Potenzial von Vektorfeldern < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Fr 06.08.2010 | | Autor: | mathetuV |
guten abend alle zusammen,
ich habe ein problem zu verstehn, wie ein parameter a aussehn muss, damit das potenzail des vektorfeldes existiert.
klar es hängt von der jeweiligen aufgabe ab, aber im allgemeinen,ich hoffe jemand kann mir da ein bisschen helfen.
wie man potenziale bestimmt und wann das überhaupt geht, ist klar.
aber mit dem parameter abhängenden vektorfeld habe ich probleme.
vielen dank im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du magst also dein Vektorfeld als Gradient einer skalaren Funktion schreiben?
Dann muss die Rotation deines Vektorfeldes [mm] $\nabla \times \vec{V} [/mm] = 0$ sein. Also die Rotation des Vektorfeldes ausrechnen mit dem Parameter, und dann den Parameter so waehlen, dass da $0$ rauskommt.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Fr 06.08.2010 | | Autor: | mathetuV |
vielen dank für deine schnelle antwort,
ich nenn dir mal ein Bsp, nicht dass wir an einander vorbeidenken.
[mm] F_a(x,y) [/mm] = (eay, xeay+y) also als 2x1-matrix. und ich will dieses a bestimme, sodass das Potenzial existiert, es wird nur vorrausgesetz dass a aus [mm] \IR^n\backslash\{0\} [/mm] ist,
kannst du mir das weiterhelfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
was ist denn das $e$?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Sa 07.08.2010 | | Autor: | mathetuV |
ein vektorfeld dass von a abhängt,
sorry wenn ich so ungeschickt schreibe, bin noch nicht lange hier angemeldet
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Sa 07.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn man davon ausgeht, dass du mit dem $e$ davor die [mm] $\exp$-Funktion [/mm] meinst, dann kann man doch den $2$-dim. Vektor in den [mm] $\mathbbm{R}^3$ [/mm] aufblasen, also
[mm] $\vec{F}_a(\vec{x}) [/mm] = [mm] \pmat{ e^{ay} \\ xe^{ay}+y \\ 0}$ [/mm] und dann das Kreuzprodukt mit dem [mm] $\nabla$-Operator [/mm] ausrechnen.
Dann bekommt man in der $z$-Komponenten einen Term [mm] $\not=0$, [/mm] den man dann mit der passenden Wahl von $a$ zu $0$ setzten muss. Das legt dir dann das $a$ fest.
Bezueglich des Formelsetzens: Schau mal hier rein, da gibt es eine kleine Anleitung, wie man die (einfachsten) Formeln setzten kann. Wenn du weiter nach unten im Editor scrollst, kann man da auch ein paar Sachen anklicken, wo man dann die passenden Befehle sieht. Es lohnt sich uebrigens nicht nur, um dann hier im Forum die Formeln schoener schreiben zu koennen, sondern man lernt damit schon ein wenig das [mm] $\LaTeX$-Textsatzsystem [/mm] kennen, das aeusserst nuetzlich ist.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Sa 07.08.2010 | | Autor: | mathetuV |
vielen dank für deine hilfe,
aber [mm] F_a(x,y): [/mm] R2-->R2, also trotzdem dann mit dem lambda.operator ausrechnen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Sa 07.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
die 'Rotation' ist ja nur im [mm] $\mathbbm{R}^3$ [/mm] definiert, deshalb musst du halt die $z$-Komponente von deinem Vektor mit hinschreiben, was ja geht, indem du [mm] $\vec{F}(x,y,z) [/mm] = [mm] \pmat{F_x\\F_y\\0}$ [/mm] hinschreibst, und dann den [mm] $\nabla$ [/mm] mit dem Kreuzprodukt drauf wirken leasst.
Oder du machst es so, wie pelzig es gesagt hat, denn das ist allgemeiner, denn die Rotation, wie er schon sagte, ist ja nur im [mm] $\mathbbm{R}^3$ [/mm] definiert (weshalb du hier den Vektor 'aufblasen' musst, damit der ausschaut wie ein $3$-dim Vektor).
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Sa 07.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> vielen dank für deine schnelle antwort,
>
> ich nenn dir mal ein Bsp, nicht dass wir an einander
> vorbeidenken.
>
> [mm]F_a(x,y)[/mm] = (eay, xeay+y) also als 2x1-matrix. und ich will
> dieses a bestimme, sodass das Potenzial existiert, es wird
> nur vorrausgesetz dass a aus [mm]\IR^n\backslash\{0\}[/mm] ist,
>
> kannst du mir das weiterhelfen
Wir haben also [mm]F(x,y)[/mm] = [mm] (e^{ay}, xe^{ay}+y)
[/mm]
Nun nehmen wir mal an, F habe die Stammfunktion f. Es ist also
(1) [mm] f_x= e^{ay} [/mm] und (2) [mm] f_y= xe^{ay}+y
[/mm]
Aus (1) folgt: $f= [mm] xe^{ay}+c(y) [/mm] $ mit eine differenzierbaren Funktion c
Daraus folgt: [mm] $f_y= xae^{ay}+c'(y)$. [/mm] Au s (2) erhalten wir:
a=1 und [mm] c(y)=\bruch{1}{2}y^2
[/mm]
Somit ist nur im Falle a=1 eine Stammfunktion vorhanden, nämlich
$f(x,y)= [mm] xe^y+\bruch{1}{2}y^2$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 Mo 09.08.2010 | | Autor: | mathetuV |
dankeschön für deine verständliche Herangehensweise.
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:08 Mi 11.08.2010 | | Autor: | mathetuV |
hallo alle zusammen nochmal
und mit dieser funktion die oben steht muss ich das Wegintegral für
gamma:=(t,t) bestimmen. ich habs gemacht, bin mir aber unsicher;
kann mit da jemand helfen wie ich das machen kann,
vielen dank im Vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Do 12.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> hallo alle zusammen nochmal
> und mit dieser funktion die oben steht muss ich das
> Wegintegral für
> gamma:=(t,t) bestimmen. ich habs gemacht, bin mir aber
> unsicher;
Dann zeig doch mal, was Du gemacht hast !
FRED
> kann mit da jemand helfen wie ich das machen kann,
>
> vielen dank im Vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Sa 07.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Nur zur Info: Die Rotation ist ja nur für Vektorfelder im [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert. Allgemein lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines Potentials zum Vektorfeld [mm] $F:\IR^n\to\IR^n$ [/mm]
[mm] $$\frac{\partial F^i}{\partial x_j}=\frac{\partial F^j}{\partial x_i}$$ [/mm] Gruß, Robert
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