www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Potenzreihe e-Funktion
Potenzreihe e-Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Potenzreihe e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Mi 08.09.2010
Autor: bOernY

Aufgabe
Entwickeln Sie die Funktion [mm] $f(x)=e^{-x}*\wurzel{1-x}$ [/mm] bis zum kubischen Glied.

Ich habe bis jetzt noch keine Aufgabe bearbeitet bei der die Funktion aus einem Produkt bestand.
Deswegen frage ich lieber euch, als dass ich direkt ins offene Messer laufe.

Also ich würde zunächst jeden Faktor einzeln betrachten und eine Mac Laurinsche Reihe bis zum kubischen Glied bestimmen.

[mm] $e^{-x}=1-\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}-\bruch{x^3}{3!}$ [/mm]
und
[mm] $\wurzel{1-x}=(1-x)^{1/2}=1-\bruch{1}{2}x^1-\bruch{1*1}{2*4}x^2-\bruch{1*1*3}{2*4*6}x^3$ [/mm]

Jetzt würde ich einfach beides miteinander multiplizieren und vereinfachen.
Wäre dieser Ansatz für die Aufgabe so richtig?

        
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mi 08.09.2010
Autor: Loddar

Hallo boerny!


Nein, dieser Ansatz wäre nicht korrekt, zumal Du hier auch Term mit der Potenz 6 erhalten würdest.

Du musst hier schon mittels MBProduktregel einige Ableitungen und deren Funktionswerte (welcher entwicklungspunkt eigentlich?) bestimmen.


Gruß
Loddar



Bezug
                
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Mi 08.09.2010
Autor: felixf

Moin Loddar,

> Nein, dieser Ansatz wäre nicht korrekt, zumal Du hier auch
> Term mit der Potenz 6 erhalten würdest.

der Ansatz ist korrekt, wenn man im Produkt die Potenzen der 4. Ordnung und hoeher einfach weglaesst. Dann erhaelt man gerade die Entwicklung bis zur 3. Ordnung.

Und man spart sich die Produktregel :)

LG Felix



Bezug
                        
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Do 16.09.2010
Autor: bOernY

Also kann ich einfach die beiden Potenzreihenentwicklungen miteinander multiplizieren und alle Potenzen ab dem 4. Grad lasse ich einfach weg?

Ist dies generell auf jede Potzenreihenentwicklung anwendbar oder passt das nur genau in diesem Fall?
Und was wäre wenn nur bis zum 2. Glied oder bis zum n-ten Glied gefragt wäre? Kann man da auch beides einzeln sehen, multiplizieren und folglich alle Potenzen ab dem (n+1) Grad weglassen?

Fragen über Fragen... :-)

Bezug
                                
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Do 16.09.2010
Autor: MathePower

Hallo bOernY,

> Also kann ich einfach die beiden Potenzreihenentwicklungen
> miteinander multiplizieren und alle Potenzen ab dem 4. Grad
> lasse ich einfach weg?


Ja.


>  
> Ist dies generell auf jede Potzenreihenentwicklung
> anwendbar oder passt das nur genau in diesem Fall?
>  Und was wäre wenn nur bis zum 2. Glied oder bis zum n-ten
> Glied gefragt wäre? Kann man da auch beides einzeln sehen,
> multiplizieren und folglich alle Potenzen ab dem (n+1) Grad
> weglassen?


So isses.


>  
> Fragen über Fragen... :-)


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Do 16.09.2010
Autor: bOernY

Super danke!

Aber eine Frage hätte ich noch.

Wie würde das ganze denn bei anderen Rechenoperationen, wie Addition/Subtraktion und Divsion aussehen?
Ist dieses Verfahren da auch anwendbar?

Bezug
                                                
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Do 16.09.2010
Autor: MathePower

Hallo bOerny,


> Super danke!
>  
> Aber eine Frage hätte ich noch.
>  
> Wie würde das ganze denn bei anderen Rechenoperationen,
> wie Addition/Subtraktion und Divsion aussehen?
> Ist dieses Verfahren da auch anwendbar?


Bei Addition/Subtraktion funktiniert dies auch.

Bei der Division ist das nicht garantiert.

Wenn also die Taylorreihe von

[mm]\bruch{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}[/mm]

bis zu einem Grad n zu bilden ist, dann ist
nicht immer garantiert, daß

[mm]\bruch{T_{n}\left(f;x;x_{0}\right)}{T_{n}\left(g;x;x_{0}\right)} = T_{n}\left(f/g;x;x_{0}\right)[/mm]

ist, wobei [mm]T_{n}[/mm] das n. Taylorpolynom ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Fr 17.09.2010
Autor: bOernY

Danke für die Tipps MathePower und FRED!
Das hat mir wirklich sehr viel geholfen.

Ich habe mich jetzt nocheinmal an einer Aufgabe versucht um zu checken, ob ich es wirklich verstanden habe.
Eventuell könnte sich das ja mal jemand anschauen und mir dann hoffentlich grünes Licht geben.

Die Aufgabenstellung ist identisch, nur dass diesmal bis zum 4. Grad entwickelt werden soll.
Es ist folgende Funktion gegeben: [mm] $f(x)=(e^{-x}-1)^2$ [/mm]

Ich habe diese Funktion ersteinmal ausmultipliziert und komme folglich auf:
[mm] $f(x)=e^{-x}*e^{-x} [/mm] - [mm] 2*e^{-x} [/mm] + 1$

Dann habe ich die Potenzreihenentwicklung von [mm] $e^{-x}$ [/mm] durchgeführt und notiert.

[mm] $e^{-x}=1-x+\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{24}x^4$ [/mm]

[mm] $e^{-x}*e^{-x}=1-2x+2x^2-\bruch{4}{3}x^3+\bruch{2}{3}x^4$ [/mm]
[mm] $2*e^{-x}=2-2x+x^2-\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{12}x^4$ [/mm]

Alles dann in die Anfangs ausmultiplizierte Funktion eingesetzt und vereinfacht.

[mm] $(e^{-x}-1)^2=(1-2x+2x^2-\bruch{4}{3}x^3+\bruch{2}{3}x^4)-(2-2x+x^2-\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{12}x^4)+1$ [/mm]
[mm] $(e^{-x}-1)^2=0+0x+x^2-x^3+\bruch{7}{12}x^4=x^2-x^3+\bruch{7}{12}x^4$ [/mm]

Mir kommt jetzt allerdings recht komisch vor, dass die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion direkt mit [mm] $x^2$ [/mm] anfängt und nicht wie zu erwarten mit [mm] $x^0$. [/mm]
Kann das zutreffen oder habe ich einen Fehler gemacht?

Danke für eure Hilfe!


Bezug
                                                                
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Fr 17.09.2010
Autor: Teufel

Hi!

Ist alles richtig. Kannst die Funktion ja auch mal f(0) und f'(0) ausrechnen, dann siehst du, dass das stimmt.

[anon] Teufel

Bezug
                                
Bezug
Potenzreihe e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Fr 17.09.2010
Autor: fred97

Oft ist auch das Cauchyprodukt hilfreich:

gegeben seien 2 Potenzreihen

                  [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm]   und      [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n, [/mm]

die beide für $|x|<r$ konvergieren (0<r [mm] \le \infty) [/mm] . Dann konvergiert auch das Cauchyprodukt   [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n [/mm] der beiden Potenzreihen für $|x|<r$ und es gilt:

               $ ( [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] )*(  [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n [/mm] )=   [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n [/mm] $  für $|x|<r$,

wobei

                 [mm] $c_n= \summe_{k=0}^{n}a_k*b_{n-k}$ [/mm]


FRED



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de