Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 12.06.2011 | | Autor: | snikch |
| Aufgabe | Es ist f(x)= 1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n x^n [/mm] wobei die Potenzreihe einen positiven Konv.radius R besitzt und die Funktion f für |x|<R definiert ist.
Jetzt soll gezeigt werden, dass 1/f in einer Umgebung von x=0 die Potenzreihenentwicklung 1/f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_nx^n [/mm] besitzt.
Wobei [mm] b_0=1 [/mm] und [mm] b_n+\summe_{k=1}^{n}a_kb_n_-_k=0 [/mm] gelten soll. |
Hallo
die obige Aufgabe bereitet mir irgendwie Probleme. Besonders zu zeigen, dass eine solche Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_nx^n [/mm] existiert.
Überlegt hab ich mir deshalb bisher nur:
Wegen [mm] \bruch{1}{f(0)}=1 [/mm] ist insbesondere [mm] b_0=1
[/mm]
Weiterhin muss gelten f(x)*g(x)=1 mit [mm] g(x)=\summe_{n=0}^{\infty} b_nx^n
[/mm]
Unter Verwendung des CauchyProdukts folgt:
[mm] f(x)*g(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n x^n [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_nx^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\summe_{k=0}^{n} a_kb_n_-_k)x^n=1
[/mm]
Nur so komme ich nicht weiter.
Vielleicht kann mir jemand von euch einen Hinweis geben, wie man vorzugehen hat.
Danke!
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Hallo snikch,
> Es ist f(x)= 1 + [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n x^n[/mm] wobei die
> Potenzreihe einen positiven Konv.radius R besitzt und die
> Funktion f für |x|<R definiert ist.
> Jetzt soll gezeigt werden, dass 1/f in einer Umgebung von
> x=0 die Potenzreihenentwicklung 1/f(x) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_nx^n[/mm] besitzt.
> Wobei [mm]b_0=1[/mm] und [mm]b_n+\summe_{k=1}^{n}a_kb_n_-_k=0[/mm] gelten
> soll.
> Hallo
> die obige Aufgabe bereitet mir irgendwie Probleme.
> Besonders zu zeigen, dass eine solche Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_nx^n[/mm] existiert.
> Überlegt hab ich mir deshalb bisher nur:
>
> Wegen [mm]\bruch{1}{f(0)}=1[/mm] ist insbesondere [mm]b_0=1[/mm]
> Weiterhin muss gelten f(x)*g(x)=1 mit
> [mm]g(x)=\summe_{n=0}^{\infty} b_nx^n[/mm]
>
> Unter Verwendung des CauchyProdukts folgt:
> [mm]f(x)*g(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n x^n[/mm] *
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_nx^n[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\summe_{k=0}^{n} a_kb_n_-_k)x^n=1[/mm]
Betrachte jetzt die Koeffizienten vor [mm]x^{n}[/mm]
Leite daraus die in der Aufgabe gegebene Formel her.
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> Nur so komme ich nicht weiter.
> Vielleicht kann mir jemand von euch einen Hinweis geben,
> wie man vorzugehen hat.
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 12.06.2011 | | Autor: | snikch |
Ich habe jetzt:
[mm] c_n=\summe_{k=0}^{n} a_kb_n_-_k
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich folg:
[mm] c_0=1 [/mm] und damit [mm] b_0=1
[/mm]
[mm] c_1=0 [/mm] und damit [mm] b_1=-a_1
[/mm]
...
induktiv folgt [mm] b_n. [/mm] Wobei dann [mm] b_n+\summe_{k=1}^{\infty}a_kb_n_-_k=0 [/mm]
[mm] \forall n\ge [/mm] 1 gilt.
Nun ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n x^n [/mm] eine konvergente Potenzreihe mit positiven Konvergenzradius R. Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{|a_n|}<1. [/mm] Und somit ex. ein q [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] q^n >|a_n|.
[/mm]
Da die [mm] b_n [/mm] alle von [mm] a_n [/mm] abhängen ex. ein weiteres Element aus [mm] \IR, [/mm] welches [mm] b_n [/mm] beschränkt.
Somit handelt es sich bei [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n [/mm] um eine Potenzreihe mit positiven Konvergenzradius.
Geht das so in Ordnung?
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Hallo snikch,
> Ich habe jetzt:
> [mm]c_n=\summe_{k=0}^{n} a_kb_n_-_k[/mm]
>
> Durch Koeffizientenvergleich folg:
> [mm]c_0=1[/mm] und damit [mm]b_0=1[/mm]
> [mm]c_1=0[/mm] und damit [mm]b_1=-a_1[/mm]
> ...
> induktiv folgt [mm]b_n.[/mm] Wobei dann
> [mm]b_n+\summe_{k=1}^{\infty}a_kb_n_-_k=0[/mm]
> [mm]\forall n\ge[/mm] 1 gilt.
Den Summenbereich kannst Du noch genauer angeben.
>
> Nun ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n x^n[/mm] eine konvergente
> Potenzreihe mit positiven Konvergenzradius R. Also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{|a_n|}<1.[/mm] Und somit ex.
> ein q [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]q^n >|a_n|.[/mm]
> Da die [mm]b_n[/mm] alle von [mm]a_n[/mm]
> abhängen ex. ein weiteres Element aus [mm]\IR,[/mm] welches [mm]b_n[/mm]
> beschränkt.
> Somit handelt es sich bei [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n[/mm] um
> eine Potenzreihe mit positiven Konvergenzradius.
>
> Geht das so in Ordnung?
Ja.
Gruss
MathePower
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