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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mi 29.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{(n+1)!}
[/mm]
[mm] f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\br{nx^{n-1}}{(n+1)!}
[/mm]
Warum hat sich der Laufindex erhöht?
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Hallo,
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{(n+1)!}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\br{nx^{n-1}}{(n+1)!}[/mm]
>
> Warum hat sich der Laufindex erhöht?
Wir leiten mal ganz normal ab:
[mm] \left(\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{(n+1)!}\right)'=\summe_{n=0}^{\infty}n\br{x^{n-1}}{(n+1)!}
[/mm]
Wie lautet nun der erste Summand in der Reihe?
[mm] 0*\frac{x^{-1}}{1!}=0
[/mm]
Daher kann man die Reihe ab n=1 beginnen lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Do 30.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
$ [mm] f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\br{nx^{n-1}}{(n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}\br{n+1}{(n+2)!}x^n=\br{xe^x-e^x+1}{x^2} [/mm] $
Wie komme ich auf die letzte Darstellung ich habe schon versucht irgendwas mit der Cauchy-Produktformel und mit [mm] \br{a_0}{1-q} [/mm] hinzukriegen, aber ich schlug fehl, wie mache ich es richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Es war doch
$ [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{(n+1)!} [/mm] $
Dann ist
[mm] $xf(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{n+1}}{(n+1)!}=e^x-1$,
[/mm]
also
[mm] $f(x)=\bruch{e^x-1}{x}$
[/mm]
Nun differenziere mit der Quotientenregel
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Do 30.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Geht das nur so, denn ich glaube, ich soll es andersrum darauf kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Geht das nur so, denn ich glaube, ich soll es andersrum
> darauf kommen.
Das geht auch: aus
[mm] $f'(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{n+1}{(n+2)!}x^n$
[/mm]
folgt
[mm] $x^2f'(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{n+1}{(n+2)!}x^{n+2}$
[/mm]
Wenn Du differenzierst bekommst Du
[mm] $(x^2f'(x))'=x*e^x.$
[/mm]
Zeige das !
Dann überlege Dir, dass folgt:
[mm] $x^2f'(x)=xe^x-e^x+1$
[/mm]
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:00 Do 30.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich kriege das nicht hin.
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Hallo,
> Ich kriege das nicht hin.
Was genau kriegst du nicht hin?
Wie sollen wir dir konkret helfen, wenn du so allgemein daherquatscht.
Konkretisiere dein Problem, sonst wird das hier nix.
Alles im Detail vorrechnen werden wir nicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 30.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
> > Geht das nur so, denn ich glaube, ich soll es andersrum
> > darauf kommen.
>
> Das geht auch: aus
>
> [mm]f'(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{n+1}{(n+2)!}x^n[/mm]
>
> folgt
>
> [mm]x^2f'(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{n+1}{(n+2)!}x^{n+2}[/mm]
>
> Wenn Du differenzierst bekommst Du
>
> [mm](x^2f'(x))'=x*e^x.[/mm]
>
> Zeige das !
Bis hierhin ist klar.
[mm] \left(\br{(n+1)x^{n+2}}{(n+2)!}\right)'=\br{(n+1)(n+2)x^{n+1}}{(n+2)!}=\br{x^{n+1}}{n!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\summe_{n=0}^{\infty}\br{1}{n!}x^n=xe^x
[/mm]
Aber ich weiß nicht wie mir das weiterhelfen kann.
>
> Dann überlege Dir, dass folgt:
>
> [mm]x^2f'(x)=xe^x-e^x+1[/mm]
Darauf komme ich nicht.
>
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Geht das nur so, denn ich glaube, ich soll es andersrum
> > > darauf kommen.
> >
> > Das geht auch: aus
> >
> > [mm]f'(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{n+1}{(n+2)!}x^n[/mm]
> >
> > folgt
> >
> > [mm]x^2f'(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\br{n+1}{(n+2)!}x^{n+2}[/mm]
> >
> > Wenn Du differenzierst bekommst Du
> >
> > [mm](x^2f'(x))'=x*e^x.[/mm]
> >
> > Zeige das !
>
> Bis hierhin ist klar.
>
> [mm]\left(\br{n+1}{(n+2)!}\right)'=\br{(n+1)(n+2)x^{n+1}}{(n+2)!}=\br{x^{n+1}}{n!}[/mm]
In der Klammer links fehlt noch was !
>
> [mm]\Rightarrow x\summe_{n=0}^{\infty}\br{1}{n!}x^n=xe^x[/mm]
>
> Aber ich weiß nicht wie mir das weiterhelfen kann.
>
> >
> > Dann überlege Dir, dass folgt:
> >
> > [mm]x^2f'(x)=xe^x-e^x+1[/mm]
>
> Darauf komme ich nicht.
Aus
$ [mm] (x^2f'(x))'=x\cdot{}e^x [/mm] $
folgt: [mm] x^2f'(x)=\integral_{}^{}{xe^x dx}
[/mm]
Mit partiller Integration bekommst Du [mm] \integral_{}^{}{xe^x dx}=xe^x-e^x+c
[/mm]
Mach das mal.
Dann haben wir:
[mm] x^2f'(x)=xe^x-e^x+c
[/mm]
Damit Auch Du noch was zu tun hast: zeige: c=1.
FRED
> >
> > FRED
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