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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Do 11.04.2013 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B oder B [mm] \subseteq [/mm] A |
Hallo Leute ich arbeite gerade an der obigen Aufgabe.
Ich bin bis hier gekommen:
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Angenommen es ist P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) [mm] \cup [/mm] P(B). Dann folgt: P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) und P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) [mm] \subseteq [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B).
Und deshalb folgt auch: x [mm] \in [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] P(A) [mm] \cup [/mm] P(B).
Also: x [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) = x [mm] \subseteq [/mm] ((A) [mm] \cup [/mm] (B)) [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B oder B [mm] \subseteq [/mm] A ???
An der Rückrichtung muss ich noch arbeiten.
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 11.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B oder B
> [mm]\subseteq[/mm] A
> Hallo Leute ich arbeite gerade an der obigen Aufgabe.
> Ich bin bis hier gekommen:
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> Angenommen es ist P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) [mm]\cup[/mm] P(B). Dann
> folgt: P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) und P(A) [mm]\cup[/mm]
> P(B) [mm]\subseteq[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B).
> Und deshalb folgt auch: x [mm]\in[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\in[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B).
>
> Also: x [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) = x [mm]\subseteq[/mm] ((A) [mm]\cup[/mm] (B))
> [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B oder B [mm]\subseteq[/mm] A ???
>
> An der Rückrichtung muss ich noch arbeiten.
An der "Hinrichtung" auch, denn obiges ist Murks !
Es ist doch A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] P( A [mm] \cup [/mm] B), also ist A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] P( A ) oder A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] P( B).
Damit ist A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A oder A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A
Jetzt Du.
FRED
>
> Danke für die Hilfe!
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Do 11.04.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo Danke für die Hilfe!
Als Rückrichtung habe ich dann:
Sei A [mm] \subseteq [/mm] B oder B [mm] \subseteq [/mm] A wahr.
1. Fall: A [mm] \subseteq [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \in [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B) = A [mm] \in [/mm] P(A) oder A [mm] \in [/mm] P(B).
2. Fall: B [mm] \subseteq [/mm] A
Analog
Reicht das so schon?!
Vielen Grüße und vielen Dank nochmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Do 11.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Danke für die Hilfe!
>
> Als Rückrichtung habe ich dann:
>
> Sei A [mm]\subseteq[/mm] B oder B [mm]\subseteq[/mm] A wahr.
>
> 1. Fall: A [mm]\subseteq[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\in[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B) = A [mm]\in[/mm] P(A) oder A [mm]\in[/mm]
> P(B).
Das Gleichheitszeichen ist doch Unsinn. Und richtig ist das eher so: Wenn
$A [mm] \subseteq [/mm] B$ wahr ist, dann ist $(A [mm] \cup [/mm] B)=B$ (Beweis?). Also folgt $P(A) [mm] \subseteq \red{P(A \cup B)=P(B)}\,.$
[/mm]
Wegen $P(A) [mm] \subseteq [/mm] P(B)$ ergibt sich sodann $P(A) [mm] \cup P(B)=\red{P(B)=P(A \cup B)}\,.$
[/mm]
> 2. Fall: B [mm]\subseteq[/mm] A
Der geht dann wirklich...
> Analog
zu oben!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Do 11.04.2013 | | Autor: | Sauri |
Jo ich habs!!! Vielen vielen Dank!
Wegen A [mm] \subseteq [/mm] B ist (A [mm] \cup [/mm] B) = (B [mm] \cup [/mm] B) = B.
Danke, danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Do 11.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sauri,
> Wegen A [mm]\subseteq[/mm] B ist (A [mm]\cup[/mm] B) = (B [mm]\cup[/mm] B) = B.
Marcel schlug vor, dass du [mm] $A\cup [/mm] B=B$ im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ näher beweist. Mir erscheint die nun von dir ins Feld geführte Gleichheit [mm] $A\cup B=B\cup [/mm] B$ nicht leichter einzusehen, als die zu zeigende Gleichheit [mm] $A\cup [/mm] B=B$.
Beweise [mm] $A\cup [/mm] B=B$ im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ am besten, indem du nacheinander [mm] $A\cup B\subseteq [/mm] B$ und [mm] $A\cup B\supseteq [/mm] B$ zeigst.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Do 11.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Sauri,
>
>
> > Wegen A [mm]\subseteq[/mm] B ist (A [mm]\cup[/mm] B) = (B [mm]\cup[/mm] B) = B.
> Marcel schlug vor, dass du [mm]A\cup B=B[/mm] im Falle [mm]A\subseteq B[/mm]
> näher beweist.
genau - zumal das sehr sehr schnell geht!
> Mir erscheint die nun von dir ins Feld
> geführte Gleichheit [mm]A\cup B=B\cup B[/mm] nicht leichter
> einzusehen, als die zu zeigende Gleichheit [mm]A\cup B=B[/mm].
>
> Beweise [mm]A\cup B=B[/mm] im Falle [mm]A\subseteq B[/mm] am besten, indem du
> nacheinander [mm]A\cup B\subseteq B[/mm] und [mm]A\cup B\supseteq B[/mm]
> zeigst.
Wobei $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \supseteq [/mm] B$ immer gilt - dafür braucht man also noch nicht
mal irgendwelche Zusatzvoraussetzungen (und sogar intuitiv ist das klar:
Wenn ich die Menge [mm] $B\,$ [/mm] habe und zu einer neuen Menge [mm] $B\,'$ [/mm] durch Hinzunahme
weiterer Elemente "vergößere", so wird [mm] $B\,$ [/mm] in [mm] $B\,'$ [/mm] enthalten sein -
schließlich wurde ja [mm] $B\,'$ [/mm] entwickelt, indem man [mm] $B\,$ [/mm] 'entsprechend "vergrößerte"').
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo,
als es ist jetzt A [mm] \subseteq [/mm] B.
1. A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B. Dann ist x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B. Ist x [mm] \in [/mm] A, dann ist wegen A [mm] \subseteq [/mm] B, x [mm] \in [/mm] B. Ist x [mm] \in [/mm] B, ist schon alles gezeigt.
2. B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
Sei x [mm] \in [/mm] B. Dann ist x auch [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B.
Ist das so korrekt?
Vielen vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> als es ist jetzt A [mm]\subseteq[/mm] B.
Du solltest vielleicht erstmal schreiben, was Du hier nun tun willst! Du
willst wohl $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \iff [/mm] A [mm] \cup [/mm] B=B$ zeigen? (Bzw. davon ja eigentlich
nur die Beweisrichtung [mm] "$\Longrightarrow$"!) [/mm] Jemand, der den Zshg. hier
kennt, der weiß das, andere müssen erstmal "die alten Fragen/Antworten/
Mitteilungen" durchforsten, wenn sie das wollen...
> 1. A [mm]\cup[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] B
Ordne bitte Deine Gedanken und teile etwas mehr mit. Du hast also
erstmal die Voraussetzung, dass $A [mm] \subseteq [/mm] B$ gelte (okay, das hast
Du je eh selbst oben geschrieben), und willst zeigen (bzw. in Deiner
Notation lese ich das so: Du WIRST zeigen), dass dann $A [mm] \cup [/mm] B=B$ gilt. Es ist ja
schon wichtig, dass man sich mal einen Überblick verschafft, "was man hier
eigentlich macht (bzw. was man vorhat)!"
Also: Vorausgesetzt sei, dass stets $A [mm] \subseteq [/mm] B$ gelte! Nun willst Du
auf $(A [mm] \cup [/mm] B)=B$ hinaus.
Du fängst nun an, zu beweisen, dass $(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] B$ gelten
muss, wenn $A [mm] \subseteq [/mm] B$ vorausgesetzt wird!
> Sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B. Dann ist x [mm]\in[/mm] A oder x [mm]\in[/mm] B. Ist x
> [mm]\in[/mm] A, dann ist wegen A [mm]\subseteq[/mm] B, x [mm]\in[/mm] B.
Kleine Formalität: anstatt das "..., x [mm] $\in$ [/mm] B" schreibe wirklich "...dann auch
$x [mm] \in B\,.$" [/mm] Sonst kann jmd. das lesen als "..., dann ist wegen $A [mm] \subseteq [/mm] B$ UND $x [mm] \in [/mm] B$."
und sucht dann den Sinn in diesem Satz!
Aber da kannst Du auch "fies" sein und sagen, dass das nicht Dein Problem
sei - es sei ja klar, was Du meinst. Denn wirklich sprachlich falsch ist es
nicht, es kann nur missverständlich sein!
> Ist x [mm]\in[/mm] B, ist schon alles gezeigt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun willst/WIRST Du $B [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ zeigen:
> 2. B [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\cup[/mm] B
> Sei x [mm]\in[/mm] B. Dann ist x auch [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B.
>
> Ist das so korrekt?
Ja, aber ehrlich gesagt ein wenig zu knapp - denn so kannst Du auch
einfach direkt sagen, dass $B [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ trivial ist (was es
auch ist). Wenn wir es schon beweisen, dann auch ausführlich:
Sei $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Dann gilt sicher, dass auch
$x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$
wahr ist. Also folgt $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup B)\,.$
[/mm]
Jetzt haben wir also (insgesamt!)
$$A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \;\;\Longrightarrow\;\; [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)=B$$
bewiesen. Was ist denn mit der anderen Richtung?
(Ich weiß, dass Tobi nur die eine Folgerungsrichtung erwähnte, weil sie es
ja auch ist, die hier relevant ist - aber die andere Richtung solltest Du
alleine schon der Übung wegen auch mal beweisen!)
> Vielen vielen Dank für die Hilfe!
Ich hoffe, Du hast auch gemerkt, dass Du bei $B [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ nirgends
eine Extra-Voraussetzung benutzen musstest - das gilt also "immer"!
Und nimm' meine Kritik vielleicht nicht ZU ernst: Ich bin da didaktisch
vielleicht ein wenig überpenibel. Die wirkliche Kritik ist hier nur, dass Du
beim Beweis von
$$B [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$$
noch die Zeile
$$x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B))$$
ergänzen solltest! Der Rest war eigentlich vollkommen okay!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo, vielen Dank an alle Beteiligten. Der Thread kann hier mit geschlossen wernden
@Marcel
Danke für den ausführlichen Kommentar. Ich habe den Beitrag nicht "kritisch" empfunden. Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Do 11.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Zeigen Sie:
> > P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B oder B
> > [mm]\subseteq[/mm] A
> > Hallo Leute ich arbeite gerade an der obigen Aufgabe.
> > Ich bin bis hier gekommen:
> >
> > [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> > Angenommen es ist P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) [mm]\cup[/mm] P(B). Dann
> > folgt: P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) und P(A) [mm]\cup[/mm]
> > P(B) [mm]\subseteq[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B).
> > Und deshalb folgt auch: x [mm]\in[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] x
> > [mm]\in[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B).
> >
> > Also: x [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) = x [mm]\subseteq[/mm] ((A) [mm]\cup[/mm] (B))
> > [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B oder B [mm]\subseteq[/mm] A ???
> >
> > An der Rückrichtung muss ich noch arbeiten.
>
> An der "Hinrichtung" auch, denn obiges ist Murks !
>
> Es ist doch A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in[/mm] P( A [mm]\cup[/mm] B), also ist A [mm]\cup[/mm] B
> [mm]\in[/mm] P( A ) oder A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in[/mm] P( B).
>
> Damit ist A [mm]\cup[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] A oder A [mm]\cup[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] A
ich darf noch ergänzen, dass allgemein gilt:
$$(R [mm] \cup [/mm] T) [mm] \subseteq [/mm] T [mm] \iff [/mm] R [mm] \subseteq [/mm] T$$
(und weil eh stets $T [mm] \subseteq [/mm] (R [mm] \cup [/mm] T)$ gilt, kann man diese Aussage
auch weiter formulieren zu
$R [mm] \cup [/mm] T=T [mm] \iff [/mm] R [mm] \subseteq T\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Do 11.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie:
> P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B oder B
> [mm]\subseteq[/mm] A
> Hallo Leute ich arbeite gerade an der obigen Aufgabe.
> Ich bin bis hier gekommen:
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> Angenommen es ist P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) [mm]\cup[/mm] P(B). Dann
> folgt: P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) und P(A) [mm]\cup[/mm]
> P(B) [mm]\subseteq[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B).
> Und deshalb folgt auch: x [mm]\in[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\in[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B).
>
> Also: x [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) = x [mm]\subseteq[/mm] ((A) [mm]\cup[/mm] (B))
> [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B oder B [mm]\subseteq[/mm] A ???
Fred sagte es ja schon: Da ist viel Murks drin. (Findest Du den Murks selber,
willst Du das ganz wegwerfen, oder sollen wir Dir die Fehler aufzählen?)
Du kannst diese Richtung auch so machen:
Nach Voraussetzung gilt $P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A) [mm] \cup P(B)\,.$ [/mm] Nun nehmen wir an, es gelte nicht
$A [mm] \subseteq B\,,$ [/mm] d.h. es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] A [mm] \setminus B\,.$ [/mm] Zu zeigen ist, dass dann für jedes $x [mm] \in [/mm] B$ auch $x [mm] \in [/mm] A$
folgt. (Wenn $A [mm] \not \subseteq B\,,$ [/mm] so müssen wir $B [mm] \subseteq [/mm] A$ zeigen!)
Sei dazu $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\{x,\,x_0\} \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ und daher [mm] $\{x,x_0\} \in [/mm] P(A [mm] \cup B)\,.$ [/mm] Wegen $P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A) [mm] \cup [/mm] P(B)$
folgt daher, dass [mm] $\{x,x_0\} \in [/mm] P(A)$ oder [mm] $\{x,x_0\} \in [/mm] P(B)$ gelten müsse. Wegen [mm] $x_0 \notin [/mm] B$ muss aber
[mm] $\{x,x_0\} \notin [/mm] P(B)$ gelten, so dass [mm] $\{x,x_0\} \in [/mm] P(A)$ folgt. Aus [mm] $\{x,x_0\} \in [/mm] P(A)$ folgt dann aber [mm] $\{x,x_0\} \subseteq [/mm] A$
und daraus $x [mm] \in A\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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