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| Aufgabe | Bestimme die Potenzreihen und den Konvergenzradius von:
(a) f(z) = [mm] \bruch{1-z}{1+z} [/mm] in [mm] \gamma [/mm] =0 und [mm] \gamma=1,
[/mm]
(b) f(z) = [mm] \bruch{cos z-1}{z^{2}} [/mm] in [mm] \gamma [/mm] =0 |
Hallo,
also ich habe momentan meine schwierigkeiten mit solchen Aufgaben, könnt ihr mir vielleicht ein paar tipps geben, wie ich am besten vorgehen sollte.
Danke schon mal.
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Hallo,
> Bestimme die Potenzreihen und den Konvergenzradius von:
> (a) f(z) = [mm]\bruch{1-z}{1+z}[/mm] in [mm]\gamma[/mm] =0 und [mm]\gamma=1,[/mm]
> (b) f(z) = [mm]\bruch{cos z-1}{z^{2}}[/mm] in [mm]\gamma[/mm] =0
> Hallo,
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> also ich habe momentan meine schwierigkeiten mit solchen
> Aufgaben, könnt ihr mir vielleicht ein paar tipps geben,
> wie ich am besten vorgehen sollte.
worin bestehen denn deine Schwierigkeiten? Das solltest du in jedem Fall näher ausführen!
Fange doch mal mit Aufgabe b) an. Die Potenzreihe der komplexen Kosinusfunktion kennst du? Was passiert mit dieser Reihe, wenn man
- 1 subtrahiert
- durch [mm] z^2 [/mm] dividiert
?
Jetzt davon noch den Konvergenzradius 'ausrechnen' (kennen solltest du ihn bereits!) und du bist hier fertig.
Bei Aufgabe a) musst du den Funktionsterm zusätzlich zuerst noch in eine Potenzreihe entwickeln, ist dir da vielleiocht etwas unklar dabei?
Gruß, Diophant
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Ok. Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann müsste diie Potenzreihe von b so lauten :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{-1^{n}*z^{n}}{(2n)!}-\bruch{(2n)!}{(2n)!*z^{2}}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{-1^{n}*z^{n}}{(2n)!}-\bruch{1}{z^{2}}
[/mm]
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Hallo Mathelady,
> Ok. Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann müsste
> diie Potenzreihe von b so lauten :
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{-1^{n}*z^{n}}{(2n)!}-\bruch{(2n)!}{(2n)!*z^{2}}[/mm]
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> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{-1^{n}*z^{n}}{(2n)!}-\bruch{1}{z^{2}}[/mm]
>
Es ist [mm]\cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n}}{(2n)!}[/mm]
Also [mm]\cos(z)-1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n}}{(2n)!}[/mm]
Damit [mm]\frac{\cos(z)-1}{z^2}=\frac{1}{z^2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n}}{(2n)!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n-2}}{(2n)!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{\left(z^2\right)^{n-1}}{(2n)!}[/mm]
[mm]=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{\left(z^2\right)^n}{(2n+2)!}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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