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| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die Entwicklungsstelle des Konvergenzintervalls und den Konvergenzradius der folgenden Potzenzreihen:
[mm]
\summe_ {k=1}^{\infty} k (3 * x)^k
[/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm]\summe_ {k=1}^{\infty} \bruch {2^k} {k!} * (x - 1)^k[/mm] |
Hallo,
ich hab zur Lösung der ersten Aufgabe folgendes versucht:
Entwicklungsstelle: 1 (aus dem Bauch heraus - wie muß ich das wirklich machen)
Danach habe ich den Konvergenzradius r errechnet:
[mm]g = \limes_{k \to \infty} \left| \bruch {(k+1)*3^{k+1}} {k*3^k} \right|[/mm]
[mm]r = \bruch {1} {g} = \bruch {1} {3}[/mm]
Kann das sein?
Ich hab die Reihe mal bis 80 in die Tabellenkalkulation eingegeben, um eine Abschätzung zu erhalten. Das Ergebnis ist allerdings total danben.
Wie soll ich an die zweite Frage rangehen?
Für eure Hilfe schon jetzt vielen Dank!
verleihnix
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 So 21.05.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo verleihnix,
die Entwicklungsstelle kannst du direkt an der Reihe ablesen, da die in Reihe in der Form [mm] (x-Entwicklungsstelle)^n [/mm] gegeben ist. Im ersten Fall ist die Entwicklungsstelle also 0.
Denn Konvergenzradius hast du richtig berechnet.
Bei der zweiten Aufgabe ist die Entwicklungstelle. Den Konvergenzradius kannst du wieder wie im ersten Fall ausrechnen (es kommt [mm] \infty [/mm] raus) oder du kennst die Exponentialreihe und siehst, dass gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^k}{k!}\cdot(x-1)^k=e^{2\cdot(x-1)} [/mm] -1 ist.
Gruß
Frank
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