Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mo 23.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu Potenzreihen.
Und zwar würde ich gerne wissen, welche Bedeutung der Entwicklungspunkt hat.
Man hat ja in den Aufgaben immer, dass man eine Funktion um den Entwicklungspunkt in eine Potenzreihe entwickeln soll.
Und Potenzreihen sind doch im Konvergenzbereich immer gleich dieser Funktion, oder?
Wenn ich nun eine Funktion um verschiedene Entwicklungspunkte in eine Potenzreihe entwickle, dann bekomme ich ja verschiedene Potenzreihen, sind die dann trotzdem alle in ihrem Konvergenzbereich gleich dieser einen Funktion?
Kann man eigentlich jede Funktion in eine Potenzreihe entwicklen?
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mo 23.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zur ersten Frage: Ja, wenn die Konvergenzbereiche übereinstimmen. Mach dir das an nem Polynom klar:
beispiel [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] y=(x-x_0)^2+2x_0*(x-x_0)+x_0^2 [/mm] sind dieselbe Funktion, dabei kannst du [mm] y=x^2 [/mm] als um 0 entwickelt, die andere um [mm] x_0 [/mm] entwickelt auffassen.
Der Sinn, um verschiedene Punkte zu entwickeln liegt nicht in der unendlichen Reihe, sondern an den Näherungen , wenn man eine fkt wie z. bsp sin(x) und cos(x) an einer Stelle exakt kennt, etwa bei [mm] \pi/3 [/mm] oder ˜pi/2 kann man mit einer näherung 2ten oder 3ten grades werte in der Nähe, also im Beispiel für ie Werte dazwischen schon ausrechnen, während man bei ner Entwicklung um 0 viel höhere Taylorpolynome für dieselbe Genauigkeit brauchte.
2. Frage Nein Z. Bsp ergibt die Taylorreihe um 0 für [mm] f(x)=e^{-1/x^2} [/mm] T=0 ebenso die für alle mit der fkt mltiplizierten fkt. also z.bsp [mm] x^2*f(x), [/mm] sin(x)*f(x) usw.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart!
Also hat der Entwicklungspunkt einer Potenzreihe was mit der Genauigkeit der Annäherungen zu tun?
Aber innerhalb des Konvergenzradiuses ist die Annäherung doch exakt, oder, weil da konvegiert doch die Potenzreihe gegen die von ihr dargestelle Funktion?
LG Nadine
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> Hallo leduart!
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> Also hat der Entwicklungspunkt einer Potenzreihe was mit
> der Genauigkeit der Annäherungen zu tun?
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> Aber innerhalb des Konvergenzradiuses ist die Annäherung
> doch exakt, oder, weil da konvegiert doch die Potenzreihe
> gegen die von ihr dargestelle Funktion?
ja, aber nur wenn man die "komplette" taylorreihe betrachtet (bsp: [mm] \sin(x) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ alle}\ [/mm] x )
hier noch ein schönes bild zum sinus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hier ist der entwicklungspunkt 0. man sieht, dass in der näheren umgebung von x=0 der sinus durch eine gerade beschrieben werden kann.. je weiter man von ihr abweicht, desto mehr polynome müssen dann berechnet werden, um die gewünschte genauigkeit zu erreichen.
ist der entwicklungspunkt nun [mm] \pi, [/mm] dann ist der sinus dort wieder in der umgebung durch eine grade beschreibbar. usw.
hoffe das leuchtet so ein bisschen ein
>
> LG Nadine
gruß tee
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Tee!
Danke für deine Antwort und für das Bild.
Also heißt das, in der Nähe des Entwicklungspunktes kann man die Potenzreihe schon nach wenigen Summanden abbrechen (hat also Polynome kleinen Grades) und hat dennoch eine gute Annäherung an die Funktion, die der Potenzreihe zu Grunde liegt?
Und je weiter weg man vom Entwicklungspunkt geht, desto mehr Summanden (also Polynome höheren Grades) braucht man?
Und die exakten Werte der Funktion bekomme ich innerhalb des Konvergenzradiuses der Potenzreihe nur, wenn ich wirklich alle (d.h. unendlich viele) Summanden der Potenzreihe aufsummieren würde, also den Grenzwert bilde, und alles andere ist nur Ännäherung?
Aber was genau bringt mir das?
Wenn ich eine Funktion in eine Potenzreihe entwickle, dann würde ich doch viel einfacher und vorallem die ganz exakten Funktionswerte erhalten, wenn ich sie direkt über die Funktion bestimme, oder nicht?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mi 25.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher denkst du weiss dein TR oder computer den wert von [mm] e^1 [/mm] oder von [mm] e^{7.2}? [/mm] wie kennt man sin(1)?
ausser Polynomen kann man keine fkt wirklich ausrechnen.
Wenn man aber etwa die fkt für die gilt y'=y ,y(0)=1 als exp(x) bezeichnet kann man mit Hilfe des Taylorpolynoms n ter Ordnung die Werte auf eine bestimmte anzahl von Stellen ausrechnen, niemals genau
dasselbe gilt für die fkt mit y''=-y y(0)=0, y'(0)=1 die heisst üblicherweise sin(x) und über ihre Potenzreihe kannst du dann etwa sin(1) auf 10 Stellen genau bestimmen.
(es gibt noch ein paar andere Tricks, die etwa auf den Additionstheoremen beruhen, also man kennt [mm] e^{a+b} [/mm] wenn man eâ und [mm] e^b [/mm] kennt. Aber für einige Werte ist man immer auf die Taylorpolynome angewiesen.)
Nochmal "exakte" Funktionswerte gibts nur für Polynome an rationalen Stellen. Alle anderen Funktionswerte kann man nur jeweil auf ne endliche Stellenzahl berechnen!
Du bist deinen TR so sehr gewohnt, wüsstest aber nicht, wie man die [mm] \wurzel[4]{3} [/mm] auch nur auf 5 Stellen hinter dem Komma ausrechnet!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo.
> ausser Polynomen kann man keine fkt wirklich ausrechnen.
> Nochmal "exakte" Funktionswerte gibts nur für Polynome an
> rationalen Stellen. Alle anderen Funktionswerte kann man
> nur jeweil auf ne endliche Stellenzahl berechnen!
Also heißt dass, das ich auch innerhalb des Konvergenzradiuses, wenn ich alle Summanden (unendlich viele) aufaddiere, also den Grenzwert bilde, auch der Grenzwert nur eine Näherung an den wirklichen Funktionswert ist und nicht der exakte Wert?
Ich dachte, innerhalb des Konvergenzradiuses stimmen die Potenzreihe und die ihr zu Grunde liegende Funktion überein, dann verstehe ich nicht, warum ich auch da die Funktionswerte mit der Potenzreihe nur annähere ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Z.B. beim Sinus, wenn ich die Reihe [mm] sin(x)=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] habe, und ich weiß, dass [mm] sin(\pi/2)=1, [/mm] ist die 1, die ich über die Reihe als Grenzwert erhalte dann auch nur eine Annäherung? Weil ich würde 1 schon als einen exakten Wert bezeichnen...
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo.
>
> > ausser Polynomen kann man keine fkt wirklich ausrechnen.
>
> > Nochmal "exakte" Funktionswerte gibts nur für Polynome an
> > rationalen Stellen. Alle anderen Funktionswerte kann man
> > nur jeweil auf ne endliche Stellenzahl berechnen!
>
> Also heißt dass, das ich auch innerhalb des
> Konvergenzradiuses, wenn ich alle Summanden (unendlich
> viele) aufaddiere, also den Grenzwert bilde, auch der
> Grenzwert nur eine Näherung an den wirklichen
> Funktionswert ist und nicht der exakte Wert?
nein. Der Wert der Taylorreihe an einer Stelle ist im Falle der Konvergenz der exakte Wert, jedenfalls bezogen auf die Potenzreihe bzw. Taylorreihe (der aber i.a. nicht unbedingt mit dem Funktionswert der Ausgangsfunktion übereinstimmen muss) - und dieser Wert stimmt auch mit dem Funktionswert überein, sofern wir Stellen des Konvergenzbereiches der Taylorreihe, die bzgl. einer unendlich oft differenzierbaren Funktion [mm] $f\,$ [/mm] gebildet wurde, betrachten (vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Taylorreihe, Eigenschaften (Wiki)).
Für eine Potenzreihe [mm] $p=\sum_{k=0}^\infty a_k(\cdot-x_0)^k\,$ [/mm] ist der Funktionswert der Potenzreihe an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] ja
[mm] $$p(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0^k)=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k (x-x_0)^k\equiv:\lim_{n \to \infty}s_n(x)\,,$$
[/mm]
also per Definitionem gerade der Grenzwert der Teilsummenfolge [mm] $\left(\sum_{k=0}^n a_k (x-x_0)^k\right)_{n \in \IN_0}\equiv:(s_n(x))_{n \in \IN_0}\,,$ [/mm] wenn man hier [mm] $x\,$ [/mm] so hat, dass [mm] $(s_n(x))_{n \in \IN_0}$ [/mm] konvergiert (das ist z.B. für alle [mm] $x\,$ [/mm] innerhalb des Konvergenzkreises der Fall - und evtl. auch für manche auf dem Rand dieses Kreises).
Bei Dir ist nun für eine vorgegebene Funktion [mm] $f\,$ [/mm] die Taylorreihe von [mm] $f\,,$ [/mm] um den Entwicklungspunkt [mm] $x_0\,,$ [/mm] nennen wir sie mal [mm] $t_{f,x_0}\;\;\big(=p\big)\,,$ [/mm] gegeben oder entwickelt worden. Ich schreibe [mm] $t_{f,x_0}=p\;\,\big(=p_{x_0}\big)\,,$ [/mm] um anzudeuten, dass diese Taylorreihe auch nur eine Potenzreihe (um [mm] $x_0$) [/mm] ist.
Nun gibt es Stellen [mm] $a\,$, [/mm] wo [mm] $p(a)=t_{f,x_0}(a)=f(a)$ [/mm] gilt, d.h., der Wert der Potenzreihe (hier Taylorreihe) ist gleich dem Funktionswert der ursprünglich gegebenen Funktion (z.B. gilt das für alle Stellen [mm] $a\,$ [/mm] des Konvergenzbereichs der Taylorreihe). Das heißt dann nichts anderes, wie, dass die Auswertung der Folge der Teilsummen der Potenz- bzw. Taylorreihe an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] (oben wäre das die Folge [mm] $(s_n(a))_{n \in \IN_0}$) [/mm] gegen "den richtigen Funktionswert [mm] $f(a)\,$ [/mm] konvergiert, also [mm] $s_n(a) \to f(a)\;\;(n \to \infty)\,.$"
[/mm]
Zu gegebenen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ findest Du also ein natürliches [mm] $N_a\,,$ [/mm] so dass [mm] $|s_n(a)-f(a)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_a\,.$ [/mm] Grob gesagt heißt dass, dass man [mm] "$f(a)\,$ [/mm] durch (hier: ein Taylorpolynom) [mm] $s_n(a)$ [/mm] schon [mm] $\epsilon$-gut [/mm] approximieren kann, wenn nur $n [mm] \ge N_a$ [/mm] ist".
Nun kann es aber sein, dass man für eine Stelle $b [mm] \not=a$ [/mm] auch [mm] $s_n(b) \to [/mm] f(b)$ erhält, wir dann aber die (blei gleichem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ wie eben) [mm] "$\epsilon$-gute [/mm] Approximation erst ab einem [mm] $N_b [/mm] > [mm] N_a$ [/mm] erhalten".
Sofern man die Approximation nur an endlich vielen Stellen betrachtet, kann man sich da gut aus der Affäre ziehen (man würde einfach "das größte [mm] $N\,$ [/mm] der betrachtetetn Stellen ermitteln"). Aber sobald man "unendlich viele solcher [mm] $N\,$'s [/mm] hat, wird's (ein wenig) komplizierter".
Das ganze wäre dann zu unterscheiden in "Approximation" und "gleichmäßiger Approximation"; analog zu Begriffen wie Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit. In dem Sinne wäre hier eigentlich die interessante Frage, dass, wenn man "auf einer Teilmenge schon eine Approximation der Ausgangsfunktion durch die Taylorreihe an jeder Stelle erhält", ob diese auch gleichmäßig ist.
Generell ist das auch vergleichbar mit Funktionenfolgen, die gegen eine Funktion konvergieren (denn ursprünglich sind das ja alles "Erweiterungen bzw. Ausdehnung solcher Dinge"). Eine Funktionenfolge kann (gegen eine Funktion) konvergieren, oder sie kann sogar in einem gewissen Sinn (gegen eine Funktion) "besser konvergieren" - im Sinne der gleichmäßigen Konvergenz. Denn gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass man, egal, welchen Wert des Definitionsbereiches man betrachtet, zu gegebenen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] findet, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ dann [mm] $f_n(x)$ [/mm] den Wert $f(x)$ [mm] "$\epsilon$-gut [/mm] approximiert" - also das [mm] $N\,$ [/mm] dann nicht von der betrachteten Stelle [mm] $x\,$ [/mm] abhängt.
Zur Erinnerung bzw. Wiederholung:
Skript Analysis, Kapitel 15.
P.S.:
1.) Du solltest Dir auch unbedingt mal die Punkte 3.3, 3.4 von hier anschauen.
2.) Bitte achte auch darauf, dass oben öfters von Konvergenzbereich und nicht vom Konvergenzkreis gesprochen wurde!
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die unendliche Reihe etwa für sinx nimmst, bestimmt ihr GW für x=1 und n gegen unendlich den Funktionswert sin(1) exakt. Nur, du wirst diesen GW nicht "exakt" bestimmen können sondern nur auf die Stellenzahl, die z.Bsp dein Komputer noch ausrechnen kann. Wenn sin(x)=1 ist, kann man den GW auch exakt ausrechnen. also bei [mm] x=\pi/2, [/mm] an einigen anderen Stellen [mm] x=\pi/6 [/mm] sin(x)=0.5 auch aber bei x=1 eben nicht. aber sin(1) ist immer ne reelle Zahl, der kannst du nen Namen geben, eben sin(1) ausrechnen kannst du diese zahl, egal mit welcher Methode nur auf eine beschrnkte Stellenzahl. Aber der Funktionswert ist ja ausser durch den Namen sin(1) auch auf keine andere Weise "genau" als Zahl bekannt.
In dem sinn ist der funktionswert und der Wert der Reihe im konvergenzbereich gleich.
Gruss leduart
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