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Hallo!
Ich versuche gerade die Potenzreihenentwicklung zu verstehen bzw. ein Beispiel dazu nachzuvollziehen. Das klappt jedoch nicht so ganz.
Das Beispiel betrachtet die Funktion [mm] f:\IC \backslash{\pm i} \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto \bruch{1}{1+z^2}.
[/mm]
Nun ist angegeben, dass die Potenzreihenentwicklung von f um 0 wie folgt aussieht: [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^{2n}
[/mm]
Ich würde gerne nachvollziehen, wie diese Potenzreihenentwicklung zustande kommt, bekomme das ganze aber nicht hin.
Grundsätzlich würde ich f um 0 ja in eine Potenzreihe [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty} a_n z^{n} [/mm] entwickeln. Die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] können durch [mm] a_n=\bruch{1}{n!} f^{(n)}(0) [/mm] bestimmt werden.
Hier liegt nun vermutlich mein Problem, denn wie bekomme ich das so allgemein hin? Für verschiedene n kann ich ja im Prinzip die Ableitung und entsprechend das [mm] a_n [/mm] bestimmen. Damit komme ich aber ja nicht auf die Potenzreihenentwicklung wie sie laut Beispiel aussehen soll...
Kennt sich da jemand mit aus und kann mir helfen?
Viele Grüße
Isabelle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Fr 25.09.2015 | | Autor: | hippias |
Ja, man kann versuchen [mm] $f^{(n)}$ [/mm] fuer beliebiges $n$ zu bestimmen - vermutlich mittels Induktion - um dann die Koeffizienten der Potenzreihe zu berechnen. Das ist aber vermutlich recht aufwendig.
Man koennte es auch insofern geschickter angehen, als dass ja [mm] $f(z)(1+z^{2})= [/mm] 1$. Bildest Du links und rechts die $n$-te Ableitung, wobei [mm] $n\geq [/mm] 2$ sein soll, so erhaelst Du mit der Leibnizformel [mm] $f^{(n)}(z)(1+z^{2})+2nzf^{(n-1)}(z)+2\frac{n(n-1)}{2}f^{(n-2)}(z)=0$. [/mm] An der Stelle $0$ gilt dann $0= [mm] nf^{(n)}(0)+n(n-1)f^{(n-2)}(0)$ [/mm] bzw. [mm] $f^{(n)}= -(n-1)f^{(n-2)}(0)$, $n\geq [/mm] 2$.
Weil Du leicht nachrechnest, dass $f'(0)=0$ gilt, folgt nun sofort aus obiger Gleichung, dass [mm] $f^{(n)}(0)= [/mm] 0$, und somit [mm] $a_{n}=0$, [/mm] fuer alle ungeraden $n$ gilt. Man kommt mit dieser Gleichung auch auf die [mm] $a_{n}$ [/mm] mit geradem $n$.
Aber: das ist alles zu kompliziert. Denn es liegt einfach eine geometrische Reihe vor: [mm] $\frac{1}{1-q}= \sum_{n=0}^{\infty} q^{n}$ [/mm] fuer alle [mm] $q\in \IC$ [/mm] mit $|q|<1$. Bei Deinem Problem ist $q= [mm] -z^{2}$. [/mm]
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Danke für deine Hilfe!
Ah, für die geometrische Reihe, kann man ja erstmal Partialbruchzerlegung machen und das dann schließlich umschreiben, oder?
Ich habe das gerade mal versucht, allerdings mache ich immer noch irgendwo einen Fehler... Ich versuche mal meine wesentlichen Schritte hier abzutippen, vielleicht sieht ja jemand von euch, wo mein Fehler liegt!
[mm] f(z)=\bruch{1}{1+z^2}=\bruch{1}{(z+i)(z-i)}= \bruch{1}{2i} (\bruch{1}{z-i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z+i}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i} (\bruch{1}{(z-0)-i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(z-0)+i}) [/mm]
Soweit sollte das eigentlich schonmal stimmen, denke ich...
[mm] =\bruch{1}{2i(-i)} \bruch{1}{1-\bruch{z-0}{i}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2i*i} \bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-i}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{z-0}{i})^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{z-0}{-i})^n [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{i^n}+\bruch{1}{(-i)^n})(z-0)^n
[/mm]
Aber da kommt doch jetzt Null raus, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Fr 25.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe!
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> Ah, für die geometrische Reihe, kann man ja erstmal
> Partialbruchzerlegung machen und das dann schließlich
> umschreiben, oder?
Ja, kann man, aber PBZ ist überflüssig.
>
> Ich habe das gerade mal versucht, allerdings mache ich
> immer noch irgendwo einen Fehler... Ich versuche mal meine
> wesentlichen Schritte hier abzutippen, vielleicht sieht ja
> jemand von euch, wo mein Fehler liegt!
Du hast keine Fehler gemacht !
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{1+z^2}=\bruch{1}{(z+i)(z-i)}= \bruch{1}{2i} (\bruch{1}{z-i}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{z+i})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2i} (\bruch{1}{(z-0)-i}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(z-0)+i})[/mm]
>
> Soweit sollte das eigentlich schonmal stimmen, denke
> ich...
>
> [mm]=\bruch{1}{2i(-i)} \bruch{1}{1-\bruch{z-0}{i}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2i*i} \bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-i}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{z-0}{i})^n[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{z-0}{-i})^n[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{i^n}+\bruch{1}{(-i)^n})(z-0)^n[/mm]
>
> Aber da kommt doch jetzt Null raus, oder?
Nein.
Für k ungerade ist [mm] \bruch{1}{i^k}+\bruch{1}{(-i)^k}=0, [/mm] aber für k gerade, k=2n, ist
[mm] (\bruch{1}{i^k}+\bruch{1}{(-i)^k}=2(-1)^n.
[/mm]
Hippias hats doch gesagt:
[mm] \bruch{1}{1+z^2}=\bruch{1}{1-(-z^2)}=\summe_{n=0}^{\infty}(-z^2)^n=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{2n} [/mm] für |z|<1.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Fr 25.09.2015 | | Autor: | Isabelle90 |
Danke Fred!
Ich war irgendwie total blind, obwohl Hippias mich fast direkt drauf gestoßen hat... SORRY!
So geht es natürlich sehr viel schneller! Danke für eure Hilfe!!!
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