Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dank eurer Erklärungen passiert folgendes :
Gegen welche Funktion konvergiert die Potenzreihe $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} k\cdot{}\bruch{3^(k-1)}{2^(k+1)}\cdot{}x^{k+1} [/mm] $
Ich schreibe um : $ [mm] \bruch{k\cdot{}3^k\cdot{}x^k\cdot{}x}{2^k\cdot{}2\cdot{}3}. [/mm] $
Weiter weiß ich leider nicht ?!?!
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo,
ich kenne diese Art von Aufgabe zwar nicht, aber im Sinne der Taylorreihen müsste ja das von die bestimmte
$ [mm] \bruch{k\cdot{}3^k\cdot{}x^k\cdot{}x}{2^k\cdot{}2\cdot{}3}.$ [/mm] die $k$-te Ableitung von $f * k!$ sein.
(Es muss ja gelten [mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{f^{\left(k\right)}(x)}{k!}$ [/mm] )
Ich denk mal mit ein wenig knobeln kommt man jetzt zu der Funktion. Damit man auf [mm] $3^k$ [/mm] hilft sowas wie [mm] $e^{3x}$ [/mm] und auf die $k!$ kommt man z.B. mit [mm] $x^k$.
[/mm]
lg Kai
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Danke für deine Antwort aber leider kann ich deine Überlegungen nur zum Teil nachvollziehen...
kannst du mal eine Formel aufschreiben ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 So 05.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Such mal wieder die geometrische Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}x^i [/mm] oder [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(3/2*x)^i
[/mm]
hiervon solltest du die fkt direkt hinschreiben koennen, und ihre Ableitung.
leit die fkt und die Summe ab, und bring wenn noetig noch Zahlenfaktoren richtig an.
gruss leduart
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Hallo, hatte auch an die Geo Reihe gedacht in der Form aber eine Kollege aus diesem Forum hat gesagt das wäre keine da noch ein k als Faktor dabei ist und meine Summe nicht bei 0 sondern bei 1 anfängt ?!?
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Ah ich glaube ich habs. Ich Fasse alles mit ^k zusammen das ist ja mein q.Das leite ich ab ( oder integriere je nachdem) und erhalte
[mm] \bruch{k*(\bruch{3}{2})^k*x^k}{x}. [/mm] Nun sehe ich dass dies meiner gegeben Summe schon sehr ähnlich sieht...
Als Faktor fehlt [mm] \bruch{6}{x^2}
[/mm]
Somit ist meine gesuchte Funktion [mm] \bruch{\bruch{6}{x^2}}{1+\bruch{3x}{2}} [/mm] aber da stimmt noch was nicht ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Schreibe:
$ \summe_{k=1}^{\infty} k\cdot{}\bruch{3^{(k-1)}}{2^{(k+1)}}\cdot{}x^{k+1} $
=$ \summe_{k=1}^{\infty} k\cdot{}\bruch{3^k}{2^k*3*2}\cdot{}x^k*x} $
=\bruch{1}{6}*x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\bruch{3^k}{2^k}\cdot{}x^k}
=\bruch{1}{6}*x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}*x\right)^k}
=\bruch{1}{6}*x*\bruch{3}{2}*x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}*x\right)^{k-1}}
g(x)=\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}*x\right)^{k-1}}
Integriere jetzt g(x), dann kürzt sich das k was als Faktor in der Summe steht.
Das integrierte g(x) kannst du dann noch auf k=0 zurückführen und davon bestimmst du dann die Funktion gegen die die Reihe für bestimmte x konvergiert.
Die funktion ableiten und *\bruch{1}{4}*x^2 und du hast die Funktion 
Gruß,
tedd
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Danke, aber wie kommst du darauf ein (3x/2) herauszuziehen??
Ich erhalte dann als Funktion :
[mm] 0,083*\bruch{3x}{2}^2*x^-2-\bruch{x^2}{12} [/mm] ??
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Sorry verechnet.
Es steht da [mm] \bruch{1}{6}*(\bruch{3x}{2})^k-\bruch{x^2}{6} [/mm] oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 So 05.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das rausziehen, weil er hoch (k-1) will.
Deine fkt versteh ich nicht! wenn du das ausmult steht da [mm] 0.083*3/2-x^2/12
[/mm]
das ist sicher nicht die fkt, die haette eine endliche Reihe (2 Glieder)
Gruss leduart
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Komme auf [mm] \bruch{\bruch{3x}{2}^k-x^2}{6x^2} [/mm] ?!?
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Aber er will ja nur bei [mm] 3^k-1 [/mm] haben bei 2 willer ^k+1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
> Aber er will ja nur bei [mm]3^k-1[/mm] haben bei 2 willer ^k+1 ?
?
$ [mm] g(x)=\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}} [/mm] $
[mm] \integral_{}^{}{g(x) dx}=\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\bruch{1}{k}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k}+C}=\summe_{k=0}^{\infty}{\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k}-1+C}=\bruch{1}{1-\bruch{3}{2}*x}-1+C [/mm] für [mm] |\bruch{3}{2}*x|<1
[/mm]
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
Ich würd vorschlagen du schreibst auch deinen Rechenweg auf damit man nachvollziehen kann wie du darauf kommst und evtl. Fehler korrigieren kann. 
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Ok,
also ich integriere [mm] k*(\bruch{3x}{2})^{k-1} [/mm] und erhalte [mm] \bruch{2}{3}*(\bruch{3x}{2})^k
[/mm]
Dann setzte ich k=0 und ziehe es davon ab und erhalte
[mm] \bruch{1}{4x^2} *[\bruch{2}{3}*(\bruch{3x}{2})^k-\bruch{2}{3}]
[/mm]
Dann zusammenfassen :
[mm] \bruch{(\bruch{3x}{2})^k-x^4}{6x^2}
[/mm]
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$ [mm] \bruch{1}{4x^2} \cdot{}[\bruch{2}{3}\cdot{}(\bruch{3x}{2})^k- [/mm] 1] $
Dann zusammenfassen :
$ [mm] \bruch{(\bruch{3x}{2})^k}{6x^2} -\bruch{1}{4x^2}$
[/mm]
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Kann mir da jemand noch wieterhelfen ob das stimmt was ich gemacht habe und ggf. korrektur?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 So 05.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib noch mal von Anfang an auf was du jetzt hast.
Ziel war doch ne geometrische Reihe, mit was multipliziert rauszukriegen. dazu kennst du dann die fkt.
Wir haben keine Lust Stueckchenweise zu korrigieren und uns durch die aelteren Posts durchzuwuehlen.
Also schreib VON ANFANG AN auf, was du bist jetzt hast und verlier nicht das Ziel aus dem Blick, sowas wie 1/(1-ax) zu sehen, davon die ableitung oder das Integral, das ganze noch mit was multipliziert.
jetzt seh ich [mm] x^k [/mm] ohne summenzeichen usw. und seh nicht mehr ob du noch das Ziel vor Augen hast: die fkt zu der unendlichen Reihe zu finden
Gruss leduart
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Gut,dann noch mal von Anfang an was ich bis jetzt habe:
Gesucht ist die Funktion gegen die Potenzreihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} k*\bruch{3^(k-1)}{2^(k+1)}*x^{k+1} [/mm] konvergiert.
Ich forme um zu : [mm] \bruch{x^2}{4}*\summe_{k=1}^{\infty} k*(\bruch{3x}{2})^{k-1}
[/mm]
1. Frage warum wurde [mm] (\bruch{3x}{2}) [/mm] einmal vor die Summe gezogen, damit es sich besser integrieren lässt ?
Somit g(x)= [mm] \bruch{x^2}{4}*\summe_{k=1}^{\infty} k*(\bruch{3x}{2})^{k-1}
[/mm]
Dann integriere ich die Summe von g(x) und erhalte : [mm] \bruch{2}{3}*(\bruch{3x}{2})^k+C
[/mm]
Setze k=0 ein und subtrahiere : [mm] \bruch{2}{3}*(\bruch{3x}{2})^k-1
[/mm]
2.Frage : Warum soll ich das in die GW Formel für dei geo Reihe einsetzen ?
weiter umformen :
[mm] \bruch{x^2}{6}-1*\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3x}{2})^k+C
[/mm]
Jetzt kann ich es in die Formel einsetzen :
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{-3x}{2}}
[/mm]
3. Frage. Warum dies dann ableiten ?
Dies abgeleitet : [mm] \bruch{\bruch{2}{3}}{(x-\bruch{2}{3})^2}
[/mm]
Also f(x) = [mm] \bruch{x^2}{6}-1* \bruch{\bruch{2}{3}}{(x-\bruch{2}{3})^2}
[/mm]
War das jetzt richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 So 05.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Gut,dann noch mal von Anfang an was ich bis jetzt habe:
> Gesucht ist die Funktion gegen die Potenzreihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} k*\bruch{3^(k-1)}{2^(k+1)}*x^{k+1}[/mm]
> konvergiert.
> Ich forme um zu : [mm]\bruch{x^2}{4}*\summe_{k=1}^{\infty} k*(\bruch{3x}{2})^{k-1}[/mm]
>
> 1. Frage warum wurde [mm](\bruch{3x}{2})[/mm] einmal vor die Summe
> gezogen, damit es sich besser integrieren lässt ?
ja
du hast jetzt: [mm] f(x)=x^2/4*g(x)
[/mm]
> Somit g(x)= [mm]\bruch{x^2}{4}*\summe_{k=1}^{\infty} k*(\bruch{3x}{2})^{k-1}[/mm]
>
> Dann integriere ich die Summe von g(x) und erhalte :
Nein nur mein [mm] g(x)=\summe_{k=1}^{\infty} k*(\bruch{3x}{2})^{k-1}
[/mm]
> [mm]\bruch{2}{3}*(\bruch{3x}{2})^k+C[/mm]
nein das ist nur ein Summand, nicht das Integral der Summe
> Setze k=0 ein und subtrahiere :
> [mm]\bruch{2}{3}*(\bruch{3x}{2})^k-1[/mm]
warum schreibst du immer nur Teile auf.
Du hast jetzt G(x) Stammfunktion von g(x)
[mm] G(x)=2/3*\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{3x}{2})^k
[/mm]
das ist fast ne geometrische Reihe! deren Summe kenn ich!!
also schrib ich [mm] G(x)=2/3*\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3x}{2})^k-2/3
[/mm]
und damit [mm] G(x)=2/3*\bruch{1}{1-1.5x}-2/3
[/mm]
jetzt an das Ziel erinnern: gesucht war [mm] f(x)=x^2/4*g(x)=x^2/4*G'(x)
[/mm]
> 2.Frage : Warum soll ich das in die GW Formel für dei geo
> Reihe einsetzen ?
weil du ne funktion suchst statt der Reihe!
damit sind hoffentlich auch die letzten fragen geklaert.
Du musst dir Zwischenschritte aufschreiben, nicht einfach draufloswurschteln ,
also [mm] f(x)=x^2/4*g(x)
[/mm]
leider ist g(x) noch ne Summe deren zugehoerige fkt ich nicht kenn. aber G(x) als summe geschrieben kenn ich die fkt. deshalb G(x)
dann dran erinnern, die wollte ich nicht also g(x)=G'(x)
usw.
D.h. du hast beim rumrechnen nie aufgepasst warum du was tust.
Gruss leduart
> weiter umformen :
>
> [mm]\bruch{x^2}{6}-1*\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3x}{2})^k+C[/mm]
>
> Jetzt kann ich es in die Formel einsetzen :
>
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{-3x}{2}}[/mm]
>
> 3. Frage. Warum dies dann ableiten ?
>
> Dies abgeleitet : [mm]\bruch{\bruch{2}{3}}{(x-\bruch{2}{3})^2}[/mm]
>
> Also f(x) = [mm]\bruch{x^2}{6}-1* \bruch{\bruch{2}{3}}{(x-\bruch{2}{3})^2}[/mm]
>
> War das jetzt richtig ?
>
>
>
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Danke jetzt ist alles erklärt,
aber muss hier $ [mm] G(x)=2/3\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3x}{2})^k-2/3 [/mm] $ nicht stattdessen $ [mm] G(x)=2/3\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3x}{2})^k-1 [/mm] $ stehen
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Hallo,
> Danke jetzt ist alles erklärt,
> aber muss hier [mm]G(x)=2/3\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3x}{2})^k-2/3[/mm]
> nicht stattdessen [mm]G(x)=2/3\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3x}{2})^k-1[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> stehen
Nein, denn:
$\frac{2}{3}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3x}{2}\right)^k \ = \frac{2}{3}\cdot{}\left\left(\left[\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{3x}{2}\right)^k\right]-\underbrace{\left(\frac{3x}{2}\right)^0}_{=1}\right)=\frac{2}{3}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{3x}{2}\right)^k \ - \ \frac{2}{3}\cdot{}1$
LG
schachuzipus
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Aja, das k=0 Glied gehört ja nicht zur Summe. Vielen dank habt mir sehr geholfen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi!
Hmm....
wo kommt denn das \bruch{2}{3} vor der summe her?
Hätte sonst gedacht so von Anfang an:
$ \summe_{k=1}^{\infty} k\cdot{}\bruch{3^{(k-1)}}{2^{(k+1)}}\cdot{}x^{k+1} $
=$ \summe_{k=1}^{\infty} k\cdot{}\bruch{3^k}{2^k\cdot{}3\cdot{}2}\cdot{}x^k\cdot{}x} $
$ =\bruch{1}{6}\cdot{}x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\bruch{3^k}{2^k}\cdot{}x^k} $
$ =\bruch{1}{6}\cdot{}x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^k} $
$ =\bruch{1}{6}\cdot{}x\cdot{}\bruch{3}{2}\cdot{}x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}}=\bruch{1}{4}\cdot{}x^2*\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}} $
$ g(x)=\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}} $
$ \integral_{}^{}{g(x) dx}=\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\bruch{1}{k}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k}+C}=\summe_{k=0}^{\infty}{\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k}-1+C}=\bruch{1}{1-\bruch{3}{2}\cdot{}x}-1+C $ für $ |\bruch{3}{2}\cdot{}x|<1 $
Dann die \integral_{}^{}{g(x) dx} wieder ableiten:
g(x)=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1-\bruch{3}{2}*x)^2}
und in
\bruch{1}{4}\cdot{}x^2*\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}}
einsetzen:
\bruch{1}{4}\cdot{}x^2*\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1-\bruch{3}{2}*x)^2}=\bruch{3}{8}*x^2*\bruch{1}{(1-\bruch{3}{2}*x)^2} für $ |\bruch{3}{2}\cdot{}x|<1 also -\bruch{2}{3}<x<\bruch{2}{3}
Danke und Gruß,
tedd
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> Hi!
>
> Hmm....
> wo kommt denn das [mm]\bruch{2}{3}[/mm] vor der summe her?
> Hätte sonst gedacht so von Anfang an:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} k\cdot{}\bruch{3^{(k-1)}}{2^{(k+1)}}\cdot{}x^{k+1}[/mm]
>
> =[mm] \summe_{k=1}^{\infty} k\cdot{}\bruch{3^k}{2^k\cdot{}3\cdot{}2}\cdot{}x^k\cdot{}x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{6}\cdot{}x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\bruch{3^k}{2^k}\cdot{}x^k}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{6}\cdot{}x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^k}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{6}\cdot{}x\cdot{}\bruch{3}{2}\cdot{}x\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}}=\bruch{1}{4}\cdot{}x^2*\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}}[/mm]
>
> [mm]g(x)=\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}}[/mm]
[mm] g(x)=\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\frac{3}{2}^{k-1}\left(x\right)^{k-1}}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty}{ \frac{k}{k}\cdot{}\frac{3}{2}^{k-1}\left(x\right)^{k}}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty}{\frac{3}{2}^k*\frac{2}{3}*x^k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty}{ \frac{2}{3}*(\frac{3}{2}*x)^k}
[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{g(x) dx}=\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\bruch{1}{k}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k}+C}=\summe_{k=0}^{\infty}{\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k}-1+C}=\bruch{1}{1-\bruch{3}{2}\cdot{}x}-1+C[/mm]
> für [mm]|\bruch{3}{2}\cdot{}x|<1[/mm]
>
> Dann die [mm]\integral_{}^{}{g(x) dx}[/mm] wieder ableiten:
>
> [mm]g(x)=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1-\bruch{3}{2}*x)^2}[/mm]
>
> und in
>
> [mm]\bruch{1}{4}\cdot{}x^2*\summe_{k=1}^{\infty}{ k\cdot{}\left(\bruch{3}{2}\cdot{}x\right)^{k-1}}[/mm]
>
> einsetzen:
>
> [mm]\bruch{1}{4}\cdot{}x^2*\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1-\bruch{3}{2}*x)^2}=\bruch{3}{8}*x^2*\bruch{1}{(1-\bruch{3}{2}*x)^2}[/mm]
> für $ [mm]|\bruch{3}{2}\cdot{}x|<1[/mm] also
> [mm]-\bruch{2}{3}
>
> Danke und Gruß,
> tedd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
Ach sch.... ich darf nur das ... ah
Okay Danke!
Kommt bestimmt eh nicht in der Klausur morgen sowas
Danke und Gruß,
tedd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 05.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
Warum stellst Du hier dieselbe Frage doppelt ein. Du hast diese Frage bereits hier gestellt.
In Zukunft bitte beim alten Thread weiterfragen.
Gruß
Loddar
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