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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Potenzreihen entwicklung
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Potenzreihen entwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Sa 13.04.2013
Autor: quasimo

Aufgabe
Finde die Potenzreihenentwicklung von
[mm] \frac{1}{1+z^2}, \frac{1}{2-3z}, \frac{1}{(1-z)^2} [/mm]

hallo
Eine Potenzreihe hat die Gestalt
[mm] f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k*(z-z_0)^k [/mm]
bei Entwicklung an der Stelle [mm] z_0 [/mm]
bzw.
[mm] f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k*z^k [/mm]
bei Entwicklung an der Stelle 0

f(z)= [mm] \frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1-(-z^2)} [/mm]
für [mm] |z^2| [/mm] < 1
[mm] =\sum_{k=0}^\infty (-z^2)^k [/mm]
Wie hat das nun die obere Gestalt?

[mm] \frac{1}{2-3z} [/mm] =2* [mm] \frac{1}{1-6z} [/mm]
für | 6z|<1
2 [mm] \sum_{k=0}^\infty (6z)^k [/mm] =2 [mm] \sum_{k=0}^\infty (2*3)^k z^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty 2^{k+1} 3^k z^k [/mm]
Hier ist es ja auch nicht ganz die obige gestalt?
Mussen ich immer am Punkt 0 enwickeln?

Könnt ihr mir einen Tipp zum dritten geben?

        
Bezug
Potenzreihen entwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Sa 13.04.2013
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> Finde die Potenzreihenentwicklung von
>  [mm]\frac{1}{1+z^2}, \frac{1}{2-3z}, \frac{1}{(1-z)^2}[/mm]
>  hallo
>  Eine Potenzreihe hat die Gestalt
>  [mm]f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k*(z-z_0)^k[/mm]
>  bei Entwicklung an
> der Stelle [mm]z_0[/mm]
>  bzw.
>  [mm]f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k*z^k[/mm]
>  bei Entwicklung an der
> Stelle 0
>  
> f(z)= [mm]\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1-(-z^2)}[/mm]
>  für [mm]|z^2|[/mm] < 1
>  [mm]=\sum_{k=0}^\infty (-z^2)^k[/mm]
> Wie hat das nun die obere Gestalt?
>  


Um obige Gestalt zu erreichen,
sind die Koeffizienten entsprechend zu definieren:

[mm]a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right[/mm]


> [mm]\frac{1}{2-3z}[/mm] =2* [mm]\frac{1}{1-6z}[/mm]
>  für | 6z|<1
>  2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (6z)^k[/mm] =2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (2*3)^k z^k[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^\infty 2^{k+1} 3^k z^k[/mm]
>  Hier ist es ja auch
> nicht ganz die obige gestalt?


Das ist schin in der obigen Gestalt.


>  Mussen ich immer am Punkt 0 enwickeln?
>  


Nein, sofern nichts anderes vorgegeben ist der Punkt 0.


> Könnt ihr mir einen Tipp zum dritten geben?


Bestimme die Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm]

Dann gibt es 2 Möglichkeiten, um an die geforderte Potenzreihe zu gelangen:

a) Multipliziere die berechnete Potenzreihe mit sich selbst.

b) Differenziere die gegebene Potenzreihe.
   Das darfst Du aber nur innerhalb des Konvergenzbereiches.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Potenzreihen entwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Sa 13.04.2013
Autor: quasimo


> Um obige Gestalt zu erreichen,
>  sind die Koeffizienten entsprechend zu definieren:
>  
> [mm]a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right[/mm]

Ah du schreibst es um auf:
[mm] \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (z^{2k}) [/mm]


> > [mm]\frac{1}{2-3z}[/mm] =2* [mm]\frac{1}{1-6z}[/mm]
>  >  für | 6z|<1
>  >  2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (6z)^k[/mm] =2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (2*3)^k z^k[/mm]
> > = [mm]\sum_{k=0}^\infty 2^{k+1} 3^k z^k[/mm]
>  >  Hier ist es ja
> auch
> > nicht ganz die obige gestalt?
>  
>
> Das ist schin in der obigen Gestalt.

-> [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^{n-1} 3^n [/mm]


> Bestimme die Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm]

f(z)= [mm] \frac{1}{1-z} [/mm]
für |z| < 1
[mm] \sum_{k=0}^\infty z^k [/mm]
[mm] \frac{1}{1-z} *\frac{1}{1-z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty z^k [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^\infty z^k [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^m z^n [/mm] * [mm] z^{m-n} [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^m z^m [/mm] = (m+1) [mm] z^m [/mm]
-> [mm] a_n [/mm] = n+1

Bezug
                        
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Potenzreihen entwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 So 14.04.2013
Autor: fred97


> > Um obige Gestalt zu erreichen,
>  >  sind die Koeffizienten entsprechend zu definieren:
>  >  
> > [mm]a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right[/mm]
>  
> Ah du schreibst es um auf:
>  [mm]\sum_{k=0}^\infty (-1)^k (z^{2k})[/mm]
>  
>
> > > [mm]\frac{1}{2-3z}[/mm] =2* [mm]\frac{1}{1-6z}[/mm]
>  >  >  für | 6z|<1
>  >  >  2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (6z)^k[/mm] =2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (2*3)^k z^k[/mm]
> > > = [mm]\sum_{k=0}^\infty 2^{k+1} 3^k z^k[/mm]
>  >  >  Hier ist es
> ja
> > auch
> > > nicht ganz die obige gestalt?
>  >  
> >
> > Das ist schin in der obigen Gestalt.
>  -> [mm]a_n[/mm] = [mm]2^{n-1} 3^n[/mm]

>  
>
> > Bestimme die Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm]
>  f(z)= [mm]\frac{1}{1-z}[/mm]
>  für |z| < 1
>  [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k[/mm]
>  [mm]\frac{1}{1-z} *\frac{1}{1-z}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k[/mm] * [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k[/mm] =
> [mm]\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^m z^n[/mm] * [mm]z^{m-n}[/mm] =
> [mm]\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^m z^m[/mm] = (m+1) [mm]z^m[/mm]
>  -> [mm]a_n[/mm] = n+1


Am Ende muß doch stehen

.... =  [mm] \sum_{m=0}^\infty [/mm] (m+1) [mm]z^m[/mm]

fred

Bezug
        
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Potenzreihen entwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Sa 13.04.2013
Autor: quasimo

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo, noch eine Frage bezüglich des Konvergenzradius:

> $ a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right $

Also ist der Konvergenzradius automatisch 0 weil wenn n ungerade ist der Koeffizient 0 und bei geraden wechselt das Vorzeichen das Koeffizienten.?

Bezug
                
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Potenzreihen entwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 So 14.04.2013
Autor: fred97


> Hallo, noch eine Frage bezüglich des Konvergenzradius:
>  > [mm]a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right[/mm]

>  
> Also ist der Konvergenzradius automatisch 0 weil wenn n
> ungerade ist der Koeffizient 0 und bei geraden wechselt das
> Vorzeichen das Koeffizienten.?

Unsinn. Der Konvergenzradius r ist



   $ [mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. [/mm] $

FRED


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Potenzreihen entwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 So 14.04.2013
Autor: quasimo

Hallo
> $ [mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. [/mm] $

Ja aber was setzte ich nun ein? 0 oder 1 für [mm] |a_n| [/mm] ?

Bezug
                                
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Potenzreihen entwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 So 14.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

 > Hallo

> >
> [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.[/mm]
> Ja aber was setzte ich nun ein? 0 oder 1 für [mm]|a_n|[/mm] ?

Du hast schon richtig erkannt, dass gilt

[mm] $\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad \mbox{n ungerade}\\ 1, \quad \mbox{n gerade}\end{cases}.$ [/mm]

Du "setzt" jetzt gar nichts davon ein! Du hast eine Folge vorgegeben, und musst den Limes Superior von dieser Folge bestimmen. Du kannst WEDER 0 NOCH 1 für die ganze Folge einsetzen, weil diese Folge nicht NUR 0 oder NUR 1 annimmt.

Also: Was ist der Limes Superior einer Folge, welche zwischen den Werten 0 und 1 alterniert?

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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