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| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion f = f(z) mit
f(z) = [mm] \bruch{1}{1 - z - z^{2}}
[/mm]
an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = 0 in eine Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n} [/mm] .
Zeigen Sie die rekursive Bildungsvorschrift [mm] a_{0} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] = 1, [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
(Fibonacci-Zahlen) und geben Sie die Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] explizit an. Welchen Konvergenzradius
hat die Potenzreihe?
Hinweise: Bestimmen Sie die Nullstellen [mm] z_{1} [/mm] , [mm] z_{2} [/mm] des Nenners von f, schreiben Sie f in der
Form f(z) = [mm] \bruch{a}{z - z_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{b}{z - z_{2}} [/mm] mit geeigneten Zahlen a; b und benutzen Sie die Summenformel für die geometrische Reihe! |
Hallo =)
also ich weiß ich muss jetzt bei dem term [mm] \bruch{1}{1 - z - z^{2}} [/mm] die Nullstelle erraten, um den nenner in linearfaktoren zu zerlegen. ich weiß nur nicht so recht, wie ich es hier machen soll. Also ich komm damit nur halt bei diesem beispiel nicht zu recht. danach weiß ich, muss ich den term erweitern, um einen gemeinsammen nenner zu erhalten. aber wie geht es dann weiter?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar :)
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Hallo spoechelist123,
> Entwickeln Sie die Funktion f = f(z) mit
> f(z) = [mm]\bruch{1}{1 - z - z^{2}}[/mm]
> an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] = 0 in
> eine Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}[/mm] .
> Zeigen Sie die rekursive Bildungsvorschrift [mm]a_{0}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] =
> 1, [mm]a_{n}[/mm] = [mm]a_{n-1}[/mm] + [mm]a_{n-2}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2
> (Fibonacci-Zahlen) und geben Sie die Koeffizienten [mm]a_{n}[/mm]
> explizit an. Welchen Konvergenzradius
> hat die Potenzreihe?
> Hinweise: Bestimmen Sie die Nullstellen [mm]z_{1}[/mm] , [mm]z_{2}[/mm] des
> Nenners von f, schreiben Sie f in der
> Form f(z) = [mm]\bruch{a}{z - z_{1}}[/mm] + [mm]\bruch{b}{z - z_{2}}[/mm]
> mit geeigneten Zahlen a; b und benutzen Sie die
> Summenformel für die geometrische Reihe!
> Hallo =)
> also ich weiß ich muss jetzt bei dem term [mm]\bruch{1}{1 - z - z^{2}}[/mm]
> die Nullstelle erraten, um den nenner in linearfaktoren zu
> zerlegen. ich weiß nur nicht so recht, wie ich es hier
> machen soll. Also ich komm damit nur halt bei diesem
> beispiel nicht zu recht. danach weiß ich, muss ich den
> term erweitern, um einen gemeinsammen nenner zu erhalten.
> aber wie geht es dann weiter?
Dann muss Du die Koeffizienten auf der linken und rechten Seite
der Gleichung vergleichen:
[mm]\bruch{1}{1-z-z^{2}} = \bruch{a}{z - z_{1}} + \bruch{b}{z - z_{2}}[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{1}{1-z-z^{2}} = \bruch{-1}{z^{2}+z-1}= \bruch{a*\left(z-z_{2}\right)+b*\left(z-z_{1}\right)}{\left(z - z_{1}\right)*\left(t-z_{2}\right)}[/mm]
> Für Hilfe wäre ich sehr dankbar :)
>
Gruss
MathePower
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