Potenzreihe vereinfachung ges. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x+1)^{3k+2}}{3^{2k+1}} [/mm] |
Tja das ist meine aufgabe und wie so häuftig scheitere ich an einer umstellung bzw. Vereinfachung des Terms, meine bisherigen Gedanken, man könnte das ganze so schreiben:
[mm] \bruch{(x+1)^{3k}\*(x+1)^{2}}{3^{2k} \* 3}
[/mm]
oder so:
[mm] \bruch{(x+1)^{k}\*(x+1)^{k}\*(x+1)^{k}\*(x+1)^{2}}{3^{k} \* 3^{k} \*3}
[/mm]
Ja und da verließen sich mich, wie man so schön sagt.
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Fr 24.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo ganzir
Du willst doch nicht einfach vereinfachen, sondern sicher ne Summenformel. Es riekt nach geom. Reihe.
Dasteht doch schon mal wenn du deine erste umformung benutzr [mm] ((x+1)^3)^k
[/mm]
jetzt pass den Nenner noch an da steh ja nur [mm] 9^k
[/mm]
und schon hast du was du willst.
Du musst nur nicht wild drauflos "umformeln" sondern ein Ziel vor Augen haben. Und so viele sorten Reihen, deren Summenformel du kennst gibts ja nicht !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] ((x+1)^3)^k [/mm] |
Müsste es nicht [mm] ((x+1)^3)^{k+2} [/mm] sein?
Ja Ok im nenner steht irgendwas was man als [mm] g^k [/mm] ausdrücken kann ... aber wie hilft mir das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Fr 24.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]((x+1)^3)^k[/mm]
> Müsste es nicht [mm]((x+1)^3)^{k+2}[/mm] sein?
Du hattest doch schon [mm] (x+1)^2 [/mm] rausgezogen, dann kann man es auch vor die summe schreiben.
> Ja Ok im nenner steht irgendwas was man als [mm]g^k[/mm] ausdrücken
> kann ... aber wie hilft mir das weiter?
Ziel war doch ne geom. Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}q^i [/mm] und dann n gegen [mm] \infty
[/mm]
kannst du jetzt ein q hinschreiben? eigentlich hatte ich das Ziel genannt! Du musst a)genauer lesen, b) genauer auf den post bezogen antworten, dann geht alles schneller.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \summe_{i=1}^{n}q^i [/mm] $ |
Woher weiß ich, dass dies mein Ziel ist, so weit ich die Aufgabe verstanden habe, sieht es doch so aus, dass ich eine Potenzreihe der Form
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} \* x^{k}
[/mm]
brauche, dass bedeutet doch ich muss [mm] a_{k} [/mm] isolieren um dann den Konvergenzradius mittels R = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{a_{k}}{a_{k+1}} [/mm] zu berechnen.
Bei der vorliegenden Aufgabe
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x+1)^{3k+2}}{3^{2k+1}} [/mm] $
Ist mein [mm] x^{k} [/mm] doch das hier: [mm] (x+1)^{3k+2} [/mm] nun könnte ich noch x+1 = y substituieren. Dann habe ich:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(y)^{3k+2}}{3^{2k+1}} [/mm] $
Dies könnte ich auch so schreiben:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{2k+1}} \* (y)^{3k+2} [/mm] $
Nun ist [mm] \bruch{1}{3^{2k+1}} [/mm] mein [mm] a_{k} [/mm] und [mm] (y)^{3k+2} [/mm] mein [mm] x^{k}
[/mm]
Was mir nicht klar ist, ist folgendes: Muss der Exponent von [mm] x^{k} [/mm] wirklich k lauten, damit die oben erleuterte Formel greift oder kann da auch [mm] x^{irgendwas} [/mm] stehen?
Wenn dem so ist, könnte ich nun ab hier weiter rechnen und einen Konvergenzradius berechnen. Dann die Randbereiche überprüfen und dann resubstituieren, damit ich den entsprechenden Konvergenzradius für x erhalte.
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Hallo!
Im Exponenten darf nur k stehen bei [mm] x^{k}! [/mm] Um das zu erreichen, musst du die Reihe etwas umschreiben:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x+1)^{3k+2}}{3^{2k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3^{2k+1}}* (x+1)^{3k+2} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3^{2k+1}}* ((x+1)^{3})^{k}*(x+1)^{2} [/mm] = [mm] (x+1)^{2}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3^{2k+1}}*(\ (x+1)^{3}\ )^{k}$
[/mm]
Nun kannst du den Konvergenzradius für [mm] (x+1)^{3} [/mm] für die Reihe bestimmen. Benutze das Quotientenkriterium.
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
Hallo Stefan,
genau das waren mein Bedenken, mein Problem ist, dass ich aus Vorlesungen immer nur triviale Beispiele mitnehme. z.B. war bei uns der Konvergenzradius (in den Vorlesungen) immer <|1|
Da stellt sich mir dann die Frage muss das so sein, die Antwortet lautet nein wie ich inzwischen weiß es kann auch irgendwas anderes sein, nun hegte ich die Vermutung, dass die auch bei [mm] x^k [/mm] der Fall sein könnte, was aber wie du mir sagst nun nicht so ist. Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] 3^{2k+1} [/mm] |
Wenn ich nun k um 1 erhöhren möchte für
[mm] \bruch{a_{k}}{a_{k+1}}
[/mm]
wird dann daraus
[mm] 3^{2k+3} [/mm] ?
Da jedes der beiden Ks um 1 erhöht wird oder ist diese Überlegung falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ganzir!
Das ist richtig überlegt. Aber einfacher geht es, wenn Du für jedes $k_$ ein $k+1_$ einsetzt:
[mm] $$3^{2*(\red{k+1})+1} [/mm] \ = \ [mm] 3^{2k+2+1} [/mm] \ = \ [mm] 3^{2k+3}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{3^{2k+1}}}{\bruch{1}{3^{2k+3}}}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{1}{3^{2k+1}} \* \bruch{3^{2k+3}}{1}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{1}{3^{2k} \* 3} \* \bruch{3^{2k} \* 3 \* 3 \* 3}{1}|=9 [/mm] |
Sofern ich oben richtig gerechnet habe ist mein Konvergenzradius R also 9
Nun stehe ich direkt vor dem nächsten Problem :(
In der eigentlichen Aufgabe habe ich nun [mm] (x+1)^{3} [/mm] durch y substituiert.
OK nun muss ich noch das Verhalten der Reihe in Randbereichen untersuchen.
Also für y = |9| (resubstitution kommt dann später)
Nun setze ich y = 9 in meine Ausgangsgleichung ein also:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{2k+1}} \* 9^{k}
[/mm]
Ich könnte es auchso schreiben:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{k} \* 3^{k} \* 3} \* 9^{k}
[/mm]
Kann ich hier irgendwie kürzen oder Muss ich irgendein Kriterium anwenden um eine eindeutige Aussage treffen zu können? Wenn ja, wie muss ich kürzen bzw. welches Kriterium muss angewendet werden ich stehe bei sowas immer auf dem Schlauch.
EDIT: Ich glaube ich habs 9 = [mm] 3^{2} [/mm] daher [mm] 9^{k} [/mm] = [mm] (3^{2})^{k} [/mm] = [mm] 3^{2k}
[/mm]
richtig?
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Hallo!
Deine Berechnung dürfte stimmen, der Konvergenzradius ist 9 = [mm] (x+1)^{3}, [/mm] also
[mm] \sqrt[3]{9}-1 [/mm] = x (blöder Wert...).
Bei den Randbereichen erkennt man schnell:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{3^{2k+1}}*9^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{3^{2k+1}}*3^{2k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
konvergiert also nicht.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{3} [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $ |
Hallo Stefan... das habe ich nun auch herausgefunden, siehe meine editierte Frage.
Damit bin ich auch bei dem angelangt was du geschrieben hast.... schonmal beruhigend, dass ich das gleiche raus habe.
eine Frage stellt sich mir nun noch, und zwar wenn wir uns an den Anfang zurück erinnern haben wir ja noch ein [mm] (x+1)^{2} [/mm] vor die Summe gezogen also:
$ [mm] (x+1)^{2} \* \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{3} [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $
Hat dies irgendeine Auswirkung auf die Kovergenz?
Zumal was ist jetzt x ?
Ich habe ja [mm] (x+1)^{3} [/mm] durch y substituiert ... muss ich jetzt nich diesen ausdruck auch auf y ummünzen (wie auch immer das nun wieder gehen mag) und dann wieder in die Summe hineinziehen schließlich war er da ja vorher auch drin?
Oder ist das alles Unsinn?
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Hallo!
> eine Frage stellt sich mir nun noch, und zwar wenn wir uns
> an den Anfang zurück erinnern haben wir ja noch ein
> [mm](x+1)^{2}[/mm] vor die Summe gezogen also:
>
> [mm](x+1)^{2} \* \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> Hat dies irgendeine Auswirkung auf die Kovergenz?
>
> Zumal was ist jetzt x ?
Deine Überlegungen sind gerechtfertigt. Allerdings kannst du dir denk ich vorstellen, dass egal mit was ich unendlich multipliziere, es trotzdem unendlich bleibt. Der Vorfaktor der unendlichen Summe, die [mm] (x+1)^{2}, [/mm] haben also keine Relevanz (außer er wäre 0, was nicht der Fall ist).
In diesem Fall müsste man zur korrekten Auswertung für x den Wert [mm] \sqrt[3]{9} [/mm] - 1 einsetzen, den wir beim Konvergenzradius herausbekommen haben. Ist aber wie gesagt irrelevant.
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
OK dann vielen dank.
Greetz
Ganzir
PS: Ihr erklärt das tausend mal besser als ich es jemals in einer Vorlesung oder Übung erklärt bekommen habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Fr 24.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo ganzirr
Wenn du gleich geschrieben haettest, dass du den Konvergenzradius suchst, haette ich mir viel Arbeit gespart.
Lies mal deinen ersten post durch, und schreb naechstes Mal bitte, was die Aufgabe ist.
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
Hallo leduart,
sorry wenn das etwas missverständlich war.
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