Potenzreihen - Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Bestimme alle x [mm] \in \IR [/mm] für die die Potenzreihe konervgiert :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+4}} [/mm] * [mm] (x+3)^n [/mm] |
Hallo :)
Ich habe folgendes gemacht . . .
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{\wurzel{n+4}} [/mm] + [mm] 3^n
[/mm]
. . . und habe als Ergebnis " für |x| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert die Potenzreihe " heraus.
Ist das so korrekt ?
Vielen Dank im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bilmem!
Das ist aber schon etwas gruselig ... ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Das stimmt überhaupt nicht, da im Allgemeinen gilt:
[mm](a+b)^n \ \red{\not=} \ a^n+b^n[/mm]
Denke allein mal an die binomischen Formeln (was dem Fall $n \ = \ 2$ entspricht).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
Hmm wie sollte ich dann an die Aufgabe rangehen? :S
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Hallo,
berechne den Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] mit Cauchy-Hadamard.
Dann hast du Konvergenz für [mm] $|x+3|<\rho$ [/mm] und Divergenz für [mm] $|x+3|>\rho$
[/mm]
Für die Randpunkte [mm] $|x+3|=\rho$ [/mm] musst du das durch Einsetzen der beiden in Frage kommenden $x$-Werte in die Reihe separat prüfen, ob das Biest konv. oder div. ist.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+4}}
[/mm]
Dann müsste ich doch [mm] a_n [/mm] in r= [mm] \bruch{1}{ \limes_{n\rightarrow\infty} sup (\wurzel[n]{|a_n|})} [/mm] einsetzen ?
Ich habe überhaupt keine Ahnung :(
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Hallo nochmal,
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+4}}[/mm]
>
>
> Dann müsste ich doch [mm]a_n[/mm] in r= [mm]\bruch{1}{ \limes_{n\rightarrow\infty} sup (\wurzel[n]{|a_n|})}[/mm]
> einsetzen ?
Jo!
>
> Ich habe überhaupt keine Ahnung :(
Was ist denn [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{n+4}}[/mm] ?
Wenn du das hast, ist der Rest doch nicht mehr schwer ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
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> Was ist denn [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{n+4}}[/mm]
> ?
>
r = [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} +4 }
[/mm]
so ?
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Hallo Bilmem,
> >
> > Was ist denn [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{n+4}}[/mm]
> > ?
> >
>
>
> r = [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} +4 }[/mm]
Nein, sehr falsch, ich wiederhole die Frage:
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{n+4}}=??[/mm]
>
> so ?
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe jetzt folgendes:
[mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\wurzel{n}+2} }
[/mm]
Weiter weiß ich auch nicht :(
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Hallo bilmem,
> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\wurzel{n}+2} }[/mm]
Nein, so kommen wir nicht weiter.
[mm] \sqrt[n]{\sqrt{n+4}}=\sqrt[2n]{n+4}=\sqrt{\sqrt[n]{n+4}}
[/mm]
Und nun noch ein Tipp:
[mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1
[/mm]
Also, was ist [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{n+4}} [/mm] ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
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> Also, was ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{n+4}}[/mm]
> ?
>
> LG
=1 ?
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> >
> > Also, was ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{n+4}}[/mm]
> > ?
> >
> > LG
>
>
>
> =1 ?
>
hallo,
gut geraten!
aber sobald die grundrechenregeln nicht mehr vertraut sind, macht es hier nicht mehr viel sinn im neben rumzustochern
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
>
> hallo,
> gut geraten!
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> aber sobald die grundrechenregeln nicht mehr vertraut sind,
> macht es hier nicht mehr viel sinn im neben rumzustochern
>
> gruß tee
>
Das war nicht geraten!
Also ist das Ergebnis wie folgt:
wenn |x+3| < 1 ist, kovergiert die Potenzreihe ?!?
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> >
> > hallo,
> > gut geraten!
> >
> > aber sobald die grundrechenregeln nicht mehr vertraut sind,
> > macht es hier nicht mehr viel sinn im neben rumzustochern
> >
> > gruß tee
> >
>
>
> Das war nicht geraten!
>
> Also ist das Ergebnis wie folgt:
>
> wenn |x+3| < 1 ist, kovergiert die Potenzreihe ?!?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
gruß tee
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Hallo Bilmem,
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> >
> > hallo,
> > gut geraten!
> >
> > aber sobald die grundrechenregeln nicht mehr vertraut sind,
> > macht es hier nicht mehr viel sinn im neben rumzustochern
> >
> > gruß tee
> >
>
>
> Das war nicht geraten!
>
> Also ist das Ergebnis wie folgt:
>
> wenn |x+3| < 1 ist, kovergiert die Potenzreihe ?!?
Und für [mm]|x+3|>1[/mm] divergiert sie.
Damit ist es aber noch nicht getan.
Wie ich weiter oben schon schrieb bleibt der Rand zu untersuchen, also die beiden [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x+3|=1[/mm]
Dort weiß man per se noch nix über Konvergenz/Divergenz der Reihe, beides ist möglich.
Du musst die entsprechenden x-Werte in die Reihe einsetzen und dann auf Konvergenz prüfen ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe jetzt folgendes:
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> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\wurzel{n}+2} }[/mm]
Ich ahne , wie Du gerechnet hast:
[mm] $\wurzel{n+4}=\wurzel{n}+2$.
[/mm]
Au weia, bei Dir ist wohl alles linear ! Dass das Unsinn ist, hat man Dir doch schon oben gesagt
FRED
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> Weiter weiß ich auch nicht :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
Was hat das n=0 eigentlich zu bedeuten ? Ich muss eine weitere Aufgabe lösen und dort ist für n 1 gegeben :S
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> Was hat das n=0 eigentlich zu bedeuten ? Ich muss eine
> weitere Aufgabe lösen und dort ist für n 1 gegeben :S
das ist der startwert des laufindex
http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^n*n^2} [/mm] * [mm] (x+3)^n
[/mm]
Worauf muss ich hier jetzt achten ?
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^n*n^2}[/mm] * [mm](x+3)^n[/mm]
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> Worauf muss ich hier jetzt achten ?
auf nix besonderes. nimm wieder das wurzelkriterium oder mal das quotientenkriterium
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe die Aufgabe mit dem Wurzelkriterium gelöst und habe folgendes raus :
|x+3| [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \bruch{1}{3^n^+^1(n+1)^2 * \bruch{3^n * n^2}{1} } [/mm] < 1
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> Ich habe die Aufgabe mit dem Wurzelkriterium gelöst und
> habe folgendes raus :
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> |x+3| [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\bruch{1}{3^n^+^1(n+1)^2 * \bruch{3^n * n^2}{1} }[/mm] < 1
wurzelkriterium? du scheinst da alles zusammengewürfelt zu haben was geht (naja, bis auf fakultäten)
gruß tee
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