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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 25.11.2007 | | Autor: | balboa |
| Aufgabe | Für welche [mm]x\in \IR[/mm] konvergiert die Potenzreihe [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{(-1)^k}{3k+2}(x-1)^k[/mm];
a) bestimme dazu den Konvergenzradius
b) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am linken Rand des Konvergenzbereiches liegt
c) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am rechten Rand des Konvergenzbereiches liegt
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Zu a) habe ich bisher [mm]\limes_{k \to \infty}\bruch{(-1)}{\wurzel{3k+2}}[/mm] komme jetzt aber nicht weiter;
für b) und c) habe ich noch gar keinen Ansatz.
Bitte helft mir.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für welche [mm]x\in \IR[/mm] konvergiert die Potenzreihe
> [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{(-1)^k}{3k+2}(x-1)^k[/mm];
> a) bestimme dazu den Konvergenzradius
> b) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am linken
> Rand des Konvergenzbereiches liegt
> c) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am
> rechten Rand des Konvergenzbereiches liegt
>
> Zu a) habe ich bisher [mm]\limes_{k \to \infty}\bruch{(-1)}{\wurzel{3k+2}}[/mm]
Wie kommst du auf diesen Ausdruck? Der Konvergenzradius ist eine nichtnegative Größe, wie kann dann da ein (-1) im Zähler stehen?
Tipp: die Berechnung mit der Formel von Cauchy-Hadamard ist ein bischen mühsam; in diesem kannst du, da der Limes existiert, die einfachere Formel
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm]
verwenden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:04 Mo 26.11.2007 | | Autor: | balboa |
Danke für den Hinweis. Ich habe in meiner Literatur eine Formel gelesen, die dem Wurzelkriterium ähnelt. Mit deiner Formel habe ich jetzt [mm]\bruch{5}{2}[/mm] errechnet.
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Hallo Christian,
> Danke für den Hinweis. Ich habe in meiner Literatur eine
> Formel gelesen, die dem Wurzelkriterium ähnelt. Mit deiner
> Formel habe ich jetzt [mm]\bruch{5}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") errechnet.
Das passt nicht, wie hast du's denn gerechnet?
Wie rainer schon sagte, das Kriterium heißt Kriterium von Cauchy-Hadamard.
Berechne $r=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|a_k\right|}$
Dann ist der Konvergenzradius $R:=\frac{1}{r}$ und die Potenzreihe konvergiert für $|x-1|<R$
Also $r=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{(-1)^k}{k+1}\right|}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{k+1}}=...$
Alternativ kannst du - wie rainer erwähnt hat - gemäß dem Euler-Kriterium $r=\lim\limits_{k\to\infty}{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ berechnen mit derselben Konvergenzaussage wie oben
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mo 26.11.2007 | | Autor: | balboa |
Gerechnet habe ich wie folgt:
[mm] \left|\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{3(k+1)+2}}{\bruch{(-1)^k}{3k+2}}\right| =\left|\bruch{(-1)^{k+1}}{3(k+1)+2}*\bruch{3k+2}{(-1)^k}\right| = \bruch{3k+2}{3k+3+2} \rightarrow 3k[/mm] gekürzt [mm]= \bruch{2}{5} \rightarrow \bruch{1}{r} = \bruch{1}{\bruch{2}{5}} = 1*\bruch{5}{2} = \bruch{5}{2} = r[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mi 28.11.2007 | | Autor: | balboa |
OK, dank des Ausklammerns habe ich es jetzt auch gesehen.
Konvergenz also für x von 0 bis <2.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
[mm] \rightarrow [/mm] 3k ![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]"){kind=small}
