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| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion: f:(-1,1) => [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] arctan(\wurzel{\bruch{1-x}{1+x}}) [/mm] in eine Potenzreihe um x0=0. |
Hallo,
ich habe diese Frage nur hier gestellt.
ich kenne die Potenzreihe zu [mm] arctan(x)=\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{i}}{2i+1} [/mm] * [mm] x^{2i+1}
[/mm]
kann ich in diese Reihe einfach für x = [mm] \wurzel{\bruch{1-x}{1+x}} [/mm] einsetzen ?
und dann von der entstandenen Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{i}}{2i+1} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{1-x}{1+x}}^{2i+1}
[/mm]
die absolute Konvergenz zeigen ?
oder ist dies nicht so möglich ?
Gruß
Albert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Fr 29.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, eine Potenzreihe hat IMMER die Form [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n(x^b)^i[/mm]
und das hat deine nicht.
du musst also schon selber ableitungen berechnen.
Gruss leduart
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Tut mir leid, aber wir haben das Thema neu und ich habe keine Ahnung wie ich vorgehen muss.
Mir ist zwar die Taylorreihe bekannt, aber wie muss ich bei so einer aufgabe vorgehen ?
DANKE
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Hallo AlbertKeinstein,
> Tut mir leid, aber wir haben das Thema neu und ich habe
> keine Ahnung wie ich vorgehen muss.
> Mir ist zwar die Taylorreihe bekannt, aber wie muss ich
> bei so einer aufgabe vorgehen ?
Na, du musst gem. Formel [mm]T(x,0)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}x^k[/mm] eine allg. Formel für die [mm]k[/mm]-te Ableitung von [mm]f(x)=\arctan(...)[/mm] - an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] ausgewertet - finden.
Rechne mal die ersten 3-4 Ableitungen aus, werte sie an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] aus und schaue, ob du ein Schema entdeckst.
Selbiges gilt es dann per Vollst. Induktion zu beweisen ...
Wenn das steht, hast du auch die Taylorreihe bzw. Potenzreihe um [mm]x_0=0[/mm]
>
> DANKE
Gruß
schachuzipus
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Ich habe die ersten 4 Ableitungen ausgrechnet.
jeweils an der stelle x0=0 ergibt sich dann
f'(0) = -1/2
f''(0) = 0
f'''(0) = -1/2
f''''(0) = 0
was müsste ich denn jetzt per Induktion zeigen ?
das wenn der Grad der Ableitung gerade ist, das dann an der stelle x0=0 auch für [mm] f^n [/mm] (0) = 0 ?
bzw. das wenn der Grad ungerade ist dann -1/2 rauskommt ?
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Hallo AlbertKeinstein,
> Ich habe die ersten 4 Ableitungen ausgrechnet.
> jeweils an der stelle x0=0 ergibt sich dann
>
> f'(0) = -1/2
> f''(0) = 0
> f'''(0) = -1/2
> f''''(0) = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> was müsste ich denn jetzt per Induktion zeigen ?
> das wenn der Grad der Ableitung gerade ist, das dann an
> der stelle x0=0 auch für [mm]f^n[/mm] (0) = 0 ?
> bzw. das wenn der Grad ungerade ist dann -1/2 rauskommt ?
Genau das müsstest Du jetzt per Induktion zeigen.
Gruss
MathePower
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danke,
nur wie macht man so etwas ?
muss ich dann 2 fälle unterscheiden ?
also 1. Fall die 2n+1 ableitung (ungerade)
und 2. Fall die 2n ableitung (gerade) ?
nur wie soll man so etwas allgemein ableiten ?
dann wäre der Induktionsanfang ja:
f(x) = [mm] arctan(\wurzel{\bruch{1-x}{1+x}}) [/mm]
ableiten f'(x) = [mm] \bruch{1}{2(1-x^{2})}
[/mm]
an der stelle x0=0 => -1/2
wäre das der induktionsanfang?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke,
> nur wie macht man so etwas ?
> muss ich dann 2 fälle unterscheiden ?
kann man. Z.B. macht man dann quasi 2 Induktionen durchführen:
1. Fall:
[mm] $n=2k\,$ [/mm] gerade mit [mm] $n=k=0\,$ [/mm] beginnen und dann Induktionsschritt $n [mm] \mapsto [/mm] n+2$ (oder $k [mm] \mapsto [/mm] k+1$).
2. Fall:
[mm] $n=2k+1\,$ [/mm] ungerade mit [mm] $n=1\,$ [/mm] bzw. [mm] $\,k=0\,$ [/mm] beginnen und dann Induktionsschritt $n [mm] \mapsto [/mm] n+2$ (oder $k [mm] \mapsto [/mm] k+1$).
Alternativ sieht die Sache aber hier auch so aus, dass man einfach die Behauptung geschickt formuliert. Hier kann man die Behauptung einfach durch
[mm] $$f^{(n)}(0)=-\frac{1-(-1)^{n}}{4}$$
[/mm]
formulieren, und da kann man die übliche Induktion über $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] machen.
(Klar ist dann [mm] $f^{(n)}(0)=0$ [/mm] für gerade [mm] $n\,,$ [/mm] weil [mm] $-(1-(-1)^{n})=0$ [/mm] für gerade [mm] $n\,$ [/mm] ist, und [mm] $f^{(n)}(0)=-1/2$ [/mm] für ungerade [mm] $n\,,$weil [/mm] dann [mm] $-(1-(-1)^{n})/4=-2/4=-1/2\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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vielen dank !
und wenn ich das dann gemacht habe,
was muss ich dann noch zeigen ?
diese [mm] f^{n} [/mm] in die Taylorformel [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}x^k [/mm] einsetzen ?
oder wie ?
bzw. muss ich nicht noch irgendwas mit normaler konvergenz zeigen?
/edit was will ich bei der Induktion eig. zeigen ?
[mm] f^{n} [/mm] = -1/2 ? oder [mm] f^{n} [/mm] = 0 ?
weil 2 aufeinanderfolgende zahlen, also n -> n+1 kommt einmal 0 und einmal -1/2 raus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mir ist's zu spät, deshalb beantworte ich nur einen Teil Deiner Frage:
> /edit was will ich bei der Induktion eig. zeigen ?
> [mm]f^{n}[/mm] = -1/2 ? oder [mm]f^{n}[/mm] = 0 ?
> weil 2 aufeinanderfolgende zahlen, also n -> n+1 kommt
> einmal 0 und einmal -1/2 raus
Das ist doch genau das, was in meiner obigen Antwort steht.
Du kannst nun den Induktionsbeweis auf 2 Wegen führen:
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1. möglicher Weg: Fallunterscheidung (2 Fälle!!):
Mit
[mm] $$\IN_g:=\{\text{gerade natuerliche Zahlen inklusive 0}\}=\{n=2k: k \in \IN_0\}$$
[/mm]
und
[mm] $$\IN_u:=\{\text{ungerade natuerliche Zahlen}\}:=\{n=2k+1: k \in \IN_0\}$$
[/mm]
ist zu zeigen:
1. Fall:
Wir zeigen
[mm] $$f^{(n)}(0)=0$$
[/mm]
für $n [mm] \in \IN_g$:
[/mm]
Für [mm] $k=0\,$ [/mm] ist [mm] $n=0\,$ [/mm] und dann... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Induktionsstart gelungen.
$$k [mm] \mapsto [/mm] k+1 [mm] \;\;(\text{was zu }n \mapsto [/mm] n+2 [mm] \text{ aequivalent ist; beachte: der Nachfolger von }n \in \IN_g\text{ ist }n'=n+2):$$
[/mm]
Sei [mm] $k\in \IN_0$ [/mm] bzw. $n=2k [mm] \in \IN_g$ [/mm] so, dass [mm] $f^{(n)}(0)=f^{(2k)}(0)=0$ [/mm] gilt. Zu zeigen ist nun (im Induktionsschritt), dass dann auch [mm] $f^{(n+2)}(0)=f^{(2k+2)}(0)\;\;(=f^{(2(k+1))})(0))\;\;=0$ [/mm] gilt...
2. Fall:
Wir zeigen
[mm] $$f^{(n)}(0)=-1/2$$
[/mm]
für $n [mm] \in \IN_u$:
[/mm]
Für [mm] $k=0\,$ [/mm] ist [mm] $n=2*0+1=1\,$ [/mm] und dann... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Induktionsstart gelungen.
$$k [mm] \mapsto [/mm] k+1 [mm] \;\;(\text{was zu }n \mapsto [/mm] n+2 [mm] \text{ aequivalent ist; beachte: der Nachfolger von }n \in \IN_u\text{ ist }n'=n+2):$$
[/mm]
Sei [mm] $k\in \IN_0$ [/mm] bzw. $n=2k+1 [mm] \in \IN_u$ [/mm] so, dass [mm] $f^{(n)}(0)=f^{(2k+1)}(0)=-1/2$ [/mm] gilt. Zu zeigen ist nun (im Induktionsschritt), dass dann auch [mm] $f^{(n+2)}(0)=f^{(2k+3)}(0)\;\;(=f^{(2(k+1)+1)})(0))\;\;=-1/2$ [/mm] gilt...
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2. möglicher Weg:
Wir formulieren die Behauptung wie folgt:
Wir behaupten, es gilt
[mm] $$f^{(n)}(0)=-(1-(-1)^n)/4$$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
Hier führst Du eine "stinknormale" Induktion über $n [mm] \in \IN_0\,,$ [/mm] also Induktionsstart mit [mm] $n=0\,$ [/mm] und Induktionsschritt $n [mm] \mapsto n+1\,.$
[/mm]
---------------------------------------------------------------------------
Auf beiden Wegen beweist man das gleiche Ergebnis, denn was man haben will ist ja gerade der Beweis, dass
[mm] $$f^{(n)}(0)=0$$
[/mm]
für alle geraden natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] und
[mm] $$f^{(n)}(0)=-1/2$$
[/mm]
für alle ungeraden natürlichen [mm] $n\,.$
[/mm]
Beim ersten Weg beweist man mit zwei Induktionsbeweisen halt diese Behauptung,
beim zweiten Weg zeigt man auch diese Behauptung, wenn man halt beachtet, dass
[mm] $$-(1-(-1)^n)/4=(\star)$$
[/mm]
eben für alle geraden natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] den Wert [mm] $(\star)=0\,$ [/mm] hat, und für alle ungeraden natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] eben
[mm] $$(\star)=-(1-(-1))/4=-(1+1)/4=-2/4=-1/2$$
[/mm]
ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 01.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> Nein, eine Potenzreihe hat IMMER die Form
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n(x^b)^i[/mm]
> und das hat deine nicht.
> du musst also schon selber ableitungen berechnen.
der Laufindex sollte dann aber auch bei [mm] $\bf{i=0}$ [/mm] und nicht [mm] $\red{i=1}$ [/mm] starten.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Fr 29.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Danke an Marcel fürs aufpassen!
gruss leduart
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