Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mi 19.08.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | bestimme das Konvergenzintervvall der gg. Reihe. Untersuche auch auf Konvergenz für |x|=r
1+ [mm] \bruch{2x}{3^2\wurzel{3}}+\bruch{4x^2}{5^2\wurzel{3^2}}+\bruch{8x^3}{7^2 \wurzel{3^3}} [/mm] |
habe versucht es als Potenzreihe umzuschreiben:
[mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^n*x^n}{(2n+1)^{2}\cdot{}\wurzel{3^n}} [/mm] (bin stolz auf mein Summenzeichen :) )
stimmt das soweit?
nun möchte ich den konvergenz radius mit dem quotientenkriterium berechnen
dabei ist mein an aber falls es stimmt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(2n+3)^{n+2}* \wurzel{3}}{(2n+1)^{n+1}}
[/mm]
was ich umgeformt habe auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{(2n+3)}{(2n+1)})^n [/mm] * [mm] \bruch{(2n+3)^{2}* \wurzel{3}}{(2n+1)}
[/mm]
wie mache ich denn hier weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 19.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> bestimme das Konvergenzintervvall der gg. Reihe. Untersuche
> auch auf Konvergenz für |x|=r
>
> 1+
> [mm]\bruch{2x}{3^2\wurzel{3}}+\bruch{4x^2}{5^2\wurzel{3^2}}+\bruch{8x^3}{7^2\wurzel{3^3}}[/mm]
> habe versucht es als Potenzreihe umzuschreiben:
>
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^n*x^n}{(2n+1)^{n+1}\cdot{}\Wurzel{3^n}}[/mm]
>
Das stimmt nicht. Besser:
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^n*x^n}{(2n+1)^{2}\cdot{}\wurzel{3^n}}[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mi 19.08.2009 | | Autor: | domerich |
dumme fehler da ^^
also ich bin ein stück weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(2n+3)}{(2n+1)})^{2}\cdot{} \wurzel{3}
[/mm]
wenn ich das quadrat ausrechne und den limes mache komme ich aber auf [mm] \wurzel{3} \bruch{4}{4}
[/mm]
leider ist das nicht der richtige konvergenz radius :(
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(2n+3)}{(2n+1)})^{2}\cdot{} \wurzel{3}[/mm]
>
> wenn ich das quadrat ausrechne und den limes mache komme
> ich aber auf [mm]\wurzel{3} \bruch{4}{4}[/mm]
> leider ist das nicht
> der richtige konvergenz radius :(
Hallo,
da hast Du wohl die [mm] 2^n [/mm] völlig ignoriert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 19.08.2009 | | Autor: | domerich |
ne net die [mm] 2^n [/mm] sondern die 2 :) jetzt stimmts.
aber mir ist mein vorgehen ungeheuer... die [mm] \wurzel{3} [/mm] darf ich einfach vor den limes ziehen und das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auch weil da nix mit n ist.
aber in dem quadratischen term sind ja auch teile oder n drin, wieso darf ich die schamlos eliminieren in dem ich z.b. sage [mm] 4n^2(4-6/n+9/n^{2}) [/mm] ?
und somit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 4 wenn im nenner steht [mm] 4n^2(4-4/n+1/n^{2})[/mm]
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Hallo domerich,
> ne net die [mm]2^n[/mm] sondern die 2 :) jetzt stimmts.
>
> aber mir ist mein vorgehen ungeheuer... die [mm]\wurzel{3}[/mm] darf
> ich einfach vor den limes ziehen und das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] auch
> weil da nix mit n ist.
>
> aber in dem quadratischen term sind ja auch teile oder n
> drin, wieso darf ich die schamlos eliminieren in dem ich
> z.b. sage [mm]4n^2(4-6/n+9/n^{2})[/mm] ?
> und somit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = 4 wenn im nenner
> steht [mm]4n^2(4-4/n+1/n^{2})[/mm]
Das ist die übliche Vorgehensweise, um den Grenzwert von
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{2n+3}{2n+1}\right)^{2}[/mm]
zu ermitteln.
Zunächst klammert man aus Zähler und Nenner
die höchste Potenz von n aus und kürzt gegebenfalls.
Dann läß man [mm]n \to \infty[/mm] laufen.
Gruss
MathePower
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