfen können, solltest du noch hinschreiben, wie ihr die Potenz definiert habt...
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 So 21.04.2013 | | Autor: | Lauschgift |
Hallo,
wir haben die Potenz wie folgt definiert:
Für [mm] a \ge 1 [/mm] ist [mm] a^x [/mm] definiert als Supremum der Menge [mm]
A (a,x) = \left\{ a^q : q \in \IQ , q \le x \right\} [/mm]
und für [mm] a < 1 [/mm] als [mm] a^x := ( \bruch{1}{a} )^{-x} [/mm]
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> Beweisen sie für [mm]a >[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
a größer als was ?
> und [mm]x , y \in \IR[/mm] :
>
> a) [mm]a^x * a^y = a^{x+y}[/mm]
> [mm]a^{x*y} = (a^x)^y[/mm]
>
>
> b) [mm]x < y \Rightarrow {\begin{cases} a^x < a^y, & \mbox{für } a > 1 \\ a^x < a^y, & \mbox{für } a<1 } \end{cases}[/mm]
>
>
> c) [mm]a < b \Rightarrow {\begin{cases} a^x < b^x, & \mbox{für } x > 0 \\ a^x > b^x, & \mbox{für } x < 0 } \end{cases}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich bräuchte mal wieder einen Denkanstoß bei obiger
> Aufgabe. Ich habe der Vollständigkeit halber mal alle
> Aufgabenteile aufgeschrieben, allerdings würden mir ein
> paar Tipps zu Teil a) erstmal genügen.
>
> Ich hatte überlegt, dass wir eventuell [mm]a^x[/mm] als Supremum
> einer Menge definieren könnten und entsprechend auch [mm]a^y [/mm].
>
> Ich wäre allerdings wirklich dankbar, wenn mich jemand mal
> kurz in die richtige Richtung stupsen könnte, ich komme
> einfach auf keinen fruchtbaren Ansatz...
>
> Vielen Dank schonmal!
Hallo Lauschgift,
man sollte unbedingt noch wissen, auf welche Grundlagen
man sich bei dem Beweis soll stützen dürfen.
Vermutlich ist gemeint, dass die entsprechenden Regeln
für Potenzen mit reeller (positiver) Basis und rationalen
Exponenten schon bewiesen sind und benützt werden dürfen.
Eine Potenz [mm] a^x [/mm] mit a>0 und [mm] x\in \IR\smallsetminus\IQ [/mm] kann dann
als Grenzwert von Potenzen mit rationalen Exponenten
bzw. als Supremum oder Infimum einer geeigneten Menge
derartiger Potenzen definiert werden.
Soweit ist also deine Idee durchaus in Ordnung. Ich würde
dir vorschlagen, dir erstmal ein paar ziemlich konkrete Beispiele
vorzunehmen.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 So 21.04.2013 | | Autor: | Lauschgift |
Hallo,
sorry, da war ich gerade noch am Schreiben als deine Antwort kam.
Ja, für rationalen Exponenten darf es benutzt werden (soweit ich weiß) und im Aufgabentext meinte ich [mm] a > 0 [/mm], das habe ich gerade nochmal berichtigt.
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Was genau meinst du mit konkreten Beispielen? Ich habe die Formel mal getestet für ein paar reelle Zahlen, das scheint bisher gut hinzukommen.
Ich würde also anfangen und definiere:
[mm] A = \left\{ a^q : q \in \IQ , q \ge x \right\} [/mm]
[mm] B = \left\{ a^q : q \in \IQ , q \ge y \right\} [/mm]
[mm] C = \left\{ a^q : q \in \IQ , q \ge x + y \right\} [/mm]
Womit ich dann zeigen müsste:
[mm] sup C = sup A * sup B [/mm]
Wenn das soweit in Ordnung ist, wie mache ich von hier nun weiter?
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Hallo,
Ich nehme jetzt mal an, dass wir den Fall a > 1 betrachten.
> Ich würde also anfangen und definiere:
>
> [mm]A = \left\{ a^q : q \in \IQ , q \le x \right\}[/mm]
>
> [mm]B = \left\{ a^q : q \in \IQ , q \le y \right\}[/mm]
>
> [mm]C = \left\{ a^q : q \in \IQ , q \le x + y \right\}[/mm]
Die Relationszeichen in den Mengen waren verkehrt herum,
ich habe sie mal umgedreht.
> Womit ich dann zeigen müsste:
>
> [mm]sup C = sup A * sup B[/mm]
>
> Wenn das soweit in Ordnung ist, wie mache ich von hier nun
> weiter?
Zum konkreten Beweis solltest du dir vielleicht erstmal überlegen, dass
$A*B = C$
gilt, d.h. $C = [mm] \{a*b: a \in A, b \in B\}$.
[/mm]
(Hier muss eingehen, dass alle Elemente der Mengen positiv sind)
----
Wenn du diese Struktur hast, ist der Nachweis mit dem Supremum leichter:
Ist c [mm] \in [/mm] C beliebig mit c = a*b, so folgt $c =a*b [mm] \le \sup(A)*\sup(B)$ [/mm] und somit [mm] $\sup(C) \le \sup(A)*\sup(B)$.
[/mm]
Die andere Richtung ist etwas schwieriger. Du kannst Widerspruchsbeweis machen.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo nochmal,
dass [mm] A * B = C [/mm] gilt macht natürlich Sinn.
Wenn ich also diesem Gedankengang folge, würde der Beweis dann analog Ablaufen zu dem Beweis aus meiner anderen Frage, dem von
[mm] inf C \ge inf A * inf B [/mm]?
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Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> dass [mm]A * B = C[/mm] gilt macht natürlich Sinn.
Es ist aber leider gar nicht ganz richtig.
x = [mm] 1-\sqrt{2}
[/mm]
y = [mm] 1+\sqrt{2}
[/mm]
x+y = 2.
Dann ist in der C-Menge mehr drin. Es müsste aber gelten, wenn man die Mengen statt mit $q [mm] \le [/mm] x$ mit $q < x$ schreibt. Das Supremum dürfte sich dadurch nicht verändern.
> Wenn ich also diesem Gedankengang folge, würde der Beweis
> dann analog Ablaufen zu dem Beweis aus meiner anderen
> Frage, dem von
>
> [mm]inf C \ge inf A * inf B [/mm]?
Ja.
Viele Grüße,
Stefan
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Gut, also ist der Teil 1 der Aufgabe a) klar. Für den zweiten Teil vermute ich, dass der Beweis ebenfalls über das Supremum laufen muss. Dort finde ich aber keinen Ansatz für die Mengen, kann mir da jemand einen Tipp geben?
Für die Aufgabenteile b) und c) wäre ich ebenfalls für einen Denkanstoß sehr dankbar. Auch hier schätze ich, dass das Supremum eine Rolle spielt, finde aber keinen Ansatz.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 25.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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