Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mi 19.08.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | bestimme das Konvergenzintervvall der gg. Reihe. Untersuche auch auf Konvergenz für |x|=r
1- [mm] \bruch{x^2}{3*2*\wurzel{2}}+\bruch{x^4}{3^2*3*\wurzel{3}}... [/mm] |
wollte ich in eine PR entwickeln mit dem Ergebnis:
[mm] \sum \bruch{(-1)^n*x^{2n}}{3^n*(n+1)^{3/2}}
[/mm]
stimmt das soweit?
mit dem Quotientenkriterium kam ich dann auf
[mm] -3*(\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+2}{n+1})^{3/2}
[/mm]
was aber bedeuten würde r=3 was glaub ich falsch ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mi 19.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo domerich!
Warum soll dieses Ergebnis falsch sein. Meiner Rechnung nach ist das korrekt.
Lediglich das Minuszeichen bei Deinem umgeformten Quotientenausdruck ist falsch, da bei dieser Formel für den Konvergenzradius Betragsstriche vorhanden sind.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 19.08.2009 | | Autor: | domerich |
in der lösung steht dass konvergenz vorherrscht [mm] [-\wurzel{3}, \wurzel{3}], [/mm] also muss es wohl falsch sein was ich gerechnet hab
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Hallo domerich,
> in der lösung steht dass konvergenz vorherrscht
> [mm][-\wurzel{3}, \wurzel{3}],[/mm] also muss es wohl falsch sein
> was ich gerechnet hab
Siehe dazu diesen Artikel.
Gruss
MathePower
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Hallo domerich,
> bestimme das Konvergenzintervvall der gg. Reihe. Untersuche
> auch auf Konvergenz für |x|=r
>
> 1-
> [mm]\bruch{x^2}{3*2*\wurzel{2}}+\bruch{x^4}{3^2*3*\wurzel{3}}...[/mm]
> wollte ich in eine PR entwickeln mit dem Ergebnis:
>
> [mm]\sum \bruch{(-1)^n*x^{2n}}{3^n*(n+1)^{3/2}}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> mit dem Quotientenkriterium kam ich dann auf
>
> [mm]-3*(\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+2}{n+1})^{3/2}[/mm]
>
> was aber bedeuten würde r=3 was glaub ich falsch ist?
Nun, die Reihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\left(-1\right)^{n}*\left(\ x^{2} \right)^{n}}{3^{n}*\left(n+1\right)^{3/2}}[/mm]
konvergiert sicher für [mm]x^{2}<3[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 19.08.2009 | | Autor: | domerich |
Herr Mathepower, wie kommen sie denn darauf? [mm] |x|^2<3 [/mm] oder wie... ok weil man ja immer oben einsetzt. das hab ich net weil ja net [mm] (x-2)^2 [/mm] oder sowas stand... aber leuchtet ein. das hoch n lässt man weg aber wenn hoch 2n ist dann berücksichtigt man das 2?
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Hallo domerich,
> Herr Mathepower, wie kommen sie denn darauf? [mm]|x|^2<3[/mm] oder
Lass das "Herr" weg, und wir alle sind hier per "Du".
> wie... ok weil man ja immer oben einsetzt. das hab ich net
> weil ja net [mm](x-2)^2[/mm] oder sowas stand... aber leuchtet ein.
> das hoch n lässt man weg aber wenn hoch 2n ist dann
> berücksichtigt man das 2?
Nun ich habe das zurückgeführt auf die "normale" Potenzreihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}{a_{n}*z^{n}}[/mm]
Diese konvergiert für [mm]\vmat{z} < r[/mm].
Wobei r hier der Konvergenzradius ist.
Hat die Potenzreihe nur Glieder mit geraden Exponenten,
so kann man diese auf die "normale" Potenzreihe zurückführen:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}{a_{n}*x^{2n}}=\summe_{n=0}^{\infty}{a_{n}*\left( \ x^{2} \ \right)^{n}}[/mm]
Setzt man jetzt [mm]z=x^{2}[/mm], so ist diese Potenzreihe
auf die "normale" Potenzreihe zurückgeführt.
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}{a_{n}*x^{2n}}=\summe_{n=0}^{\infty}{a_{n}*\left( \ x^{2} \ \right)^{n}}=\summe_{n=0}^{\infty}{a_{n}*z^{n}}[/mm]
Dies konvergiert, wie schon erwähnt für [mm]\vmat{z} < r[/mm],
das heißt für die originale Potenzreihe: [mm]\vmat{x^{2}} < r[/mm],
woraus sich [mm]\vmat{x} < \wurzel{r}[/mm] ergibt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Do 20.08.2009 | | Autor: | domerich |
ok danke
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