Potenzsume < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Frisco |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo hoffentlich kann mir jemand helfen ich habe da eine aufgabe und habe wirklich keine Ahnung wie die geht, weil ich bei dieser vorlesung krank war :-(
Also sie lautet wie folgt:
Sei [mm] S_{p}(N) [/mm] für N [mm] \in \IN [/mm] und p [mm] \in \IN_{0} [/mm] defineirt durch
[mm] S_{p}(N) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{N} k^{p}
[/mm]
So und jetzt soll ich folgende rekursive Potenformel herleiten und ich habe wirklich keine Ahnung!
Sie lautet:
[mm] S_{p-1}(N) [/mm] = [mm] \bruch{1}{p}(N+1)^p [/mm] - [mm] \bruch{1}{p} \summe_{k=0}^{p-2} \vektor{p\\k} S_{k}(N) [/mm] - [mm] \bruch{1}{p}
[/mm]
also bitte helft mir mit der Lösung!!
Bitte mit ausführlicher Lösung, und wie stehen überhaupt Die Summe von einer Summe zusammen??
|
|
| |
|
Hallo Frisco,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo hoffentlich kann mir jemand helfen ich habe da eine
> aufgabe und habe wirklich keine Ahnung wie die geht, weil
> ich bei dieser vorlesung krank war :-(
>
> Also sie lautet wie folgt:
> Sei [mm]S_{p}(N)[/mm] für N [mm]\in \IN[/mm] und p [mm]\in \IN_{0}[/mm] defineirt
> durch
> [mm]S_{p}(N)[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{N} k^{p}[/mm]
> So und jetzt soll ich
> folgende rekursive Potenformel herleiten und ich habe
> wirklich keine Ahnung!
> Sie lautet:
> [mm]S_{p-1}(N)[/mm] = [mm]\bruch{1}{p}(N+1)^p[/mm] - [mm]\bruch{1}{p} \summe_{k=0}^{p-2} \vektor{p\\k} S_{k}(N)[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{p}[/mm]
>
> also bitte helft mir mit der Lösung!!
die Aufgabe hat es in sich.
Zunächst benötigen wir die allgemeine Summenformel. Diese bekommen wir, wenn wir die das folgende betrachten:
[mm]
\sigma _n : = \;1\; + \;e^x \; + \;e^{2x} \; + \; \cdots \; + \;e^{nx} \; = \;1 + \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{x^p }}
{{p!}}} \;\left( {1^p \; + \; \cdots \; + \;n^p } \right)\; = \;\sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{S_p \left( n \right)}}
{{p!}}\;x^p } [/mm]
und
[mm]
\sigma _n : = \;\frac{{e^{\left( {n + 1} \right)\;x} - \;1}}
{{e^x \; - \;1}}\; = \;\frac{x}
{{e^x \; - \;1}}\;\frac{{e^{\left( {n + 1} \right)\;x} - \;1}}
{x}\; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{B_k }}
{{k!}}\;x^k \;\sum\limits_{l = 0}^\infty {\frac{{\left( {n + 1} \right)^{l + 1} }}
{{\left( {l + 1} \right)!}}\;x^l } }
[/mm]
mit [mm]\sum\limits_{i = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 1} \\
i \\
\end{array} } \right)} \;B_i \; = \;0[/mm]
Diese beiden Reihen werden nun ausmultipliziert (Cauchy-Produkt) und mit der ersteren Reihe verglichen. Daraus ergibt sich dann eine Formel für die ersten n p-ten Potenzen.
Mit deren Hilfe kann man dann eine Rekursionsformel aufstellen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Frisco |
ich habe von dem Aufgabenmacher an unsere Uni einen Tipp bekommen und zwar der wiefolgt lautet, vielleicht wird es dann leichter!!
Expandieren Sie (1 + [mm] n)^p [/mm] - [mm] n^p [/mm] mittels des Binomischen Lehrsatzes. Summieren Sie die so erhaltene Gleichung anschließend über n von 1;....;N.
was meint er damit??
könntest du mir vielleicht die aufgabe vormachen?? Bitte 
|
|
|
| |
|
Hallo Frisco,
> ich habe von dem Aufgabenmacher an unsere Uni einen Tipp
> bekommen und zwar der wiefolgt lautet, vielleicht wird es
> dann leichter!!
>
> Expandieren Sie (1 + [mm]n)^p[/mm] - [mm]n^p[/mm] mittels des Binomischen
> Lehrsatzes. Summieren Sie die so erhaltene Gleichung
> anschließend über n von 1;....;N.
>
> was meint er damit??
Das sollst Du verwenden.
> könntest du mir vielleicht die aufgabe vormachen?? Bitte
Also gut:
Zunächst obige Formel etwas vereinfacht:
[mm]
\left( {1 + \;n} \right)^p \; - \;n^p \; = \;\sum\limits_{k = 0}^p {\left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
k \\
\end{array} } \right)\;n^k } \; - \;n^p \; = \;\sum\limits_{k = 0}^{p - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
k \\
\end{array} } \right)\;n^k }
[/mm]
Dann summieren wir auf:
[mm]
\begin{gathered}
\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{k = 0}^{p - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
k \\
\end{array} } \right)\;n^k } \; = \;\sum\limits_{k = 0}^{p - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
k \\
\end{array} } \right)\;\sum\limits_{n = 1}^N {n^k } } \; = \;\sum\limits_{k = 0}^{p - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
k \\
\end{array} } \right)\;S_k \left( N \right)} } \hfill \\
\sum\limits_{n = 1}^N {\left( {1 + \;n} \right)^p \; - \;n^p } \; = \;2^p \; - \;1^p \; + \;3^p \; - \;2^p \; + \; \cdots \; + \;\left( {N + 1} \right)^p \; - \;N^P \; = \;\left( {N + 1} \right)^p \; - \;1 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Vergleich beider Summen liefert:
[mm]
\begin{gathered}
\sum\limits_{k = 0}^{p - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
k \\
\end{array} } \right)\;S_k \left( N \right)} \; = \;\left( {N + 1} \right)^p \; - \;1 \hfill \\
\Leftrightarrow \;p\;S_{p - 1} \left( N \right)\; + \;\sum\limits_{k = 0}^{p - 2} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
k \\
\end{array} } \right)\;S_k \left( N \right)} \; = \;\left( {N + 1} \right)^p \; - \;1 \hfill \\
\Rightarrow \;S_{p - 1} \left( N \right)\; = \;\frac{1}
{p}\;\left( {\left( {N + 1} \right)^p \; - \;1\; - \;\sum\limits_{k = 0}^{p - 2} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
k \\
\end{array} } \right)\;S_k \left( N \right)} } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Frisco |
Danke für deine Mühen hast mir sehr geholfen
|
|
|
|
