Poynting-Vektor Hertz. Dipol < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Sa 19.06.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | Das elektromagnetische Feld der Fernzone eines Hertzschen Dipols wird durch
[mm] 4*\pi*\epsilon_0\vec{E}(\vec{r},t)=\bruch{1}{r^3*c^2}*(\vec\dot\dot{p}*\vec{r})*\vec{r}-\bruch{1}{r*c^2}*\vec\dot\dot{p} [/mm] und
[mm] 4*\pi*\vec{H}=\bruch{1}{r^2*c}*\vec\dot\dot{p}\times\vec{r}
[/mm]
beschrieben.
Berechne den Poynting-Vektor [mm] \vec{S}(\vec{r},t). [/mm] |
Hallo!
Ich habe bei obiger Aufgabe das Problem, dass ich nicht auf die angegebene Lösung von [mm] \vec{S}= \bruch{1}{16*\pi^2*\epsilon_0*c^3}*(\vec\dot\dot{p}\times\vec{r})^2*\bruch{\vec{r}}{r^5} [/mm] komme.
[mm] \vec{S}= \vec{E}\times\vec{H}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4\pi*\epsilon_0}*(\bruch{1}{r^3*c^2}*(\vec\dot\dot{p}*\vec{r})*\vec{r}-\bruch{1}{r*c^2}*\vec\dot\dot{p})\times(\bruch{1}{4\pi*c*r^2}*\vec\dot\dot{p}\times\vec{r})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{16*\pi^2*c^3*r^3*\epsilon_0}*((\bruch{1}{r^2}*(\vec\dot\dot{p}*\vec{r})*\vec{r})-\vec\dot\dot{p})\times(\vec\dot\dot{p}\times\vec{r})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{16*\pi^2*c^3*r^3*\epsilon_0}*([b]\bruch{1}{r^2}*(\vec\dot\dot{p}*\vec{r})[/b] *\vec{r}\times(\vec\dot\dot{p}\times\vec{r})-\vec\dot\dot{p}\times(\vec\dot\dot{p}\times\vec{r}))
[/mm]
Ich habe dann die BAC-CAB-Regel verwendet, aber hatte immer wieder Problem mit den (eigentlich)fett dargestellten Faktoren.
Da bin ich dann einfach vom Ergebnisa aus vorgegangen:
[mm] \vec{S}= \bruch{1}{16*\pi^2*\epsilon_0*c^3}*(\vec\dot\dot{p}\times\vec{r})^2*\bruch{\vec{r}}{r^5}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{16*\pi^2*\epsilon_0*c^3*r^5}*((\vec\dot\dot{p}*\vec\dot\dot{p})*(\vec{r}*\vec{r})-(\vec{r}*\vec\dot\dot{p})*(\vec\dot\dot{p}*\vec{r})*\vec{r})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{16*\pi^2*\epsilon_0*c^3*r^5}*(\vec{r}-(\vec{r}*\vec\dot\dot{p})*(\vec\dot\dot{p}*\vec{r})*\vec{r})
[/mm]
Wenn ich hier versuche, die BAC-CAB-Regel anzuwenden [mm] (a=(\vec{r}*\vec\dot\dot{p}),b=(\vec\dot\dot{p}*\vec{r}) [/mm] und [mm] c=\vec{r}), [/mm] dann komme ich nicht zu irgendwas mit [mm] \vec\dot\dot{p}\times\vec{r}, [/mm] sondern zu [mm] (\vec{r}*\vec\dot\dot{p})\times((\vec\dot\dot{p}*\vec{r}))\times\vec{r}.
[/mm]
Was mache ich falsch? Oder sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht?
Bitte helft mir! Dafür schon mal DANKE!!!!!
Viele Grüße von
mathiko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Sa 19.06.2010 | | Autor: | Calli |
> Das elektromagnetische Feld der Fernzone eines Hertzschen
> Dipols wird durch
>
> [mm]4*\pi*\epsilon_0\vec{E}(\vec{r},t)=\bruch{1}{r^3*c^2}*(\vec\dot\dot{p}*\vec{r})*\vec{r}-\bruch{1}{r*c^2}*\vec\dot\dot{p}[/mm]
[mm]4*\pi*\epsilon_0*\vec{E}(\vec{r},t)=\bruch{1}{r^3*c^2}*(\ddot{\vec p} *\vec{r})*\vec{r}-\bruch{r^2}{r^3*c^2}*\ddot{\vec p}[/mm]
[mm] $4*\pi*\epsilon_0*r^3*c^2*\vec{E}(\vec{r},t)=(\ddot{\vec p}*\vec{r})*\vec{r}-r^2*\ddot{\vec p}$
[/mm]
>
> [mm]4*\pi*\vec{H}=\bruch{1}{r^2*c}*\vec\dot\dot{p}\times\vec{r}[/mm]
[mm]4*\pi*r^2*c*\vec{H}=\ddot{\vec p}\times\vec{r}[/mm]
Berechne [mm] $[(\ddot{\vec p}*\vec{r})*\vec{r}-r^2*\ddot{\vec p}]\times(\ddot{\vec p}\times\vec{r})$
[/mm]
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 20.06.2010 | | Autor: | mathiko |
Hmm, irgendwie bin ich mir unsicher...
Ich komme auf:
[mm] (\ddot{\vec{p}}*\vec{r})*\vec{r}\times\ddot{\vec{p}}\times\vec{r})
[/mm]
[mm] =(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})*(\ddot{\vec{p}}*(\vec{r}*\vec{r})-\vec{r}*(\vec{r}*\ddot{\vec{p}}))-r^2*(\ddot{\vec{p}}*(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})-\vec{r}*(\ddot{\vec{p}}*\ddot{\vec{p}}))
[/mm]
[mm] (\vec{r}*\vec{r}) und(\ddot{\vec{p}}*\ddot{\vec{p}}) [/mm] sind ja jeweils 1.
also [mm] =(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})*(\ddot{\vec{p}}-\vec{r}*(\vec{r}*\ddot{\vec{p}}))-r^2*(\ddot{\vec{p}}*(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})-\vec{r})
[/mm]
[mm] =(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})*\ddot{\vec{p}}-(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})*\vec{r}*(\vec{r}*\ddot{\vec{p}})-r^2*\ddot{\vec{p}}*(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})+r^2*\vec{r}
[/mm]
Bei dem Schritt bin ich mir allerdings nicht sicher, ob der so erlaubt ist. Ich habe mir gedacht, dass [mm] (\ddot{\vec{p}}*\vec{r}) [/mm] ja ein Skalar ist und deshalb habe ich das Alles ausmultipiliziert.
Nun weiß ich zum Beispiel nicht, ob aus [mm] \ddot{\vec{p}}*(\ddot{\vec{p}}*\vec{r}) [/mm] einfach [mm] (\ddot{\vec{p}}*\ddot{\vec{p}})*\vec{r} [/mm] machen darf.
Wenn ich das auch bei den ersten Termen mache, käme ich auf
[mm] =(\ddot{\vec{p}}*\ddot{\vec{p}})*\vec{r}-(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})*(\vec{r}*\ddot{\vec{p}})*\vec{r}-r^2*(\ddot{\vec{p}}*\ddot{\vec{p}})*\vec{r}+r^2*\vec{r}
[/mm]
[mm] =\vec{r}-(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})*(\vec{r}*\ddot{\vec{p}})*\vec{r}-r^2*\vec{r}+r^2*\vec{r}
[/mm]
[mm] =\vec{r}-(\ddot{\vec{p}}*\vec{r})*(\vec{r}*\ddot{\vec{p}})*\vec{r}
[/mm]
Und das wäre das, was ich beim Ausrechnen des Ergebnisses raus habe.
Ist das richtig so?
Viele Grüße
mathiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 20.06.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> [mm](\vec{r}*\vec{r}) und(\ddot{\vec{p}}*\ddot{\vec{p}})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sind
> ja jeweils 1.
Hi, wie kommst Du auf 1 ? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Nach Vektorrechnung ist das Skalarprodukt von zwei gleichen Vektoren gleich dem Betragsquadrat.
Und was ist in diesem Zusammenhang eigentlich $\ddot{\vec{p}$ ?
Im Übrigen ergibt die Rechnung, dass $[(\ddot{\vec p}*\vec{r})*\vec{r}-r^2*\ddot{\vec p}]\times(\ddot{\vec p}\times\vec{r})=0$ ist.
Meiner Ansicht nach ist der Term des E-Feldes fürs Fernfeld falsch. Fürs Fernfeld kenne ich nur die Proportionalität gemäß 1/r.
Ciao Calli
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:49 So 20.06.2010 | | Autor: | mathiko |
Also nach Skript ist [mm] \ddot{\vec{p}}=\vec{p}_0*\omega^2*sin(k*r-\omega*t).
[/mm]
Wie kam ich auf die 1... Ich glaub da habe ich was verwechselt.
Wenn das ganze 0 ergibt, dann muss die Lösung ja auch falsch sein, oder?
Ich werde mich morgen mal mit unserm Prof unterhalten, auch bzgl. des Fernfeldes.
Ich melde mich dann wieder.
Grüße von mathiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 22.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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