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Potenzreihendarstell. arctan: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Fr 27.05.2016
Autor: Ella

Aufgabe
Bestimmen Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe eine Potenzreihendarstellung für [mm] \bruch{1}{1+u^{2}}, [/mm] u [mm] \in [/mm] (-1,1) .
Verwenden Sie diese um mit Hilfe von dem Satz (unten) eine Potenzreihendarstellung für arctan(x), x [mm] \in [/mm] (-1,1) herzuleiten.

Gemeinter Satz:
Gegeben sei eine Funktionenfolge [mm] (f_{n}) [/mm] auf dem Intervall [a,b], die gleichmäßig gegen die Funktion [mm] f:[a,b]->\IR [/mm] konvergiert.
a) Ist jedes [mm] f_{n} [/mm] integrierbar, so ist auch f integrierbar und es gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\limes_{n\rightarrow\infty} fn(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{fn(x) dx} [/mm]
b) Ist c [mm] \in [/mm] [a,b] fest, so gilt für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]:
[mm] \integral_{c}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{c}^{x}{fn(t) dt} [/mm]

Hallo,

Den ersten Teil der Aufgabe kann ich noch gut nachvollziehen!
Es gilt ja:
[mm] \bruch{1}{1+u^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-(-u^{2})} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-u^{2})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} u^{2n} [/mm]

gilt da [mm] |-u^{2}| [/mm] durch den eingeschränkten Definitionsbereich < 1 ist.

Wenn ich nun die Stammfunktion von dieser Potzenreihe bilden würde, wäre ich ja quasi schon direkt beim arctan(x). (Ergebnis müsste sein: [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} u^{2n+1}}{2n+1} [/mm]

Deswegen ist hierbei mein Problem, wie ich den vorgegebenen Satz einbringen soll. Man kann die Potzenreihe zwar als Funktionenfolge sehen, aber ich verstehe noch nicht den Sinn im Bezug auf die Aufgabe.

Vielen Dank!




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Potenzreihendarstell. arctan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Fr 27.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe eine
> Potenzreihendarstellung für [mm]\bruch{1}{1+u^{2}},[/mm] u [mm]\in[/mm] (-1,1) .
> Verwenden Sie diese um mit Hilfe von dem Satz (unten) eine
> Potenzreihendarstellung für arctan(x), x [mm]\in[/mm] (-1,1)
> herzuleiten.
>
> Gemeinter Satz:
>  Gegeben sei eine Funktionenfolge [mm](f_{n})[/mm] auf dem Intervall
> [a,b], die gleichmäßig gegen die Funktion [mm]f:[a,b]->\IR[/mm]
> konvergiert.
>  a) Ist jedes [mm]f_{n}[/mm] integrierbar, so ist auch f
> integrierbar und es gilt:
>  [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\limes_{n\rightarrow\infty} fn(x) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{fn(x) dx}[/mm]
>  b)
> Ist c [mm]\in[/mm] [a,b] fest, so gilt für alle x [mm]\in[/mm] [a,b]:
> [mm]\integral_{c}^{x}{f(t) dt}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{c}^{x}{fn(t) dt}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> Den ersten Teil der Aufgabe kann ich noch gut
> nachvollziehen!
>  Es gilt ja:
> [mm]\bruch{1}{1+u^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-(-u^{2})}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-u^{2})^{n}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} u^{2n}[/mm]    [haee]

Na was jetzt ?  Willst du den Index i oder n ?
(aber eben nicht beide zusammen !)

Und überlege dir bitte auch noch den Startwert für den Index !


> gilt da [mm]|-u^{2}|[/mm] durch den eingeschränkten
> Definitionsbereich < 1 ist.
>
> Wenn ich nun die Stammfunktion von dieser Potzenreihe
> bilden würde, wäre ich ja quasi schon direkt beim
> arctan(x). (Ergebnis müsste sein: [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} u^{2n+1}}{2n+1}[/mm]

Hast du dieses Ergebnis geprüft ? Vielleicht würde es genügen,
die ersten paar Glieder genau auszuschreiben. Beachte auch
die Möglichkeit einer Integrationskonstanten.
  

> Deswegen ist hierbei mein Problem, wie ich den vorgegebenen
> Satz einbringen soll. Man kann die Potzenreihe zwar als
> Funktionenfolge sehen, aber ich verstehe noch nicht den
> Sinn im Bezug auf die Aufgabe.

Es geht darum, ob man die Reihe wirklich gliedweise integrieren
darf. Dazu sind bestimmte Voraussetzungen zu erfüllen.

LG  ,    Al-Chwarizmi

Bezug
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