Potenzreihenentwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion f sei in einer Umgebung des Nullpunktes holomorph und erfülle dort
[mm] f(z^2) [/mm] = f(z) − z und f(0) = 1.
(a) Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung von f um den Punkt [mm] z_0 [/mm] = 0 .
(b) Berechnen Sie den Konvergenzradius dieser Potenzreihe und zeigen Sie, dass alle
Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises Singularitäten sind. |
Hi,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht. Da wir außer dieser Gleichung nichts weiter von f wissen, habe ich momentan keine Idee wie ich die Potenzreihenentwicklung ansetzen soll.
Normalerweise konnte ich bislang immer Parallelen zur Exponentialfunktion oder zu irgendwelchen trigonometrischen erkennen.
Wenn das nicht geholfen hat, so habe ich versucht mit der Taylor-Entwicklung da ran zu gehen.
Hier steh ich aber total auf dem Schlauch. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Viele Grüße und danke schon mal
|
|
| |
|
Warum nicht einfach [mm]f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm] ansetzen? Dann folgt aus [mm]f(0)=1[/mm] doch schon einmal [mm]a_0=1[/mm] und aus [mm]f(z^2)=f(z)-z[/mm] folgt des weiteren:
[mm]\sum_{n=0}a_n z^{2n} = \sum_{n=0}a_n z^n - z[/mm]
Sollte sich daraus, mittels Koeffizientenvergleich, nicht einiges über die [mm]a_n[/mm] schliessen lassen?
|
|
|
| |
|
Hi,
danke für den Tipp. Damit habe ich herausfinden können, dass
[mm] a_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n=2^k \mbox{ k=0,1,2,...} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Wie kommst du auf [mm] a_0=1? [/mm] Für [mm] a_0 [/mm] erhalte ich beliebige Werte.
[mm] a_0+a_1z^2+a_2z^4+...=a_0+(a_1-1)z+a_2z^2+...
[/mm]
Nun soll ich aber den Konvergenzradius bestimmen. Hier helfen mir aber weder Wurzel- noch Quotientenkriterium weiter, da bei zwei aufeinanderfolgenden Koeffizienten immer einer gleich 0 ist.
Wie kann ich das lösen?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> danke für den Tipp. Damit habe ich herausfinden können,
> dass
> [mm]a_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n=2^k \mbox{ k=0,1,2,...} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Wie kommst du auf [mm]a_0=1?[/mm]
Das habe ich doch geschrieben: ich schliesse,
wegen des Ansatzes [mm]f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm] und der Angabe des Aufgabentextes, dass [mm]f(0)=1[/mm] ist, auf [mm]a_0=1[/mm]. Was überzeugt Dich an dieser Überlegung nicht?
> Für [mm]a_0[/mm] erhalte ich beliebige
> Werte.
> [mm]a_0+a_1z^2+a_2z^4+...=a_0+(a_1-1)z+a_2z^2+...[/mm]
>
> Nun soll ich aber den Konvergenzradius bestimmen. Hier
> helfen mir aber weder Wurzel- noch Quotientenkriterium
> weiter, da bei zwei aufeinanderfolgenden Koeffizienten
> immer einer gleich 0 ist.
>
> Wie kann ich das lösen?
Na, Du willst doch den Konvergenzradius der Potenzreihe: und der ist, das wird sich sicher irgendwo in Deinem Skript und/oder Lehrbuch finden lassen, gleich
[mm]\rho = \frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mo 11.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
stimmt. Ich habe vorhin versucht das [mm] a_0 [/mm] aus der Gleichung zu bestimmen, und nicht aus der einfachen Definition der Potenzreihe. Dann ist es nachvollziehbar.
Danke auch für die Definition des Konvergenzradius. Die hatte ich gerade nicht mehr vorliegen. Da hab ich wohl gefehlt.
Eine Frage hätte ich noch, auch wenn sie nicht mehr eilt. Ich sollte zeigen, dass alle Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises hebbare Singularitäten sind. Dafür genügt doch zu zeigen, dass die Potenzreihe für z aus dem Rand gegen Unendlich strebt, oder?
Viele Grüße und danke für deine Hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Eine Frage hätte ich noch, auch wenn sie nicht mehr eilt.
> Ich sollte zeigen, dass alle Punkte auf dem Rand des
> Konvergenzkreises hebbare Singularitäten sind.
Für [mm]z=1[/mm] divergiert die Potenzreihe: was sollte an der daraus resultierenden Singularität von [mm]f(z)[/mm] "hebbar" sein? Der Konvergenzradius ist ja 1, weil sich die Funktion nicht auf eine grössere Kreisscheibe mit Zentrum im Ursprung analytisch fortsetzen lässt.
> Dafür genügt
> doch zu zeigen, dass die Potenzreihe für z aus dem Rand
> gegen Unendlich strebt, oder?
Diese Überlegung verstehe ich, offengesagt, leider überhaupt nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Di 12.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
das hebbar wollte ich noch herausnehmen.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n [/mm] wächst für |z|=1 über alle Grenzen.
Ist dies äquivalent dazu, dass z eine Singularität ist?
Hebbar wäre sie dann, wenn sie doch konvergiert. Bsp.
[mm] f(z)=\bruch{z^2-1}{z+1}
[/mm]
Die Singularität z=-1 würde in der entsprechenden Potenzreihe eingesetzt einen [mm] Wert<\infty [/mm] annehmen.
Ich hoffe, du versteht nun was ich meine
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Di 12.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hi,
>
> das hebbar wollte ich noch herausnehmen.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n[/mm] wächst für |z|=1 über alle
> Grenzen.
Bist Du sicher? - Natürlich schon für z=1, aber für |z|=1?
> Ist dies äquivalent dazu, dass z eine Singularität ist?
Eines ist sicher: dass sich auf dem Rand des Konvergenzkreises immer mindestens ein singulärer Punkt der analytischen Funktion befinden muss.
Sicher ist auch, dass gilt:
[mm]\lim_{\IR\ni z\rightarrow 1-} f(z)=+\infty[/mm]
weshalb [mm]f[/mm] im Punkt [mm]z=1[/mm] jedenfalls keine hebbare Singularität besitzen kann.
> Hebbar wäre sie dann, wenn sie doch konvergiert.
Also die Beziehung der analytischen Funktion zur Potenzreihe ist eben, am Rand des Konvergenzkreises der Potenzreihe, so eine Sache: im Inneren hingegen nicht: dort stimmen die Werte von Funktion und Potenzreihe garantiert überein...
> Bsp.
> [mm]f(z)=\bruch{z^2-1}{z+1}[/mm]
> Die Singularität z=-1 würde in der entsprechenden
> Potenzreihe eingesetzt einen [mm]Wert<\infty[/mm] annehmen.
Ja, sehe ich auch so. Nur kennen wir leider keinen expliziten Funktionsterm von unserem [mm]f[/mm] - nur die Potenzreihe und damit in erstern Näherung nur gerade das Verhalten von [mm]f[/mm] im Inneren des Konvergenzkreises. (Siehe aber z.B. "Abelscher Grenzwertsatz".)
|
|
|
|
