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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 So 24.06.2007 | | Autor: | kiriS |
| Aufgabe | Untersuche die Potenzreihen auf Konvergenz
[mm] \summe_{i=n}^{\infty} n^{\bruch{ln n}{n}} \cdot x^{n} [/mm] |
Hallo Zusammen,
leider weiß ich bei der angegebenen Potenzreihe nicht, wie ich vorgehen muss. Ich hab nicht mal einen Ansatz.
Könnte mir da bitte jemand weiter helfen.
Gruß, Kira
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du kannst mit dem Wurzelkriterium den Konvergenzradius bestimmen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mo 25.06.2007 | | Autor: | kiriS |
Hallo,
bei Anwendung des Wurzelkriteriums hab ich folgendes stehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{n^{\bruch{ln n}{n}} \cdot x^{n}} [/mm] < 1
|x| [mm] \cdot \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{n^{\bruch{ln n}{n}}} [/mm] < 1
Ab da komm ich leider nicht weiter :-/
Könntest du mir da bitte helfen?
Danke im voraus.
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Manno, jetzt hab ich ein paar Zettel voll geschrieben, und bin mir immer noch nicht sicher. Deshalb sag ich mal vorsichtig:
Betrachte den Exponenten, dieser geht gegen 0 [mm] (\bruch{ln(n)}{n}). [/mm] Dh: Du hast dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\infty^{0} [/mm] dastehen. Nun kannst du l'Hopsital anwenden und versuchen den Grenzwert zu bestimmen. Du nimmst hier die [mm] \infty^{0}-Regel. [/mm]
Hoffentlich bringt dich das auf eine Spur. Ich bleib mal dran. Vielleicht kommt mir ja noch die Erleuchtung.
Gruß, h.
PS: Mir is grad das Quotientenkriterium eingefallen. Versuch's mal damit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mo 25.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo kiriS!
> |x| [mm]\cdot \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{n^{\bruch{ln n}{n}}}[/mm]
> < 1
Es ist doch [mm] $\sqrt[n]{n^{\frac{\ln n}{n}}} [/mm] = [mm] (n^{\frac{\ln n}{n}})^{1/n} [/mm] = [mm] n^{\frac{\ln n}{n^2}} [/mm] = [mm] \exp\Bigl( \frac{\ln n}{n^2} \cdot \ln [/mm] n [mm] \Bigr) [/mm] = [mm] \exp\Bigl( \Bigl( \frac{\ln n}{n} \Bigr)^2 \Bigr)$.
[/mm]
[edit: Tippfehler korrigiert]
So. [mm] $\exp$ [/mm] und Quadrieren ist stetig, und [mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} [/mm] = 0$ (das folgt mit l'Hopital). Also?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 25.06.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo felix,
ich hätte da bezüglich deiner Antwort eine Frage, da ich einige Zeichen nicht so recht verstehe. Es geht um die Zeile "Es ist doch ..... =exp....."
Meine Verständnisschwierigkeit geht ab exp los. Könntest du bitte erklären, was du da geschrieben hast? Ich würde gern die Aufgabe verstehen.
Vielen lieben Dank im voraus.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo felix,
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> ich hätte da bezüglich deiner Antwort eine Frage, da ich
> einige Zeichen nicht so recht verstehe. Es geht um die
> Zeile "Es ist doch ..... =exp....."
Man könnte es vielleicht auch so formulieren
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n^{\frac{\ln(n)}{n}}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{e^{\frac{\ln(n)}{n}\cdot \ln(n)}}
= \lim_{n\rightarrow \infty} e^{\frac{\ln(n)}{n}\cdot \frac{\ln(n)}{n}} = e^{(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln(n)}{n}) \cdot (\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln(n)}{n})} = e^{0\cdot 0} = e^0 = 1[/mm]
Dabei wird benutzt, dass [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln(n)}{n} = 0[/mm] ist ("der [mm]\ln(n)[/mm] wächst langsamer als jede positive Potenz von [mm]n[/mm]"), dass die Exponentialfunktion stetig ist (daher kann man den Limes der Exponentialfunktion durch die Exponentialfunktion angewandt auf den Limes vertauschen) und dass [mm]n^x = e^{\ln(n)\cdot x}[/mm] ist.
> Meine Verständnisschwierigkeit geht ab exp los. Könntest du
> bitte erklären, was du da geschrieben hast? Ich würde gern
> die Aufgabe verstehen.
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>
> Vielen lieben Dank im voraus.
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 25.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich hätte da bezüglich deiner Antwort eine Frage, da ich
> einige Zeichen nicht so recht verstehe. Es geht um die
> Zeile "Es ist doch ..... =exp....."
Was zwei kleine ( doch schon bewirken koennen :)
So, jetzt solltest du es lesen koennen.
LG Felix
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