Potenzieren < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Di 25.12.2012 | | Autor: | Septerra |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wieso ist a hoch 0= 1 / a hoch 1 =1* a und a hoch 2= 1*a*a
Woher kommt die 1, obwohl ich es ja 0 mal mit sich selber mal nehme.
Und woher kommt die 1 bei a hoch 1?
Ich möchte das Grundverständnis für die Mathematik entwickeln, darum bitte ich um eine genau Erklärung. Danke im Voraus.
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Hallo septerra und herzlich Willkommen im Matheraum!
Nehmen wir einmal die allgemeine Potenz mit [mm] a^n, [/mm] wobei [mm] n=0,1,2,3,\ldots [/mm] ist.
Dann bedeutet z.B. [mm] a^\red{2}=1*\underbrace{a*a}_{\red{2}\times}
[/mm]
Die 2 deutet also darauf hin, wie oft das a vorkommt.
Deswegen ergibt sich auch
[mm] a^\red{1}=1*\underbrace{a}_{\red{1}\times}=a
[/mm]
sowie
[mm] a^\red{0}=1*\underbrace{}_{\red{0}\times}=1
[/mm]
Der Exponent sagt also viel mehr aus, wie viele Faktoren vorhanden sind. Der Exponent kommt aber als Zahl gar nicht in der eigentlichen Rechnung vor. Dieses Verständnis ist wichtig um zu erkennen, dass [mm] \underbrace{}_{\red{0}\times}\not=0 [/mm] ist.
Ist es nun ein bisschen verständlicher? Wenn nein, dann einfach noch einmal nachfragen.
Schönen Abend noch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Septerra,
neben Richies Erklärung muss mal dazugesagt sein, dass [mm] $a^0:=1$ [/mm]
eigentlich per Definitionem gilt - insbesondere sollte man sich [mm] $0^0:=1\,$
[/mm]
behalten.
Motivieren kann man das ganze dennoch, und das geht ähnlich so, wie
Richie es angedeutet hat. Für $n [mm] \in \IN=\{1,2,3,\ldots\}$ [/mm] gilt nämlich einfach,
dass [mm] $a^n$ [/mm] abkürzend für das Produkt steht, bei dem man das [mm] $a\,$ [/mm]
[mm] $n\,$-Mal [/mm] mit sich selbst multipliziert.
Dementsprechend ist
[mm] $$a^5=a*a*a*a*a\,,$$
[/mm]
und Du wirst sehen, dass da insgesamt 5 Mal das [mm] $a\,$ [/mm] auftaucht.
Weiterhin ist
[mm] $$a^9=a*a*a*a*a*a*a*a*a\,,$$
[/mm]
etc. pp..
Beispiele:
[mm] $$7^3=7*7*7\,,$$
[/mm]
[mm] $$\pi^5=\pi*\pi*\pi*\pi*\pi\,.$$
[/mm]
Nun gilt folgendes:
[mm] $$a^{n+1}=a^n*a\,,$$
[/mm]
und zwar für jedes $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm]
Denn:
[mm] $$a^{n+1}=(\;\underbrace{a*a*...*a}_{n \text{ Mal}}\;)*a\,.$$
[/mm]
Beispiel:
[mm] $$3^6=3*3*3*3*3*3=(3*3*3*3*3)*3=3^5*3\,.$$
[/mm]
Und nun ist die Idee einfach folgende:
Wenn ich weiß, dass
[mm] $$a^4=a^3*a$$
[/mm]
ist, dann weiß ich auch, dass
[mm] $$a^3=a^4/a$$
[/mm]
gilt (den Sonderfall [mm] $a=0\,$ [/mm] betrachten wir mal nicht - es sei stets $a [mm] \not=0$).
[/mm]
Dann sehen wir:
[mm] $$a^4=a*a*a*a$$
[/mm]
[mm] $$a^3=a*a*a=a^4/a$$
[/mm]
[mm] $$a^2=a^3/a$$
[/mm]
[mm] $$a^1=a^2/a\,.$$
[/mm]
Um dieses Schema für den Exponenten [mm] $0\,$ [/mm] fortzuführen: Man will
[mm] $$a^0=a^1/a$$
[/mm]
haben. Nun ist aber [mm] $a^1=a\,,$ [/mm] und [mm] $a/a=1\,$ [/mm] (wegen $a [mm] \not=0$).
[/mm]
Also:
[mm] $$a^0:=1$$
[/mm]
setzt dieses Schema entsprechend fort.
Nebenbei: Auch für negative (ganzzahlige) Exponenten kann man sich
das Schema weiter fortgesetzt denken:
[mm] $$a^{-1}=a^0/a=1/a\,,$$
[/mm]
[mm] $$a^{-2}=a^{-1}/a=1/a^2$$
[/mm]
[mm] $$a^{-3}=a^{-2}/a=1/a^3$$
[/mm]
[mm] $$a^{-4}=a^{-3}/a=1/a^4$$
[/mm]
etc. pp.
P.S. [mm] $0^n:=0$ [/mm] für $n [mm] \in \IN=\{1,2,3,...\}\,,$ [/mm] und [mm] $0^0:=1\,,$ [/mm] aber
[mm] $0^{m}$ [/mm] ist nicht definiert für $m [mm] \in \{-1,\;-2,\;-3,\;...\}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:12 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Morgen Marcel,
wie immer eine sehr schöne Erklärung!
Wa ich mich persönblich gefragt habe: Gibt es ähnliche Vorstellungen für sämtliche Exponenten? Oder gehen wir erst einmal einen Schritt zurück und reden über Exponenten k mit [mm] k\in\IQ.
[/mm]
Ist dir dafür etwas bekannt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> Guten Morgen Marcel,
>
> wie immer eine sehr schöne Erklärung!
so habe ich das damals in meinem Schulbuch gefunden. Ich finde diese
Erklärungsidee aber sehr gut!
> Wa ich mich persönblich gefragt habe: Gibt es ähnliche
> Vorstellungen für sämtliche Exponenten? Oder gehen wir
> erst einmal einen Schritt zurück und reden über
> Exponenten k mit [mm]k\in\IQ.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ist dir dafür etwas bekannt?
Wir müssen erstmal über Exponenten für $k \in \IQ$ reden. Ich hab's mir
damals einfach so erklärt:
Wir kennen die Regel $(a^m)^n=a^{m*n}\,,$ welche wir für $m,n \in \IZ$
beweisen können mit den entsprechenden Definitionen. Sei nun $k=p/q\,$
mit einem $p \in \IZ$ und $q \in \IN\,.$
Dann hätten wir doch gerne
$$(a^{p/q})^q=a^{p/q*q}=a^p\,.$$
Insbesondere
$$(a^{1/q})^q=a^1=a\,.$$
Und wir wissen
$$(\sqrt[q]{a})^q=a\,.$$
(Hier braucht man natürlich schon die Existenz und Eindeutigkeit von
$\sqrt[q]{a}\,,$ bzw. generell natürlich muss die/eine Definition dieses
Ausdrucks bekannt sein!)
Das motiviert
$$a^{1/q}=\sqrt[q]{a}$$
und wegen
$$(a^{p/q})^q=a^p=(\sqrt[q]{a^p})^q$$
wird auch
$$a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$$
motiviert.
Dabei habe ich nun natürlich keinerlei Rücksicht darauf genommen, dass
man hier mit Vorzeichen aufpassen sollte:
$$(-2)^{1/2}=\sqrt[2]{-2}=(-2)^{2/4}=\sqrt[4]{(-2)^2}=\sqrt[4]{2^2}=2^{2/4}=2^{1/2}=\sqrt[2]{2}$$
könnte man sonst aus obigem folgern, was natürlich Unsinn ist. Vieles
kann man vermeiden, indem man oben $a > 0\,$ voraussetzt, das hat
aber den Nachteil, dass dann etwa $(-8)^{1/3}=-2$ nicht stimmt, weil
$(-8)^{1/3}$ dann gar nicht definiert ist. Läßt man aber negative $a\,$
zu, so hat man, wie Du an der Beispielrechnung siehst, schon alleine dann
Probleme, wenn man nicht die Brüche etwa als vollständig gekürzt in der
Definition voraussetzt $\to$ Wohldefiniertheitsproblem!
Aber natürlich kennst Du auch, dass für $a > 0\,$ definiert wird
$$a^{p/q}=\exp\Big(\frac{p}{q}*\ln(a)}\Big)\,.$$
Das passt dann natürlich auch zu obiger Motivation, wobei man sich das
dann hierbei im Wesentlichen wegen der ![[]](/images/popup.gif) Funktionalgleichung der Exponentialfunktion: [mm] $\exp(z+w)=\exp(z)*\exp(w)$
[/mm]
erklären kann.)
Prinzipiell kann man also [mm] $a^{p/q}=a^k$ [/mm] für $a > [mm] 0\,$ [/mm] so motivieren,
wie man diesen Ausdruck definieren "sollte", jedenfalls für $k [mm] \in \IQ\,$
[/mm]
Für $k [mm] \in \IR$ [/mm] finde ich's dann aber auch wiederum am 'Naheliegendsten',
dann mit Stetigkeitsargumenten zu arbeiten. Rein durch 'elementare
Überlegungen' (Stetigkeitsargumente finde ich zwar auch elementar, aber
nicht "so" elementar) weiß ich nun nichts und habe da auch keine gute
Idee...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Marcel,
da gibt es so manche Stellen in deiner Mitteilung, wo ich mir denke, dass genau da der Knackpunkt liegt. So "billig" ist es irgendwie nicht, obwohl es mathematisch gesehen wohl eher Grundlagen sind. Aber bei manchen hat man doch recht Einschränkungen zu fordern.
Die ganze Geschichte mit den Umformungen à la: [mm] a^{p/q}=\exp({\frac{p}{q}\ln{a}}), [/mm] a>0 finde ich sehr interessant. Worüber ich mir noch einmal Gedanken machen werde ist der Fall für a<0, sobald man zum Komplexen Logarithmus übergeht. Da sollte ich mir noch einmal das ganze zu Gemüte führen.
Ein elementarer Zugang zu gebrochenrationalen Exponenten ist meiner Ansicht nach schwer zu bekommen. Mir ging es ja größtenteils darum, ob es einen ähnlichen Zugang gibt, wie bei [mm] k\in\IN. [/mm] Da sagte man ja, dass das a "einfach" k-mal "vorhanden" ist. Für [mm] k\in\IQ [/mm] ist das wohl nur scher verdaulich.
Ich wünsche dir nun noch einen schönen 2. Weihnachtsfeiertag!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> Hallo Marcel,
>
> da gibt es so manche Stellen in deiner Mitteilung, wo ich
> mir denke, dass genau da der Knackpunkt liegt. So "billig"
> ist es irgendwie nicht, obwohl es mathematisch gesehen wohl
> eher Grundlagen sind. Aber bei manchen hat man doch recht
> Einschränkungen zu fordern.
ja, die habe ich mir nun erspart, weil wir uns ja auch im Schulforum
befinden. Übrigens geht's doch schon im Wesentlichen genau so, wie
ich es geschrieben habe, solange wir uns auf $a > [mm] 0\,$ [/mm] beschränken.
In einer Einführungsvorlesung in Analysis tut man das meist auch, motiviert
das ganze aber nicht so, sondern DEFINIERT einfach etwa mal für $r [mm] \in \IR$
[/mm]
und $a > [mm] 0\,:$
[/mm]
[mm] $$a^r:=\exp(r*\ln(a))\,,$$
[/mm]
wobei man dabei auch schon natürlich [mm] $\exp: \IR \to (0,\infty)$ [/mm] definiert hat
und gezeigt hat, dass diese [mm] $\exp$ [/mm] eine Umkehrfunktion hat, die [mm] $\ln$ [/mm]
heißen möge. Damit kann man dann "die Eigenschaften, die ich als
Motivation für [mm] $a^{k}=a^{p/q}$ [/mm] genannt hatte, sogar für $k [mm] \in \IR$
[/mm]
beweisen".
Nebenbei:
Definition 7.8
Das geht auch für $r [mm] \in \IC\,.$
[/mm]
> Die ganze Geschichte mit den Umformungen à la:
> [mm]a^{p/q}=\exp({\frac{p}{q}\ln{a}}),[/mm] a>0 finde ich sehr
> interessant.
Das kann man, wie gesagt, auch einfach als Definition ansehen. Aber das
kommt auch alles immer ein bisschen drauf an, wie der/die Prof. oder der
Autor/die Autorin natürlich den ganzen Stoff "aufzieht".
> Worüber ich mir noch einmal Gedanken machen
> werde ist der Fall für a<0, sobald man zum Komplexen
> Logarithmus übergeht. Da sollte ich mir noch einmal das
> ganze zu Gemüte führen.
Auch da kenne ich nun keine "allgemeine Definition":
Definition 30.21 erspart sich ja gerade die $z [mm] \le 0\,.$ [/mm] Ich glaube auch, dass
man [mm] $a^b$ [/mm] mit $a < [mm] 0\,$ [/mm] wohl im Wesentlichen nur eingeschränkt sinnvoll
definieren kann: [mm] $(-8)^{1/3}$ [/mm] würde ich als [mm] $-2\,$ [/mm] ansehen, aber das
wäre eben nicht das gleiche wie [mm] $(-8)^{2/6}$... [/mm]
> Ein elementarer Zugang zu gebrochenrationalen Exponenten
> ist meiner Ansicht nach schwer zu bekommen. Mir ging es ja
> größtenteils darum, ob es einen ähnlichen Zugang gibt,
> wie bei [mm]k\in\IN.[/mm] Da sagte man ja, dass das a "einfach"
> k-mal "vorhanden" ist. Für [mm]k\in\IQ[/mm] ist das wohl nur scher
> verdaulich.
Naja: Bei [mm] $a^{p/q}={(a^{1/q})}^p=a^{1/q}*\ldots*a^{1/q}$ [/mm] ist [mm] $a^{1/q}=\sqrt[q]{a}$ [/mm] ($a > 0$) halt [mm] $p\,$-mal
[/mm]
"vorhanden". 
Gruß,
Marcel
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