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| Aufgabe | | Es sei f: [mm] \IC\{1}\to\IC, f(z)=\bruch{1}{1-z}. [/mm] Entwickeln Sie f in eine Potenzreihe um [mm] z_0 [/mm] und bestimmen Sie die jeweiligen Konvergenzradius für [mm] z_0 \in [/mm] {0,2,i,-i,-2} |
also für [mm] z_0=0 [/mm] ist es klar, wegen geometrische Reihe, doch hab ich gefunden das auch gilt
[mm] z_0=2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1-z-2}=\bruch{1}{1-(z-2)}=\summe_{n=0}^{\infty}(z-2)^n
[/mm]
damit gilt ja für alle zo
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(z-z_0)^n [/mm] , alle mit KR = 1
aber das wäre doch zu simpel?
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Hallo,
> Es sei f: [mm]\IC\{1}\to\IC, f(z)=\bruch{1}{1-z}.[/mm] Entwickeln
> Sie f in eine Potenzreihe um [mm]z_0[/mm] und bestimmen Sie die
> jeweiligen Konvergenzradius für [mm]z_0 \in[/mm] {0,2,i,-i,-2}
> also für [mm]z_0=0[/mm] ist es klar, wegen geometrische Reihe,
> doch hab ich gefunden das auch gilt
> [mm]z_0=2[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{1-z-2}=\bruch{1}{1-\red{(z-2)}}=\summe_{n=0}^{\infty}(z-2)^n[/mm]
Das Rotmarkierte ist falsch umgeformt. Aber was willst du überhaupt mit dieser Gleichung?
Es ist doch
$f(z) = [mm] \frac{1}{1-z} \not= \frac{1}{1-z-2}$
[/mm]
?
Du musst Folgendes machen: Für [mm] $z_{0}\not= [/mm] 1$:
$f(z) = [mm] \frac{1}{1-z} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-z+z_{0}-z_{0}} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-z_{0}-(z-z_{0})} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-z_{0}}*\frac{1}{1-\Big[\frac{1}{1-z_{0}}*(z-z_{0})\Big]} [/mm] = ...$
Grüße,
Stefan
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hi, ja war zu voreilig, ich meinte türlich
> [mm]\bruch{1}{1-z-2}=\bruch{1}{1-\red{(z+2)}}=\summe_{n=0}^{\infty}(z+2)^n[/mm]
>
> Das Rotmarkierte ist falsch umgeformt. Aber was willst du
> überhaupt mit dieser Gleichung?
naja bis jetzt war der entwicklungspunkt immer 0, deshalb dachte ich, es würde so funktionieren
> Es ist doch
>
> [mm]f(z) = \frac{1}{1-z} \not= \frac{1}{1-z-2}[/mm]
>
> ?
> Du musst Folgendes machen: Für [mm]z_{0}\not= 1[/mm]:
>
> [mm]f(z) = \frac{1}{1-z} = \frac{1}{1-z+z_{0}-z_{0}} = \frac{1}{1-z_{0}-(z-z_{0})} = \frac{1}{1-z_{0}}*\frac{1}{1-\Big[\frac{1}{1-z_{0}}*(z-z_{0})\Big]} = ...[/mm]
um jetzt mal weiter zu machen
[mm] ...=\summe_{n=0}^{\infty}(z_0)^n*\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{1-z_{0}}*(z-z_{0})\))^n
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}(z_0)^n*(\frac{1}{1-z_{0}}*(z-z_{0})\))^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\frac{z_0}{1-z_{0}})^n*(z-z_{0})\))^n
[/mm]
aber vll war das jetzt auch zu schnell gemacht
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Hallo,
> hi, ja war zu voreilig, ich meinte türlich
> >
> [mm]\bruch{1}{1-z-2}=\bruch{1}{1-\red{(z+2)}}=\summe_{n=0}^{\infty}(z+2)^n[/mm]
> >
> > Das Rotmarkierte ist falsch umgeformt. Aber was willst du
> > überhaupt mit dieser Gleichung?
> naja bis jetzt war der entwicklungspunkt immer 0, deshalb
> dachte ich, es würde so funktionieren
???
Aber in der Aufgabenstellung geht es doch auch um andere Entwicklungspunkte als 0.
Und du willst ja f(z) in eine Potenzreihe entwickeln und nicht [mm] \bruch{1}{1-z-2}...
[/mm]
> > [mm]f(z) = \frac{1}{1-z} = \frac{1}{1-z+z_{0}-z_{0}} = \frac{1}{1-z_{0}-(z-z_{0})} = \frac{1}{1-z_{0}}*\frac{1}{1-\Big[\frac{1}{1-z_{0}}*(z-z_{0})\Big]} = ...[/mm]
>
> um jetzt mal weiter zu machen
>
> [mm]...=\summe_{n=0}^{\infty}(z_0)^n*\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{1-z_{0}}*(z-z_{0})\))^n[/mm]
Ok, aber du brauchst [mm] $\frac{1}{1-z_{0}}$ [/mm] nicht in eine Potenzreihe zu entwickeln, das ist ein konstanter Term, unabhängig von z!
$= [mm] \frac{1}{1-z_{0}}*\summe_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-z_{0}}*(z-z_{0})\right)^{n}$
[/mm]
An dieser Stelle bist du schon fertig. Berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe!
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}(z_0)^n*(\frac{1}{1-z_{0}}*(z-z_{0})\))^n[/mm]
Du traust dir was 
Hast du schonmal (a+b)*(c+d) ausmultipliziert? Ist bei dir auch a*c + b*d rausgekommen?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mo 21.06.2010 | | Autor: | Kinghenni |
och nö -.-
es is schon spät...
aber vielen dank das du mich jetzt nicht zappeln lässt^^
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