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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Di 21.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Die Differentialgleichung des einfachen Pendels lautet:
[mm] \bruch{\partial^{2}\gamma}{\partial t^{2}}+\bruch{g}{l}*sin(\gamma)=0
[/mm]
Ermitteln sie das Taylorpolynom 4. Grades für [mm] \gamma_{(t)} [/mm] durch implizites Differenzieren der Differentialgleichung. Benutzen sie dafür die Anfangswerte:
[mm] \gamma_{(0)}=\bruch{\pi}{6} [/mm] und [mm] \gamma'_{(0)}=0 [/mm] |
Hi,
ich bin mir nicht sicher ob ich was falsch mache, aber mein Ergebnis weicht ein wenig von der Musterlösung ab.
Mein Lösungsweg (ich nenne [mm] \gamma:=y [/mm] und t:=x):
[mm] T_{4}=y_{0}+y'_{0}+\bruch{z''_{0}}{2!}x^{2}+\bruch{z'''_{0}}{3!}x^{3}+\bruch{z^{4}_{0}}{4!}x^{4}
[/mm]
[mm] y_{0}=\bruch{\pi}{6}
[/mm]
y'_0=0
[mm] y''_{0}=-\bruch{g}{l2}
[/mm]
[mm] y'''_{0}=y''*y'+\bruch{g}{l}cos(y)*y'=0
[/mm]
[mm] y^{(4)}_{0}=y'''*y'+y'''*y''-\bruch{g}{l}sin(y)*y'+\bruch{g}{l}cos(y)*y''=\bruch{g^{2}\wurzel{3}}{l^{2}4}
[/mm]
Lös.: [mm] T_{4}=\bruch{\pi}{6}-\bruch{g}{4l}x^{2}-\bruch{g^{2}\wurzel{3}}{l^{2}*96}x^{4}
[/mm]
Musterlösung: [mm] T_{4}=\bruch{\pi}{6}-\bruch{g}{4l}x^{2}+\bruch{g^{2}\wurzel{3}}{l*96}x^{4}
[/mm]
Weiß jemand wo mein Fehler liegt??? Danke für Eure Hilfe!!!
LG
Stefan
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Hallo polyurie!
Du hast alles richtig gerechnet,nur von der vorletzten Zeile zur letzten Zeile ist Dir ein Vorzeichenübertragungsfehler passiert.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Di 21.08.2007 | | Autor: | polyurie |
ok, Danke!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Di 21.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Hallo,
ich hab das jetzt nochmal nachgerechnet, mir ist aber noch nicht klar wo ich einen Vorzeichenfehler gemacht haben soll.
Ich hab auch in der Angabe einene Fehler entdeckt. Es muss heißen:
[mm] y^{(4)}_{0}=y'''*y'+y'''*y''-\bruch{g}{l}sin(y)*y'+\bruch{g}{l}cos(y)*y''= [/mm] - [mm] \bruch{g^{2}\wurzel{3}}{l^{2}4}
[/mm]
Und das ergibt dann mein obiges Ergebnis. Das [mm] l^{2} [/mm] im Nenner stimmt auch nicht mit der Musterlösung überein. Weiß aber nicht was falsch ist. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Danke!
LG
Stefan
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Hallo Stefan!
Hast Du Dich hier "nur" vertippt? Denn meine Ableitung von $y''*y'_$ ergibt sich gemäß  Produktregel:
[mm] $\left( \ y''*y' \ \right)' [/mm] \ = \ y'''*y' + y''*y'' \ = \ y'''*y' + [mm] (y'')^2$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 21.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Oh ja, stimmt. Danke. das macht das Ergebnis aber nicht besser. Das ergit ja dann:
[mm] y^{IV}=y'''*y'+y''*y''-\bruch{g}{l}sin(y)*y'+\bruch{g}{l}cos(y)*y''
[/mm]
d.h.
[mm] 0+\bruch{g^{2}}{4*l^{2}}-\bruch{g^{2}\wurzel{3}}{4*l^{2}}
[/mm]
das dann in T eingesetzt würde (nur für das 3. Glied)
[mm] \bruch{g^{2}}{96*l^{2}}*(1-\wurzel{3})*t^{2} [/mm] ergeben.
Es sollte aber laut Musterlösung
[mm] \bruch{\wurzel{3}*g^{2}}{96*l}*t^{2} [/mm] sein
Ich dreh noch ab!!! was mach ich jetzt noch falsch? Danke für Eure Unterstützung!!!
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Di 21.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Ok, ich hab das noch mal von Beginn an durchgerechent. Die Lösung des letzten Gliedes ist:
[mm] \bruch{g^{2}\wurzel{3}}{4*l^{2}}*x^{4}
[/mm]
Bin mir ziemlich sicher das das so stimmt. Die Musterlösung ist dann wohl falsch...
Danke für eure Hilfe!!!
Stefan
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Hallo Stefan!
Als letztes Glied erhalte ich bei [mm] $x^4$ [/mm] den Wert [mm] $\red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{g^2*\wurzel{3}}{96*l^2} [/mm] \ = [mm] \+\bruch{\bruch{g^2*\wurzel{3}}{4*l^2}}{4!}$ [/mm] .
Da scheint also das Vorzeichen falsch zu sein.
Allerdings haben wir hier die ganze Zeit falsch differenziert. Aus $y'' \ = \ [mm] -\bruch{g}{l}*\sin(y)$ [/mm] ergibt sich nämlich:
$y''' \ = \ [mm] -\bruch{g}{l}*\cos(y)*y'$
[/mm]
Und hieraus nun:
[mm] $y^{(4)} [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{g}{l}*\sin(y)*y'*y'-\bruch{g}{l}*\cos(y)*y'' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{g}{l}*\sin(y)*\left(y'\right)^2-\bruch{g}{l}*\cos(y)*y''$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Mi 22.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Danke an alle!!
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