Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr lieben,
ich soll beweisen , dass für alle |z| < 1 gilt:
(1-z) * [mm] \sum_{n\ge0}n*z^{n} [/mm] = 1/ (1-z)
mein Ansatz:
wir wissen ja, dass [mm] \frac{1}{1-z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}{\infty}z^{n}
[/mm]
und das das funktioniert weiß ich ja wegen |z|<1
habt ihr eine idee wie man dies nun weiter beweisen kann?
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Hallo rosapanther,
> Hallo ihr lieben,
> ich soll beweisen , dass für alle |z| < 1 gilt:
> (1-z) * [mm]\sum_{n\ge0}n*z^{n}[/mm] = 1/ (1-z)
> mein Ansatz:
> wir wissen ja, dass [mm]\frac{1}{1-z}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}{\infty}z^{n}[/mm]
> und das das funktioniert weiß ich ja wegen |z|<1
> habt ihr eine idee wie man dies nun weiter beweisen kann?
>
Wenn Du das 1-z von der linken Seite der Gleichung
auf die rechte Seite bringst, dann kannst Du dieselbe Reihe
miteinander multiplizieren.
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}z^{n}*\sum_{k=0}^{\infty}z^{n}[/mm]
Gruss
MathePower
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das stimmt natürlich, diese Idee hatte ich eben auch schon. Aber habe sie dann wieder verworfen, da ich nicht genau weiß wie ich dann mit dem n in der linken Seite der Gleichung umgehe und umforme:
[mm] \sum_{n\ge0}n*z^{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} z^n [/mm] * [mm] \sum_{n=0}^{\infty} z^n
[/mm]
und die Grenzen sind ja auch unterschiedlich :-(
Induktion hätte hier keinen Sinn oder?
LG
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Hallo rosapanther,
> das stimmt natürlich, diese Idee hatte ich eben auch
> schon. Aber habe sie dann wieder verworfen, da ich nicht
> genau weiß wie ich dann mit dem n in der linken Seite der
> Gleichung umgehe und umforme:
> [mm]\sum_{n\ge0}n*z^{n}[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} z^n[/mm] *
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} z^n[/mm]
>
Verwende zwei unterschiedliche Summenidizes, z.B:
[mm]\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}*\sum_{k=0}^{\infty} z^k[/mm]
> und die Grenzen sind ja auch unterschiedlich :-(
> Induktion hätte hier keinen Sinn oder?
>
Nein, Induktion hat hier keinen Sinn.
> LG
Gruss
MathePower
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aber das würde doch dann quasi voraussetzten(damit die Gleichung gültig ist), das n= [mm] z^{k}
[/mm]
wegen [mm] \sum_{n\ge0}n*z^{n} [/mm] = [mm] \sum_{??}_{??}z^{k} [/mm] * [mm] z^{n}
[/mm]
und das oberes erfüllt ist ist ja nicht vorgegeben oder?
LG
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Hallo rosapanther,
> aber das würde doch dann quasi voraussetzten(damit die
> Gleichung gültig ist), das n= [mm]z^{k}[/mm]
> wegen [mm]\sum_{n\ge0}n*z^{n}[/mm] = [mm]\sum_{??}_{??}z^{k}[/mm] * [mm]z^{n}[/mm]
> und das oberes erfüllt ist ist ja nicht vorgegeben oder?
>
Nein.
Du sollst ja auch die Potenzreihe von
[mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] mit sich selbst multiplizieren.
> LG
Gruss
MathePower
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aber was sollte ich denn dann mit der Divison von (1-z) und der nachfolgenden Umschreibung zur geometrischen Reihe bezwecken?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Sa 11.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ihr lieben,
> ich soll beweisen , dass für alle |z| < 1 gilt:
> (1-z) * [mm]\sum_{n\ge0}n*z^{n}[/mm] = 1/ (1-z)
Das ist nicht richtig !
Richtig ist: $(1-z) * [mm] \sum_{n\ge0}(n+1)z^{n}= [/mm] 1/ (1-z)$
Dazu berechne das Cauchyprodukt
[mm] $(\sum_{n\ge0}z^{n})*( \sum_{n\ge0}z^{n})$
[/mm]
FRED
> mein Ansatz:
> wir wissen ja, dass [mm]\frac{1}{1-z}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}{\infty}z^{n}[/mm]
> und das das funktioniert weiß ich ja wegen |z|<1
> habt ihr eine idee wie man dies nun weiter beweisen kann?
>
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danke Fred. bist du dir da auch ganz sicher? Denn in der Uni wurde uns das So angegeben..naja auch Professoren sind Menschen 
wenn ich das Cauchy Produkt bilde erhalte ich:
[mm] \sum_{k=0}{n} z^{2n-k} [/mm] aber nun steht n weiterhin im Exponenten und nicht in der Basis. hast du eine Idee wie man nun umformen kann?
LG 
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aber das ist doch das Cauchy Produkt?
Ich muss ja [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}*b_{n-k} [/mm] bilden
und wenn ich nun [mm] z^{n} [/mm] einsetze erhalte ich doch dieses Ergebnis. oder was meinst du?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 So 12.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> aber das ist doch das Cauchy Produkt?
> Ich muss ja [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}*b_{n-k}[/mm]
> bilden
> und wenn ich nun [mm]z^{n}[/mm] einsetze erhalte ich doch dieses
> Ergebnis. oder was meinst du?
ES lautet
[mm]c_{n}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n}a_{k}*b_{n-k}[/mm]
Wobei [mm] a_j=b_j=z^j
[/mm]
Das Cauchyprodukt ist dann
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}c_n
[/mm]
FRED
>
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aber genau das habe ich doch im ersten Versuch gemacht, oder etwa nicht?
ich habe [mm] \sum_{n=0}{\infty}z^{n}*z^{n-k} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}{\infty}z^{n+n-k}=\sum_{n=0}{\infty}z^{2n-k} [/mm]
was ist denn daran flasch?
Liebe Grüße
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Hallo,
> aber genau das habe ich doch im ersten Versuch gemacht,
> oder etwa nicht?
> ich habe [mm]\sum_{n=0}{\infty}z^{n}*z^{n-k}[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}{\infty}z^{n+n-k}=\sum_{n=0}{\infty}z^{2n-k}[/mm]
> was ist denn daran flasch?
Die Potenz des ersten [mm]z[/mm] muss [mm]k[/mm] sein:
[mm]\sum\limits_{n\ge 0}z^n\cdot{}\sum\limits_{k\ge 0}z^k \ = \ \sum\limits_{n\ge 0}\left( \ \sum\limits_{k=0}^{n}z^{\red{k}}\cdot{}z^{n-k} \ \right) \ = \ \ldots{}[/mm]
>
> Liebe Grüße
Gruß
schachuzipus
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Hey
danke für deine Hilfe.
Ich erhalte ja dann [mm] \sum_{n\ge0}\sum_{n\ge0}z^{n} [/mm]
Wie geht man in diesem Fall mit dem ersten Summenzeichen um? bzw. wie formt man dieses um?
Am Ende will ich den gesamten Term ja gleichsetzen mit [mm] \sum_{n\ge0}n*z^{n}
[/mm]
LG
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Hallo nochmal,
> Hey
> danke für deine Hilfe.
> Ich erhalte ja dann [mm]\sum_{n\ge0}\sum_{n\ge0}z^{n}[/mm]
Nein, wie willst du das erhalten?
Kannst du nicht abschreiben von einer Zeile zur nächsten?
> Wie geht man in diesem Fall mit dem ersten Summenzeichen
> um? bzw. wie formt man dieses um?
> Am Ende will ich den gesamten Term ja gleichsetzen mit
> [mm]\sum_{n\ge0}n*z^{n}[/mm]
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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doch. aber ich habe doch [mm] z^{k}*z^{n-k}
[/mm]
nun muss ich also die Exponenten addieren und erhalte:k+n-k =n
also erhalte ich doch [mm] z^{n}
[/mm]
LG
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Hallo,
> doch. aber ich habe doch [mm]z^{k}*z^{n-k}[/mm]
> nun muss ich also die Exponenten addieren und
> erhalte:k+n-k =n
> also erhalte ich doch [mm]z^{n}[/mm]
Das stimmt, aber wie ergibt sich aus dem Laufindex an der 2.Summe: $k=0 ... n$ bei dir $n=0 ... [mm] \infty$ [/mm] ?
Das ist Schluderei hoch 9, das macht echt keinen Spaß mehr, dir zu helfen.
Da kommt so wenig zurück. Und ich meine nicht das Fachliche, sondern die ständige Sorglosigkeit und Schluderei beim Aufschrieb und das ungenaue Arbeiten ...
Jetzt schreibe mal auf, was sich wirklich ergibt ...
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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es tut mir leid. Ich finde es nur so ungewohnt alles digital aufzuschreiben. Diese ganzen Formeln der LAtexx Schreibweise verwirren mich irgendwie. Ich fände es schön und würde mich freuen, wenn du mir trotzdem weiter helfen würdest. Also ich erhalte:
[mm] \sum_{n\ge0}\sum_{k=0}^{n}z^{n} [/mm]
richtig?
wenn ich mich nicht irre müsste [mm] \sum_{k=0}^{n}z^{n} [/mm] = [mm] z^{n} [/mm] sein, da ich ja kein k mehr zum einsetzen habe. Also erhalte ich doch:
[mm] \sum_{n\ge0} z^{n} [/mm]
aber nun fehlt mir ja noch mein n in der Summe da ich ja am Ende [mm] \sum_{n\ge0}n*z^{n} [/mm] erhalten will
LG
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Hallo nochmal,
> es tut mir leid. Ich finde es nur so ungewohnt alles
> digital aufzuschreiben. Diese ganzen Formeln der LAtexx
> Schreibweise verwirren mich irgendwie. Ich fände es schön
> und würde mich freuen, wenn du mir trotzdem weiter helfen
> würdest. Also ich erhalte:
> [mm]\sum_{n\ge0}\sum_{k=0}^{n}z^{n}[/mm]
> richtig? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Heureka! Eine schwere Geburt
> Ich weiß allerdings nicht genau wie ich mit dem ersten
> Summenzeichen umgehe, bzw. wie ich dieses mit dem 2.
> umformen kann
Schaue dir zunächst die 2. Summe an.
Das [mm] $z^n$ [/mm] ist ja vom Laufindex $n$ unabhängig.
Es wird also für $k=0$ bis $k=n$ immer nur der konstante Term [mm] $z^n$ [/mm] summiert.
Da steht also [mm] $\sum\limits_{n\ge 0}\left(\underbrace{z^n+z^n+z^n+\ldots{}+z^n}_{\text{wieviele Male?}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{n\ge 0} \Box$
[/mm]
Nun du wieder.
Alternativ kannst du [mm] $z^n$ [/mm] ausklammern:
[mm] $\sum\limits_{n\ge 0}\sum\limits_{k=0}^nz^n [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{n\ge 0}z^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^n1$
[/mm]
Dann überlege analog, wie oft da die 1 summiert wird in der 2ten Summe ...
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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Hey du
ich würde mich für die zweite Variante entscheiden und [mm] z^{n} [/mm] ausklammer. Somit erhalte ich ja [mm] \sum_{n\ge0}z^{n}*\sum_{k=0}^{n}1 [/mm]
und [mm] \sum_{k=0}^{n}1 [/mm] =n-k+1 und das sind wegen k=0
=n+1
stimmt das?
eigentlich ist die 1 ja fehl am Platz, da ich laut deiner ersten Variante den Term ja n mal summiere und auch nur durch Multiplikation mit n am Ende auf das richtige Ergebnis komme. Aber die Formel die wir in der Vorlesung notiert haben besagt: [mm] \sum_{k=0}^{n}1 [/mm] =n-k+1
ohje :-(
LG
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Hallo nochmal,
> Hey du
> ich würde mich für die zweite Variante entscheiden und
> [mm]z^{n}[/mm] ausklammer. Somit erhalte ich ja
> [mm]\sum_{n\ge0}z^{n}*=\sum_{k=0}^{n}1[/mm]
Das "=" ist fehl am Platze
> und [mm]\sum_{k=0}^{n}1[/mm] =n-k+1 und das sind wegen k=0
> =n+1
> stimmt das?
Ja, es wird [mm](n+1)[/mm]-mal die 1 summiert, da steht also nix anderes als [mm]\sum\limits_{n\ge 0}z^n\cdot{}(n+1)[/mm]
> eigentlich ist die 1 ja fehl am Platz, da ich laut deiner
> ersten Variante den Term ja n mal summiere
Nein, von [mm]k=0[/mm] bis [mm]k=n[/mm] sind es n+1 Summanden.
Also [mm]\sum\limtis_{n\ge 0}\sum\limits_{k=0}^nz^n=\sum\limits_{n\ge 0}\left(\underbrace{z^n+z^n+z^n+\ldots{}+z^n}_{(n+1)-mal}\right)=\sum\limits_{n\ge 0}(n+1)\cdot{}z^n[/mm]
So soll es ja auch rauskommen - bachte, dass Fred dich im Verlauf des Threads auf einen Fehler in der Aufgabenstellung hingewiesen hat ...
> und auch nur
> durch Multiplikation mit n am Ende auf das richtige
> Ergebnis komme. Aber die Formel die wir in der Vorlesung
> notiert haben besagt: [mm]\sum_{k=0}^{n}1[/mm] =n-k+1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ohje :-(
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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da hast du recht:
Ich habe überlegt. Kannst du mir sagen was man erhält wenn man den gesamten Term also [mm] \sum_{n\ge0}(n+1)*z^{n} [/mm] mit z multipliziert?
Kann es sein, dass man dann auf das angegebene Ergebnis des Professors, also [mm] \sum_{n\ge0}n*z^{n} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> da hast du recht:
> Ich habe überlegt. Kannst du mir sagen was man erhält
> wenn man den gesamten Term also [mm]\sum_{n\ge0}(n+1)*z^{n}[/mm]
> mit z multipliziert?
Dann bekommst Du: [mm]\sum_{n\ge0}(n+1)*z^{n+1}[/mm]
> Kann es sein, dass man dann auf das angegebene Ergebnis
> des Professors, also [mm]\sum_{n\ge0}n*z^{n}[/mm] ?
Es ist
[mm]\sum_{n\ge0}(n+1)*z^{n+1}[/mm] =[mm]\sum_{n\ge 1}n*z^{n}[/mm] .
Du kannst es drehen und wenden wie Du willst, Professor hin oder her , es ist
$ [mm] \sum_{n\ge0}(n+1)z^{n}= [/mm] 1/ [mm] (1-z)^2 [/mm] $
und
$ [mm] \sum_{n\ge0}nz^{n} \ne [/mm] 1/ [mm] (1-z)^2 [/mm] $
FRED
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ja ich kann das nachvollziehen was du sagst, nur der Professor hat gestern die Aufgabe noch umgeändert (vielleicht hat er seinen Fehler bemerkt??!!) und die 1 im Zähler der linken Seite durch z ersetzt. Doch auch so stimmt der Term nicht oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> ja ich kann das nachvollziehen was du sagst, nur der
> Professor hat gestern die Aufgabe noch umgeändert
> (vielleicht hat er seinen Fehler bemerkt??!!) und die 1 im
> Zähler der linken Seite durch z ersetzt.
Was hat er genau geschrieben ? Schreib das mal auf.
FRED
> Doch auch so
> stimmt der Term nicht oder?
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er formulierte um zu:
(1-z) [mm] \sum_{n\ge0}n*z^{n}=\frac{z}{1-z}
[/mm]
aber das würde auch nicht passen oder?
meiner Meinung würde es nur so passen:
(1-z) [mm] \sum_{n\ge1}n*z^{n}=\frac{z}{1-z}
[/mm]
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> er formulierte um zu:
> (1-z) [mm]\sum_{n\ge0}n*z^{n}=\frac{z}{1-z}[/mm]
> aber das würde auch nicht passen oder?
Doch das passt ! Nach dieser elendlangen Diskussion sollte Dir klar sein, warum !!!
> meiner Meinung würde es nur so passen:
> (1-z) [mm]\sum_{n\ge1}n*z^{n}=\frac{z}{1-z}[/mm]
Ach ? Und wo, bitteschön, ist der Unterschied zwischen [mm] \sum_{n\ge 1}n*z^{n} [/mm] und [mm] \sum_{n\ge 0}n*z^{n} [/mm] ?
Schreib beide Summen mal aus.
FRED
> oder?
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du hast natürlich recht. wenn ich null einsetzte kommt sowieso 0 heraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 12.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> aber genau das habe ich doch im ersten Versuch gemacht,
> oder etwa nicht?
> ich habe [mm]\sum_{n=0}{\infty}z^{n}*z^{n-k}[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}{\infty}z^{n+n-k}=\sum_{n=0}{\infty}z^{2n-k}[/mm]
> was ist denn daran flasch?
Was daran flasch ist, weiss ich nicht. Falsch ist jedenfalls, dass Du nicht liest, was man Dir schreibt.
FRED
>
> Liebe Grüße
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Hallo rosapanther
> ich soll beweisen , dass für alle |z| < 1 gilt:
> (1-z) * [mm]\sum_{n\ge0}n*z^{n}[/mm] = 1/ (1-z)
ich möchte nur darauf hinweisen, dass diese Aufgabe
nicht korrekt formuliert ist.
Da sollte doch stehen:
... beweisen, dass für alle komplexen Zahlen z mit |z|<1 gilt: ...
Es geht ja nicht um eine Aussage über gewisse
(reelle) Beträge komplexer Zahlen und noch
weniger um eine über Ungleichungen der Form
|z|<1 , sondern um eine Aussage über komplexe
Zahlen, die man mit z bezeichnet.
Leider findet man solch schlampige und eigentlich
sinnlose Ausdrucksweisen viel zu oft.
LG , Al-Chwarizmi
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