Potenzreihe: Summe, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius und berechnen Sie die Summe der Reihe:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \alpha x^n \qquad (\alpha \in \IR)[/mm] |
Hallo zusammen,
ich weiß leider nicht so recht, wie ich hier vorgehen soll.
Den Konvergenzradius habe ich so ermittelt:
[mm]r = \limes_{n\rightarrow\infty} \left | \bruch{\alpha x^n}{\alpha x^{n+1}} \right | = = \limes_{n\rightarrow\infty} \left | \bruch{\alpha x^n}{\alpha x^n * x} \right | = = \limes_{n\rightarrow\infty} \left | \bruch{1}{x} \right | = \bruch{1}{x}[/mm]
Stimmt das erstmal soweit?
Bei der Berechnung der Summe habe ich dann weitaus größere Probleme. Ich weiß noch nichtmal, was ich hier genau tun muss.
Zunächst einmal kann ich festhalten, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = \bruch{1}{1-x}[/mm] eine geometrische Reihe ist.
Man sagte mir, dass ich nun Ableitungen dieser Reihe bilden und mit deren Hilfe die Summe der Reihe errechnen könnte.
Das Bilden der Ableitungen wäre (in diesem Fall) nicht das Problem - wohl aber die Frage, was ich dann damit anfangen soll.
Ich wäre Euch für Hinweise dankbar.
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Patrick,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius und berechnen Sie die
> Summe der Reihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \alpha x^n \qquad (\alpha \in \IR)[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> ich weiß leider nicht so recht, wie ich hier vorgehen
> soll.
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> Den Konvergenzradius habe ich so ermittelt:
>
> [mm]r = \limes_{n\rightarrow\infty} \left | \bruch{\alpha x^n}{\alpha x^{n+1}} \right | = = \limes_{n\rightarrow\infty} \left | \bruch{\alpha x^n}{\alpha x^n * x} \right | = = \limes_{n\rightarrow\infty} \left | \bruch{1}{x} \right | = \bruch{1}{x}[/mm]
>
> Stimmt das erstmal soweit?
Nein, du hast da Formeln durcheinandergehauen.
Entweder nimmst du das Quotientenkrit. und berechnest [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\alpha x^{n+1}}{\alpha x^n}\right|=|x|[/mm] und hast damit Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm]
Oder du fasst die Reihe als Potenzreihe auf und berechnest [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|[/mm] mit [mm]a_n=\alpha[/mm]
Das gibt auch 1 ...
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> Bei der Berechnung der Summe habe ich dann weitaus
> größere Probleme. Ich weiß noch nichtmal, was ich hier
> genau tun muss.
>
> Zunächst einmal kann ich festhalten, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = \bruch{1}{1-x}[/mm] eine
> geometrische Reihe ist.
Ja, für [mm]|x|<1[/mm], was genau der Konvergenzradius ist ...
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> Man sagte mir, dass ich nun Ableitungen dieser Reihe bilden
> und mit deren Hilfe die Summe der Reihe errechnen könnte.
Wieso sollte man das wollen?
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> Das Bilden der Ableitungen wäre (in diesem Fall) nicht das
> Problem - wohl aber die Frage, was ich dann damit anfangen
> soll.
Eben! Du hast doch den Wert schon (nur noch mit [mm]\alpha[/mm] multiplizieren)
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> Ich wäre Euch für Hinweise dankbar.
>
> Viele Grüße
> Patrick
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
> Ja, für [mm]|x|<1[/mm], was genau der Konvergenzradius ist ...
danke, das sehe ich ein.
> > Das Bilden der Ableitungen wäre (in diesem Fall) nicht das
> > Problem - wohl aber die Frage, was ich dann damit anfangen
> > soll.
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> Eben! Du hast doch den Wert schon (nur noch mit [mm]\alpha[/mm]
> multiplizieren)
Die Summe ist also [mm]\bruch{\alpha }{1-x}[/mm] ? Das war's dann schon?
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Hallo Apfelchips,
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> Hallo schachuzipus,
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> > Ja, für [mm]|x|<1[/mm], was genau der Konvergenzradius ist ...
>
> danke, das sehe ich ein.
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> > > Das Bilden der Ableitungen wäre (in diesem Fall) nicht das
> > > Problem - wohl aber die Frage, was ich dann damit anfangen
> > > soll.
> >
> > Eben! Du hast doch den Wert schon (nur noch mit [mm]\alpha[/mm]
> > multiplizieren)
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> Die Summe ist also [mm]\bruch{\alpha }{1-x}[/mm] ? Das war's dann
> schon?
>
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
> Ja.
Danke!
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