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Potenzreihen: Konvergenzradius bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:47 Fr 25.12.2009
Autor: ftm2037

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe: (korrigierte Version)


Bestimme den Konvergenzradius von den Potenzreihen
1) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n [/mm]

2) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2^n}{n} x^{3n} [/mm]

3) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(x+2)^{n^{2}}}{5^n} [/mm]

4) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n^2(x-1)^n}{n!} [/mm]

Meine Lösung lautet:

1) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(2n)!}{n! n!} x^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)n!}{ n(n-1)(n-2)...(n-n+1) n!} x^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)} x^n [/mm]

[mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|\bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)}|} [/mm] =  [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{(2n)^{n}+...}{n^{n}+...}} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{(2n)^{n}}{n^{n}}} =\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{2n}{n} [/mm] = 2

Also R = 0,5

2) [mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] =  [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{2^{n}}{n}|} [/mm] =  2  [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} [/mm] = 2 [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} n^{ \bruch{1}{n}} [/mm] = 0
Also R = [mm] \infty [/mm]

Die Frage ist, rechnet man den Radius anders wenn das [mm] x^{n} [/mm] statt [mm] x^{3n} [/mm] wäre? Was für Unterschied macht diese 3n?

3)  [mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] =  [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{1}{5^{n}}|} =\bruch{1}{5} [/mm]

Also R = 5
Aber was ist mit [mm] (x+2)^{n^{2}}? [/mm] Ändert das den Konvergenzradius? Kann man sagen, [mm] (x+2)^{n^{2}} [/mm] konvergiert wenn (x+2)<1 ist, d.h. x<-1? Wenn das so wäre, was ist der Zusammenhang zwischen x<-1 und R = 5? Ich verstehe nicht, wann diese Potenzreihe konvergiert.

4) [mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] =  [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{n^{2}}{n!}|} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n^{2}}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)}} [/mm] =  [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{(n-1)(n-2)...(n-n+1)}} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}+...} = \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n^{2}}{n^{n}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{1}{n}.n^{\bruch{2}{n}}}= [/mm] 0*1= 0

Also R [mm] =\infty [/mm]

Bin mir nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind.  Ich wäre für jede Erklärung sehr dankbar.

Grüße



        
Bezug
Potenzreihen: 1), 2) und 4)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Sa 26.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo ftm2037,

> Hallo,
>  
> ich habe folgende Aufgabe:
>  
>
> Bestimme den Konvergenzradius von den Potenzreihen

Achte auf die Laufindizes, die Reihe laufen doch für $n=0$ bis [mm] $\infty$ [/mm]

>  1) [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ n} x^n[/mm]
>  
> 2) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2^n}{n} x^{3n}[/mm]
>  
> 3) [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{(x+2)^{n^{2}}}{5^n}[/mm]
>  
> 4) [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{n^2(x-1)^n}{n!}[/mm]
>  
> Meine Lösung lautet:
>  
> 1) [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ n} x^n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{(2n)!}{n! n!} x^n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)n!}{ n(n-1)(n-2)...(n-n+1) n!} x^n[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)} x^n[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> =
> [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|\bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(2n-n+1)}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)}|}[/mm]
> =  [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{(2n)^{n}+...}{n^{n}+...}}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{(2n)^{n}}{n^{n}}} =\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{2n}{n}[/mm]
> = 2

Hmm, ich komme da mit der Formel [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\vektor{2n+2\\n+1}}{\vektor{2n\\n}}$ [/mm] auf $r=4$, mithin Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}=\frac{1}{4}$ [/mm]

>  
> Also R = 0,5
>  
> 2) [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> =  [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{2^{n}}{n}|}[/mm]
> =  2  [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}}[/mm] [ok]
> = 2 [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} n^{ \bruch{1}{n}}[/mm] [ok]
> = 0 [notok]

Es ist doch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$, [/mm] also hier [mm] $R=\frac{1}{2}$ [/mm]

>  Also R = [mm]\infty[/mm]
>  
> Die Frage ist, rechnet man den Radius anders wenn das [mm]x^{n}[/mm]
> statt [mm]x^{3n}[/mm] wäre? Was für Unterschied macht diese 3n?

Nun, es ist [mm] $x^{3n}=\left(x^3\right)^n$ [/mm]

Also konvergiert die Potenzreihe (mit der korrigierten Rechnung) für [mm] $\left|x^3\right|<\frac{1}{2}$, [/mm] also [mm] $|x|<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ [/mm]

>  
> 3)  [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> =  [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{1}{5^{n}}|} =\bruch{1}{5}[/mm]
>  
> Also R = 5
>  Aber was ist mit [mm](x+2)^{n^{2}}?[/mm] Ändert das den
> Konvergenzradius? Kann man sagen, [mm](x+2)^{n^{2}}[/mm] konvergiert
> wenn (x+2)<1 ist, d.h. x<-1? Wenn das so wäre, was ist der
> Zusammenhang zwischen x<-1 und R = 5? Ich verstehe nicht,
> wann diese Potenzreihe konvergiert.
>
> 4) [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> =  [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{n^{2}}{n!}|}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n^{2}}{n(n-1)(n-2)...(n-n+1)}}[/mm]
> =  [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{(n-1)(n-2)...(n-n+1)}}[/mm]
> = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}+...} = \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n^{2}}{n^{n}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{\bruch{n}{n^{n-1}}}= \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{1}{n}.n^{\bruch{2}{n}}}=[/mm]
> 0*1= 0
>  
> Also R [mm]=\infty[/mm] [ok]

Hier habe ich die Rechnung nicht kontrolliert, einfacher ist aber wieder die Formel [mm] $r=\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm]

Gerade wegen der Fakultät, da kürzt sich doch das meiste schön weg!

>  
> Bin mir nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind.  Ich
> wäre für jede Erklärung sehr dankbar.
>  
> Grüße
>  
>  

LG

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Potenzreihen: 3)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:35 Sa 26.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> 3) [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x+2)^{n^{2}}}{5^n}$ [/mm]

> 3)  [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
> =  [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|\bruch{1}{5^{n}}|} =\bruch{1}{5}[/mm]
>  
> Also R = 5
>  Aber was ist mit [mm](x+2)^{n^{2}}?[/mm] Ändert das den
> Konvergenzradius? Kann man sagen, [mm](x+2)^{n^{2}}[/mm] konvergiert
> wenn (x+2)<1 ist, d.h. x<-1? Wenn das so wäre, was ist der
> Zusammenhang zwischen x<-1 und R = 5? Ich verstehe nicht,
> wann diese Potenzreihe konvergiert.
>

Berechne [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[\red{n^2}]{\left|\frac{1}{5^n}\right|}$ [/mm]

Das ist [mm] $=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{5^{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{1}=1$ [/mm]

Also Konvergenzradius $R=1$ und du hat Konvergenz für $|x+2|<1$, also [mm] $x\in(-3,-1)$ [/mm] und entsprechend Divergenz für $|x+2|>1$.

Wie es an den Randpunkten $x=-3, x=-1$ aussieht, kannst du ja spaßeshalber mal prüfen, ist aber nicht gefragt, du sollst ja "lediglich" den K-Radius bestimmen ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:39 Sa 26.12.2009
Autor: ftm2037

Sorry, ich habe auf Index nicht geachtet. Jetzt ist aber korrigiert.

zu 1):

Ich habe auch mit der anderen Formel [mm] \bruch{1}{4} [/mm] rausbekommen. Verstehe aber den Unterschied nicht.

zu 2):

Ja, da ist ein Fehler. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{\bruch{1}{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1}=1 [/mm]
Also dann  R = [mm] \wurzel[3]{0,5} [/mm]

zu 3):

Ich verstehe nicht warum [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n^{2}]{\bruch{1}{5^{n}}} [/mm] ? Wieso [mm] n^{2}? [/mm]

zu 4):

Das interessiert mich einfach dieser Zusammenhang zwischen R und x_Bereich.

Danke für die Antwort.

Grüße

Bezug
                
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Sa 26.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Sorry, ich habe auf Index nicht geachtet. Jetzt ist aber
> korrigiert.

Ok ;-)

>
> zu 1):
>  
> Ich habe auch mit der anderen Formel [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> rausbekommen. Verstehe aber den Unterschied nicht.

Welchen Unterschied?

Zwischen den beiden Berechnungsweisen?

Nun, du kannst immer die Formel von Cauchy-Hadamard benutzen, die du auch durchgehend verwendet hast. Sie ist angelehnt an und hergeleitet aus dem Wurzelkriterium für "gewöhnliche" Reihen.

Alternativ kannst du [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] berechnen in Anlehnung an das Quotientenkriterium.

Der Konvergenzradius ist dann [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}:=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$ [/mm]

Diese Formel kannst du aber nicht immer hernehmen, der Quotient [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] muss schon definiert sein.

Wenn du sie aber verwenden kannst, ist sie oftmals einfacher als Cauchy-Hadamard, etwa bei der Reihe mit der Fakultät oder der ersten mit den Binomialkoeffizienten.

Du kannst dir ja mal allg. für eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$ [/mm] die letztere Formel aus dem QK herleiten ...

>  
> zu 2):
>
> Ja, da ist ein Fehler. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{\bruch{1}{n}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1}=1[/mm]
>  Also dann  R = [mm]\wurzel[3]{0,5}[/mm] [ok]


Jo, steht ja auch schon oben ...

>  
> zu 3):
>  
> Ich verstehe nicht warum [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n^{2}]{\bruch{1}{5^{n}}}[/mm]
> ? Wieso [mm]n^{2}?[/mm]

Deine Reihe hat so wie sie dasteht nicht die Form einer Potenzreihe wegen des "hoch [mm] n^2" [/mm]

Substituiere [mm] $n^2:=k$, [/mm] dann hast du [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5^{\sqrt{k}}}\cdot{}(x+2)^k$, [/mm] also eine Potenzreihe wie sie im Buche steht (der Form nach ;-))

Hier berechnest du gem. Cauchy-Hadamard doch [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{1}{5^{\sqrt{k}}}\right|}$ [/mm]

Was dasselbe ist wie [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac{1}{5^n}}$ [/mm]

>  
> zu 4):
>  
> Das interessiert mich einfach dieser Zusammenhang zwischen
> R und x_Bereich.

Na, was sagt denn Cauchy-Hadamard über die Konvergenz von [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$, [/mm] wenn du den Konvergenzradius R berechnet hast?

Doch Konvergenz für [mm] $|x-x_0|
Hier hast du [mm] $R=\infty$, [/mm] also Konvergenz für [mm] $|x-1|<\infty$ [/mm]

Das sind alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ...

Nehmen wir nochmal ein Bsp.

Nehmen wir an, in der ersten Potenzreihe würde statt [mm] $x^n$ [/mm] eher [mm] $(x+3)^n$ [/mm] stehen.

Es ergäbe sich natürlich derselbe Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{4}$ [/mm] und du hättest gewiss Konvergenz für [mm] $|x+3|<\frac{1}{4}$, [/mm] also für $-3,25<x<-2,75$ und gewiss Divergenz für [mm] $|x+3|>\frac{1}{4}$, [/mm] also für $x<-3,25$ und $x>-2,75$

Wie es an den Randpunkten aussieht, muss man separat untersuchen, aber das habe ich oben ja schon geschrieben.

Da du hier nur den Konvergenzradius berechnen musst, ist das aber nebensächlich.

>
> Danke für die Antwort.
>  
> Grüße


LG

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Potenzreihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 So 27.12.2009
Autor: ftm2037

Danke für die Hilfe!

Grüße

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