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Forum "Folgen und Reihen" - Potenzreihen
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Potenzreihen: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Mo 31.01.2005
Autor: Sue20

Hallo!

Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

Man bestimme jeweils die Entwicklungsstelle x* (den Mittelpunkt x*) des Konvergenzintervalles und den Konvergenzradius r der folgenden Potenzreihe (Summenzeichen) ck (x - [mm] x*)^k, [/mm] (k=k0, k0+1,...; k0>=0):

a) (Summenzeichen) [mm] k(3x)^k [/mm]

Lösung: x*=0, r=1/3

x*=0, aber für den Radius bekomme ich etwas anderes heraus:

ck ist doch k, oder??? Ich glaub hierin liegt der Fehler, denn:

r=lim (k gegen unendlich) |ck/ck+1| = k/(k+1) = k/(k(1+1/k)) -> k wird gekürzt, bleibt übrig: 1/(1+1/k) -> k gegen Unendlich: 1/(1+0) = 1 (nicht 1/3)

Was ist falsch?

Oder bei der zweiten Aufgabe komme ich auch nicht weiter:

b) (Summenzeichen) [mm] (1/3!)k^k {(x/2)-1}^k [/mm]

Lösung: x*=2, r=0

x*=2 (denn (x/2)-1=0, nach x auflösen), aber was ist hier ck und wie berechne ich dann damit r?

Über jede Antwort wäre ich sehr dankbar!

MfG Sue

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[]www.uni-protokolle.de

        
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:44 Di 01.02.2005
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Sue,

bei Teil a) ist [mm] c_k [/mm] = [mm] k\cdot3^k [/mm] (du darfst die 3 in der Klammer nicht vergessen), deswegen kommt r=1/3 raus.

Bei Teil b) handelt es sich nicht um eine Potenzreihe, schau bitte nochmal nach, ob du die Angabe richtig abgeschrieben hast.

Hugo

Bezug
                
Bezug
Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Di 01.02.2005
Autor: Sue20

Die Aufgabe b) steht so da:

(Summenzeichen) [mm] (1/3!)k^k \{(x/2 - 1 \}^k [/mm]

[mm] c_{k} [/mm] = [mm] (1/3!)k^k, [/mm] oder?

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Di 01.02.2005
Autor: Sue20

Sorry, nach x/2 noch eine schließende Klammer, also:

[mm] (1/3!)k^k \{(x/2) - 1 \}^k [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Potenzreihen: c_k
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Di 01.02.2005
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Sue,

am besten klammest du immer so aus, dass das x alleine steht, d.h. hier:

[mm]\frac{1}{3!}k^k(\frac{x}{2}-1)^k[/mm]=[mm]\frac{1}{3!}(\frac{k}{2})^k\cdot(x-2)^k[/mm]

Dann ist klar, dass [mm]x_0=2[/mm]. Das vor der Klammer ist dann [mm] c_k [/mm]

Hugo

Bezug
                                        
Bezug
Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Fr 04.02.2005
Autor: Sue20

Hallo,

ich komme bei b) nicht auf r=0.

Hier meine Rechnung:

r=lim(k gegen unendlich) [mm] |(c_{k})/(c_{k+1})| [/mm] = (1/3! [mm] (k/2)^k)/(1/3! [/mm] ((k+1)/2))^(k+1)

= [mm] ((k/2)^k)/(((k+1)/2)^{k+1}) [/mm]

= [mm] ((k/2)^k)/(((k+1)/2)^k*((k+1)/2)) [/mm]

= [mm] ((k^k)/(2^k))/(((k+1)^k)/(2^k)*((k+1)/2))) [/mm]

[mm] 2^k [/mm] kürzen

= [mm] (2k^k)/(((k+1)^k)*(k+1)) [/mm]

= [mm] 2/((((k+1)/k)^k)*(k+1)) [/mm]

= [mm] 2/(((1+(1/k))^k)*(k+1)) [/mm] hier komme ich nicht weiter

(k gegen unendlich) -> 2/e ...

Bezug
                                                
Bezug
Potenzreihen: Schlecht lesbar...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Sa 05.02.2005
Autor: e.kandrai

Wirklich nachrechnen konnte ich nicht alles, da es wegen den vielen Klammern doch ziemlich schlecht lesbar ist. Aber wenn ich diesen Faktor 2, den Hugo ausgeklammert hat, gleich weglasse, dann komm ich auf ein ähnliches Ergebnis wie du (bis auf einen Faktor 2, der aber hier eh nicht wichtig ist).

Ich nehme an, die letzte Zeile sollte bei dir heißen:

[mm]\bruch{2}{(1+\bruch{1}{k})^k \cdot (k+1)}[/mm].

Für [mm]k \to \infty[/mm] geht der Faktor [mm](1+\bruch{1}{k})^k[/mm] tatsächlich [mm]\to e[/mm], aber da gibt's ja noch den Faktor [mm](k+1)[/mm], der [mm]\to \infty[/mm] geht.

Somit geht der deine letzte Zeile [mm]\to \bruch{2}{e \cdot \infty} \to 0[/mm], was dann auch dein Konvergenzradius ist.

Bezug
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