Potenzreihe, Differential < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 24.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es ist leicht zu sehen, dass die Differentialgleichung
D f(z) = [mm] \frac{\alpha}{1+z} [/mm] f(z)
für formale Potenzreihen nur eine Lösung (abgesehen von konstanten Vielfachen) haben kann.
D ist der Differentiationsoperator. |
Hallo,
Ich sehe nicht wieso die Differentialgleichung nur eine Lösung haben kann. Leider steht im Skriptum keine weitere Erklärung. Würde mich über Hilfe freuen.
(Ich hatte noch nicht so wirklich Differentialgleichungen an der Uni)
Sei a(z) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] z + [mm] a_2 z^2 [/mm] .. eine formale Potenzreihe. Der differentiationsopeartor D ist durch
D a := [mm] a_1 [/mm] + 2 [mm] a_2 [/mm] z + 3 [mm] a_3 z^2 [/mm] +...
definiert.
Frohes Fest,
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Di 25.12.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
mit 1+z multiplizieren und die [mm] a_i [/mm] durch Koeffizientenvergleich bestimmen, dann siehst du es.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Di 25.12.2012 | | Autor: | sissile |
Ich hab das mal so versucht:
f(z)= [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] z + [mm] a_2 z^2+...
[/mm]
Im Konvergenzradius:
D f(z)= [mm] \frac{\alpha}{1+z} [/mm] f(z)
D f(z) + z D f(z)= [mm] \alpha [/mm] f(z)
[mm] a_1 [/mm] + 2 [mm] a_2 [/mm] z + 3 [mm] a_3 z^2 [/mm] +....+ z [mm] a_1 [/mm] + 2 [mm] a_2 z^2 [/mm] + 3 [mm] a_3z^3 [/mm] +...= [mm] \alpha a_0 [/mm] + [mm] \alpha a_1 [/mm] z + [mm] \alpha a_2 z^2 [/mm] +....
<=>
[mm] a_1 [/mm] + (2 [mm] a_2 +a_1) [/mm] z + (3 [mm] a_3 [/mm] + 2 [mm] a_2) z^2 [/mm] +....= [mm] \alpha a_0 [/mm] + [mm] \alpha a_1 [/mm] z + [mm] \alpha a_2 z^2 [/mm] +....
=> [mm] a_1= \alpha a_0
[/mm]
=>2 [mm] a_2 +a_1 =\alpha a_1
[/mm]
=> 3 [mm] a_3 [/mm] + 2 [mm] a_2 =\alpha a_2
[/mm]
...
Nun weiß ich nicht weiter... Da ich auch nicht weiß welche Koeffizienten 0 sind...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 25.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
allgemein kommt bei dem Koeffizientenvergleich heraus
[mm] \alpha*a_0=a_1 [/mm] und
[mm] \alpha*a_i=a_{i+1}*(i+1)+a_i*i [/mm] für [mm] i\ge [/mm] 1
Damit sind die Koeffizienten berechenbar in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] a_0.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Di 25.12.2012 | | Autor: | sissile |
ah okay, danke ;)
LG
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