Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie mittels Potenzreihenansatz (Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] und Koeffizientenvergleich eine zweiparametrige Schar von Lösungen der linearen Differentialgleichung
[mm] (x^2+3)*y''(x)=2*y(x) [/mm] |
Ansatz:
[mm] y(x)=\sum\limits_{k=0}^{inf} a_k [/mm] * [mm] x^k [/mm]
[mm] y'(x)=\sum\limits_{k=1}^{inf} [/mm] k * [mm] a_k [/mm] * [mm] x^{k-1}
[/mm]
[mm] y''(x)=\sum\limits_{k=2}^{inf} [/mm] k * (k-1) * [mm] a_k [/mm] * [mm] x^{k-2}
[/mm]
-> Einsetzen
[mm] (x^2+3)*(\sum\limits_{k=2}^{inf} [/mm] k * (k-1) * [mm] a_k [/mm] * [mm] x^{k-2})-2*(\sum\limits_{k=0}^{inf}a_k [/mm] * [mm] x^k)=0
[/mm]
-> Klammern auflösen
[mm] x^2*(\sum\limits_{k=2}^{inf} [/mm] k * (k-1) * [mm] a_k [/mm] * [mm] x^{k-2})+3*(\sum\limits_{k=2}^{inf} [/mm] k *(k-1) * [mm] a_k [/mm] * [mm] x^{k-2})-2*(\sum\limits_{k=0}^{inf} a_k [/mm] * [mm] x^k)=0
[/mm]
-> Faktoren in die Summe reinziehen
[mm] (\sum\limits_{k=2}^{inf} [/mm] k * (k-1) * [mm] a_k [/mm] * [mm] x^{k})+(\sum\limits_{k=2}^{inf} [/mm] 3*k * (k-1) [mm] *a_k [/mm] * [mm] x^{k-2})-(\sum\limits_{k=0}^{inf} [/mm] 2* [mm] a_k [/mm] * [mm] x^k)=0
[/mm]
-> Indizes durch n ersetzen, sodass nur noch [mm] x^n [/mm] vorkommt
[mm] (\sum\limits_{n=2}^{inf} [/mm] n * (n-1) * [mm] a_n [/mm] * [mm] x^{n})+(\sum\limits_{n=0}^{inf} [/mm] 3* (n+2) *(n+1) * [mm] a_{n+2} [/mm] * [mm] x^{n})-(\sum\limits_{n=0}^{inf} [/mm] 2* [mm] a_n [/mm] * [mm] x^n)=0
[/mm]
-> einzelne Summanden rausziehen, damit alle Indizes bei 2 starten
[mm] -2a_0+6a_2+(-2a_1+18a_3)x+(\sum\limits_{n=2}^{inf} [a_n [/mm] * [mm] (n^2-n-2)+3a_{n+2}*(n+1)(n+2)]*x^n)=0
[/mm]
SOWEIT BIN ICH BIS JETZT GEKOMMEN!
Nun weiß ich nicht weiter, da ich nicht wirklich den Koeffizientenvergleich verstehe :(
Meine Vermutung/Ansatz ist folgender:
Der Ausdruck in der eckigen Klammer muss gleich NULL sein, welche ich umforme:
[mm] a_{n+2}=\frac{2-n}{3n+2} [/mm] * [mm] a_n
[/mm]
Da der Rest von der Gleichung auch NULL werden muss, gehe ich davon aus, dass:
[mm] a_0 [/mm] , [mm] a_1 [/mm] , [mm] a_2 [/mm] , [mm] a_3 [/mm] = 0
sein müssen. Ist das richtig? Wofür ist aber dieser Entwicklungspunkt?! Ich denke mir mal, dass ich den hier irgendwie verwenden soll! :/
Mit Freundlichen Grüßen
Mathematico
PS: Danke für Eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) MatheBoard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Sa 03.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
damit ein Polynom für ALLE x=0 ist müssen die Koeffizienten vor allen x- Potenzen 0 sein- also das absolute Glied, das mit x, das mit [mm] x^2 [/mm] usw.
Gruß leduart
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Also alle Glieder müssen gleich 0 sein?
$ [mm] -2a_0+6a_2+(-2a_1+18a_3)x+(\sum\limits_{n=2}^{inf} [a_n [/mm] * [mm] (n^2-n-2)+3a_{n+2}\cdot{}(n+1)(n+2)]\cdot{}x^n)=0 [/mm] $
[mm] x^0: -2a_0+6a_2=0
[/mm]
[mm] x^1: -2a_1+18a_3=0
[/mm]
Und muss ich jetzt diese Koeffizienten berechnen? Aber wie? Die Gleichungen haben ja nichts gemeinsam?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 03.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst ja eine 2 parametrische Schar, also kannst du 2 der [mm] a_k [/mm] willkürlich wählen.
z,B [mm] a_0 [/mm] =A und [mm] a_1 [/mm] =B das sind dann deine 2 Parameter.
erst wenn du konkrete Anfangsbed, hast kannst du eine Dgl ohne freie Konstante lösen.
Gruß leduart
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Ahh. Ok. Wusste nicht wirklich wie ich das angehe :) Danke!
Liege ich nun also richtig mit -->
Ansatz: [mm] a_0=A [/mm] , [mm] a_1=B
[/mm]
Nun verwende ich meine Rekursionsformel: $ [mm] a_{n+2}=\frac{2-n}{3n+2} [/mm] * [mm] a_n [/mm] $
$ n=0: [mm] a_2=\bruch{1}{3}A [/mm] $
$ n=1: [mm] a_3=\bruch{1}{5}B [/mm] $
$ n=2: [mm] a_4=0 [/mm] $
$ n=3: [mm] a_5=-\bruch{1}{55}B [/mm] $
Und so weiter...
Wenn ich nun aber die Gleichungen verwende, widerspricht sich hier etwas:
$ [mm] x^0: -2a_0+6a_2=0 [/mm] $ --> $ [mm] -2A+6a_2=0 [/mm] -> [mm] a_2=\bruch{1}{3}A [/mm] $ (gleich)
$ [mm] x^1: -2a_1+18a_3=0 [/mm] $ --> $ [mm] -2B+18a_3=0 [/mm] -> [mm] a_3=\bruch{1}{9}B [/mm] $ (ungleich)
Habe ich einen Fehler gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Sa 03.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe nicht, wie du auf deine Rekursionsformel kommst,
aus den ersten 2 Termen hast du [mm] a_0,a_1,a_2,a_3
[/mm]
danach erst geht es in der Summe weiter mit [mm] n\ge2
[/mm]
(ich hab deine Endformel (alle Summen ab n=2 nicht nachgeprüft.
zur Sicherheit schreib die ersten 4-5 Potenzen aus der Anfangsformel hin und vergleiche.)
Gruss leduart
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So ich habe jetzt einmal bis k=5 gerechnet:
k=0: [mm] -2a_0=0
[/mm]
k=1: [mm] -2a_1*x=0
[/mm]
k=2: [mm] 6a_2=0
[/mm]
k=3: [mm] 4a_3*x^3+18a_3*x=0
[/mm]
k=4: [mm] 10a_4*x^4+36a_4*x^2=0
[/mm]
k=5: [mm] 18a_5*x^5+60a_5*x^6=0
[/mm]
[mm] x^0*(-2a_0+6a_2)+x^1*(-2a_1+18a_3)+x^2*(36a_4)+x^3*(4a_3)+x^4*(10a_4)+x^5*(18a_5)+x^6*(60a_5)=0
[/mm]
Anscheinend ist die Rekursionsformel falsch...
Meine Rekursionsformel habe ich von dieser einen Summe durch Umformung erhalten:
$ [mm] -2a_0+6a_2+(-2a_1+18a_3)x+(\sum\limits_{n=2}^{inf} [a_n [/mm] $ * $ [mm] (n^2-n-2)+3a_{n+2}\cdot{}(n+1)(n+2)]\cdot{}x^n)=0 [/mm] $
Stimmt mein Rechenweg (im allerersten Beitrag) nicht? :/
> $ [mm] (\sum\limits_{k=2}^{inf} [/mm] $ k * (k-1) * $ [mm] a_k [/mm] $ * $ [mm] x^{k})+(\sum\limits_{k=2}^{inf} [/mm] $ 3*k * (k-1) $ [mm] \cdot{}a_k [/mm] $ * $ [mm] x^{k-2})-(\sum\limits_{k=0}^{inf} [/mm] $ 2* $ [mm] a_k [/mm] $ * $ [mm] x^k)=0 [/mm] $
>
> -> Indizes durch n ersetzen, sodass nur noch $ [mm] x^n [/mm] $ vorkommt
>
> $ [mm] (\sum\limits_{n=2}^{inf} [/mm] $ n * (n-1) * $ [mm] a_n [/mm] $ * $ [mm] x^{n})+(\sum\limits_{n=0}^{inf} [/mm] $ 3* (n+2) *(n+1) * $ [mm] a_{n+2} [/mm] $ * $ [mm] x^{n})-(\sum\limits_{n=0}^{inf} [/mm] $ 2* $ [mm] a_n [/mm] $ * $ [mm] x^n)=0 [/mm] $
Habe ich eventuell in diesem Schritt einen Fehler begangen?
PS: Vielen vielen Dank für Ihre Hilfe :)
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Hallo Mathomatico,
> So ich habe jetzt einmal bis k=5 gerechnet:
>
> k=0: [mm]-2a_0=0[/mm]
> k=1: [mm]-2a_1*x=0[/mm]
> k=2: [mm]6a_2=0[/mm]
> k=3: [mm]4a_3*x^3+18a_3*x=0[/mm]
> k=4: [mm]10a_4*x^4+36a_4*x^2=0[/mm]
> k=5: [mm]18a_5*x^5+60a_5*x^6=0[/mm]
>
> [mm]x^0*(-2a_0+6a_2)+x^1*(-2a_1+18a_3)+x^2*(36a_4)+x^3*(4a_3)+x^4*(10a_4)+x^5*(18a_5)+x^6*(60a_5)=0[/mm]
>
> Anscheinend ist die Rekursionsformel falsch...
>
> Meine Rekursionsformel habe ich von dieser einen Summe
> durch Umformung erhalten:
>
> [mm]-2a_0+6a_2+(-2a_1+18a_3)x+(\sum\limits_{n=2}^{inf} [a_n[/mm] *
> [mm](n^2-n-2)+3a_{n+2}\cdot{}(n+1)(n+2)]\cdot{}x^n)=0[/mm]
>
> Stimmt mein Rechenweg (im allerersten Beitrag) nicht? :/
>
> > [mm](\sum\limits_{k=2}^{inf}[/mm] k * (k-1) * [mm]a_k[/mm] *
> [mm]x^{k})+(\sum\limits_{k=2}^{inf}[/mm] 3*k * (k-1) [mm]\cdot{}a_k[/mm] *
> [mm]x^{k-2})-(\sum\limits_{k=0}^{inf}[/mm] 2* [mm]a_k[/mm] * [mm]x^k)=0[/mm]
> >
> > -> Indizes durch n ersetzen, sodass nur noch [mm]x^n[/mm]
> vorkommt
> >
> > [mm](\sum\limits_{n=2}^{inf}[/mm] n * (n-1) * [mm]a_n[/mm] *
> [mm]x^{n})+(\sum\limits_{n=0}^{inf}[/mm] 3* (n+2) *(n+1) * [mm]a_{n+2}[/mm] *
> [mm]x^{n})-(\sum\limits_{n=0}^{inf}[/mm] 2* [mm]a_n[/mm] * [mm]x^n)=0[/mm]
>
> Habe ich eventuell in diesem Schritt einen Fehler begangen?
>
Es sind die Koeffizienten vor den x-Potenzen zu vergleichen.
Diese müssen alle verschwinden.
> PS: Vielen vielen Dank für Ihre Hilfe :)
Gruss
MathePower
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Wenn ich das jetzt richtig verstehe:
Ansatz:
[mm] a_0=A [/mm] , [mm] a_1=B
[/mm]
Somit ist:
[mm] x^0: -2a_0+6a_2=0 [/mm] --> [mm] -2A+6a_2=0 [/mm] --> [mm] a_2=\bruch{1}{3}A
[/mm]
[mm] x^1: -2a_1+18a_3=0 [/mm] --> [mm] -2B+18a_3=0 [/mm] --> [mm] a_3=\bruch{1}{9}B
[/mm]
Und es gilt [mm] a_n=0 [/mm] für $ n>3 $.
Anscheinend dürfte ich mich bei der Umformung auch verrechnet haben, denn jetzt bin ich auf diese Rekursionsformel gekommen:
$ [mm] a_{n+2}=\frac{n^2-n-2}{3n^2+9n+6} \cdot{} (-a_n) [/mm] $
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Hallo Mathomatico,
> Wenn ich das jetzt richtig verstehe:
>
> Ansatz:
> [mm]a_0=A[/mm] , [mm]a_1=B[/mm]
>
> Somit ist:
> [mm]x^0: -2a_0+6a_2=0[/mm] --> [mm]-2A+6a_2=0[/mm] --> [mm]a_2=\bruch{1}{3}A[/mm]
> [mm]x^1: -2a_1+18a_3=0[/mm] --> [mm]-2B+18a_3=0[/mm] -->
> [mm]a_3=\bruch{1}{9}B[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und es gilt [mm]a_n=0[/mm] für [mm]n>3 [/mm].
>
> Anscheinend dürfte ich mich bei der Umformung auch
> verrechnet haben, denn jetzt bin ich auf diese
> Rekursionsformel gekommen:
>
> [mm]a_{n+2}=\frac{n^2-n-2}{3n^2+9n+6} \cdot{} (-a_n)[/mm]
Diese Rekursionsformel stimmt.
Sie führt dann auf
[mm]a_{n+2}=\bruch{n-2}{3\left(n+2\right)}*\left(-a_{n}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Vielen vielen Dank an leduart und MathePower!
Schönen Abend noch!
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