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| Aufgabe | bestimmen Sie den Kovergenzradius R der Folgenden Potenzreihen und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in den Punkten R und -R für a) und b):
a) [mm] \summe_{}^{} n^{k}T^{n} [/mm] (k [mm] \in [/mm] IN)
b) [mm] \summe_{}^{} \bruch{T^{n!}}{n!}
[/mm]
c) [mm] \summe_{}^{} \vektor{2n \\ n}T^{n}
[/mm]
d) [mm] \summe_{}^{} \bruch{T^{n}}{n^{n}} [/mm] |
Hallo allerseits,
bald gehen die Weihnachtsferien zu Ende, und ich muss mich mal wieder dem Analysis Übungsblatt zuwenden und prompt klappt schon bei der ersten Aufgabe nicht.
Es geht um Potenzreihen und deren Konvergenzradius.
Erst mal die Theorie: Ich kann den Konv.radius auf zwei Arten ausrechnen:
Euler: [mm] R=\bruch{1}{q}, [/mm] q= lim [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
Hadamard: [mm] R=\bruch{1}{L}, [/mm] L= lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}
[/mm]
Teil a) habe ich mit Euler gelöst, kein Problem. R=1 und für T=1 bzw. t=-1 divergiert die Reihe.
Aber bei b) komme ich nicht weiter. Sowohl mit Euler als auch mit Hadamard kommt [mm] R=\bruch{1}{0} [/mm] raus, und das kann ja nicht stimmen.
genauso geht es mit bei den Aufgabe c) und d).
Bei c) hab ich den Binominalkoeffizienten noch umgewandelt:
[mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!}{n! (2n-n)!} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}n!}{n!n!} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}}{n!}
[/mm]
Das sollte mir eigentlich beim ausrechnen helfen, aber es kommt wie gesagt [mm] \bruch{1}{0} [/mm] raus.
Vielleicht könnt ihr mit bei Tel b) helfen? Der Rest sollte dann gehen, denn ich mache wahrscheinlich überall den selben Fehler.
Viele Dank!
Viele Grüße,
Sara
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> bestimmen Sie den Kovergenzradius R der Folgenden
> Potenzreihen und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in
> den Punkten R und -R für a) und b):
>
> a) [mm]\summe_{}^{} n^{k}T^{n}[/mm] (k [mm]\in[/mm] IN)
> b) [mm]\summe_{}^{} \bruch{T^{n!}}{n!}[/mm]
> c) [mm]\summe_{}^{} \vektor{2n \\ n}T^{n}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{}^{} \bruch{T^{n}}{n^{n}}[/mm]
> Hallo allerseits,
>
> bald gehen die Weihnachtsferien zu Ende, und ich muss mich
> mal wieder dem Analysis Übungsblatt zuwenden und prompt
> klappt schon bei der ersten Aufgabe nicht.
>
> Es geht um Potenzreihen und deren Konvergenzradius.
> Erst mal die Theorie: Ich kann den Konv.radius auf zwei
> Arten ausrechnen:
>
> Euler: [mm]R=\bruch{1}{q},[/mm] q= lim [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
> Hadamard: [mm]R=\bruch{1}{L},[/mm] L= lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]
>
> Teil a) habe ich mit Euler gelöst, kein Problem. R=1 und
> für T=1 bzw. t=-1 divergiert die Reihe.
richtig
> Aber bei b) komme ich nicht weiter. Sowohl mit Euler als
> auch mit Hadamard kommt [mm]R=\bruch{1}{0}[/mm] raus, und das kann
> ja nicht stimmen.
Wie hast du das gemacht, die Formeln gelten doch für [mm] a_nx^n [/mm] nicht [mm] a_{n!}*x^{n!}
[/mm]
Ich seh nur direkt, dass die für |T|>1 divergiert, für |T|<1konvergiert, also R=1
> genauso geht es mit bei den Aufgabe c) und d).
>
> Bei c) hab ich den Binominalkoeffizienten noch
> umgewandelt:
> [mm]\vektor{2n \\ n}[/mm] = [mm]\bruch{(2n)!}{n! (2n-n)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{2^{n}n!}{n!n!}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n}}{n!}[/mm]
(2n)!=2n*(2n-1)*(2n-2)..... ist NICHT [mm] 2^n*n!
[/mm]
> Das sollte mir eigentlich beim ausrechnen helfen, aber es
> kommt wie gesagt [mm]\bruch{1}{0}[/mm] raus.
Nee hier ist ein anderer Fehler, was du bei b) gemacht hast sagst du ja nicht.
Wenn du ne Korrektur willst, schreib bitte deinen Rechenweg auf, nicht nur ein Ergebnis!
Gruss leduart
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Was ich gemacht habe ist ja falsch weil [mm] T^{n!} [/mm] dasteht.
Erst habe ich das Verfahren nach Euler angewandt:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|= |\bruch{n!}{(n+1)n!}|= |\bruch{1}{n+1}| =\bruch{1}{n+1} [/mm] --> 0
also q=0 und damit [mm] R=\bruch{1}{0}
[/mm]
mit Cauchy Hadamard geht es auch nicht, denn
[mm] \wurzel[n]{|\bruch{1}{n!}|}= \bruch{1}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] --> 0, denn [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] --> [mm] \infty
[/mm]
also L=0 und damit [mm] R=\bruch{1}{0}
[/mm]
> Wie hast du das gemacht, die Formeln gelten doch für
> [mm]a_nx^n[/mm] nicht [mm]a_{n!}*x^{n!}[/mm]
> Ich seh nur direkt, dass die für |T|>1 divergiert, für
> |T|<1konvergiert, also R=1
also muss ich die Potenzreihe irgenwie umformen das nur noch [mm] T^{n} [/mm] dasteht?
[mm] a_{n!}=\bruch{1}{n!} [/mm]
Ich weiß nicht wie man hier weiter vorgeht.
Viele Grüße,
Sara
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich würd einfach zeigen, dass es für T>1 div. und für T<1 konvergiert.
zum ersten: für jedes T>1 gibt es ein N ab dem die Summanden wachsen,
zum 2. majorante finden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Fr 05.01.2007 | | Autor: | kampfsocke |
Ich kanns leider immernoch nicht lösen.
Aber trotzdem, vielen Danke dass du versucht hast mir zu helfen.
Viele Grüße,
Sara
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