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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mi 16.07.2008 | | Autor: | n8Mare |
| Aufgabe | In L = {f,g} mit f [mm] \in F_{1} [/mm] und g [mm] \in F_{1} [/mm] sind die folgenden Ausdruecke gegeben:
a1 = [mm] \forall [/mm] x [mm] \tilde{f}x [/mm] = [mm] \tilde{g}x,
[/mm]
a2 = [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \tilde{f}x [/mm] = [mm] \tilde{g}y,
[/mm]
a3 = [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \tilde{f}x [/mm] = [mm] \tilde{g}y,
[/mm]
a4 = [mm] \exists [/mm] y [mm] \exists [/mm] y [mm] \tilde{f}x [/mm] = [mm] \tilde{g}y
[/mm]
Man gebe jeweils ein Modell fuer die folgenden Ausdruecke an:
a1 [mm] \wedge \neg [/mm] a2 ,
[mm] \neg [/mm] a1 [mm] \wedge [/mm] a3 ,
[mm] \neg [/mm] a1 |
Hallo,
leider weiß ich nicht wirklich was ich hier tun soll.
ich hab es mal so probiert:
a1 [mm] \wedge \neg [/mm] a2 = [mm] \tilde{g}(x,\neg [/mm] y)
das kann ja nun aber wohl kaum alles sein order?
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> In L = {f,g} mit f [mm]\in F_{1}[/mm] und g [mm]\in F_{1}[/mm] sind die
> folgenden Ausdruecke gegeben:
> a1 = [mm]\forall[/mm] x [mm]\tilde{f}x[/mm] = [mm]\tilde{g}x,[/mm]
> a2 = [mm]\forall[/mm] x [mm]\forall[/mm] y [mm]\tilde{f}x[/mm] = [mm]\tilde{g}y,[/mm]
> a3 = [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y [mm]\tilde{f}x[/mm] = [mm]\tilde{g}y,[/mm]
> a4 = [mm]\exists[/mm] y [mm]\exists[/mm] y [mm]\tilde{f}x[/mm] = [mm]\tilde{g}y[/mm]
>
> Man gebe jeweils ein Modell fuer die folgenden Ausdruecke
> an:
>
> a1 [mm]\wedge \neg[/mm] a2 ,
> [mm]\neg[/mm] a1 [mm]\wedge[/mm] a3 ,
> [mm]\neg[/mm] a1
> Hallo,
> leider weiß ich nicht wirklich was ich hier tun soll.
> ich hab es mal so probiert:
>
> a1 [mm]\wedge \neg[/mm] a2 = [mm]\tilde{g}(x,\neg[/mm] y)
> das kann ja nun aber wohl kaum alles sein order?
>
Ich kann zwar die Details Deiner Schreibweise nicht ganz verstehen, aber ich vermute einmal, dass [mm] $\tilde{f}$ [/mm] und [mm] $\tilde{g}$ [/mm] einstellige Funktionssymbole sind. Dann müsstest Du als Modell von [mm] $a_1\wedge \neg a_2$ [/mm] zwei Funktionen $f,g$ mit geeignetem Definitionsbereich angeben, die die Aussage [mm] $a_1$ [/mm] nicht aber die Aussage [mm] $a_2$ [/mm] erfüllen.
Dies erscheint mir einigermassen simpel. Nimm etwa $f,g: [mm] \; x\mapsto [/mm] x$ auf einem Definitionsbereich, der jedenfalls zwei verschiedene Werte für $x$ enthält ($f$ und $g$ sind also dieselbe Funktion). Nimm meinetwegen sogar [mm] $\IN$ [/mm] als Definitionsbereich von $f$ und $g$, d.h. als Individuenbereich für die Quantoren (obwohl ein unendlicher Individuenbereich hier eigentlich Overkill ist). Dann gilt, behaupte ich einmal dreist, [mm] $a_1$. [/mm] Aber [mm] $a_2$ [/mm] gilt nicht: denn [mm] $f(1)=1\neq [/mm] 2=g(2)$. Das heisst, $x=1$ und $y=2$ ist ein Gegenbeispiel für [mm] $a_2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 17.07.2008 | | Autor: | n8Mare |
ahhh es ergibt sinn,
was ich also tun muss ist das ganze mit "Sinn" zu fuellen richtig?
also die funktion "auszuformulieren".
danke ich denke ich habe es begriffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 17.07.2008 | | Autor: | n8Mare |
so nun doch noch eine Frage:
wenn ich das wie folgt schreibe:
fuer f,g: [mm] \; R\mapsto [/mm] R und x = 1 und y = 2
gilt a1 [mm] \wedge \neg [/mm] a2
da f(1)= 1 [mm] \neq [/mm] 2 = g(2)
ist das dann ok?
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> so nun doch noch eine Frage:
> wenn ich das wie folgt schreibe:
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> fuer f,g: [mm]\; R\mapsto[/mm] R und x = 1 und y = 2
> gilt a1 [mm]\wedge \neg[/mm] a2
> da f(1)= 1 [mm]\neq[/mm] 2 = g(2)
>
> ist das dann ok?
Nein, das ist nicht ok, denn Du musst die Funktionen $f$ und $g$ auch effektiv definieren. Hier hast Du erst klargestellt, dass $f$ und $g$ Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] sein sollen (eine zweielementige Menge würde an sich genügen). Mein Vorschlag war zu definieren, dass für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] $f(x)=x$ und ebenso $g(x)=x$ gelten soll (Definition von $f$ und $g$), d.h. effektiv ist in diesem Modell $f=g$ ($f$ und $g$ sind also dieselbe Funktion).
Nun sollst Du zeigen, dass in diesem Modell [mm] $a_1\wedge \neg a_2$ [/mm] gilt. Also musst Du [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $\neg a_2$ [/mm] in diesem Modell für den Individuenbereich (hier: [mm] $\IR$) [/mm] beweisen, über den auch in den Aussagen [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] quantifiziert wird.
[mm] $a_1$ [/mm] ist doch, bei dieser Wahl von $f$ und $g$ sowie Individuenbereich [mm] $\IR$, [/mm] klar richtig: denn für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] ist, gemäss Definition von $f$ und $g$: $f(x)=x$ aber auch $g(x)=x$, also $f(x)=g(x)$.
Wegen
[mm]\neg a_2 \Leftrightarrow \neg\forall x\forall y\big(f(x)=g(y)\big)\Leftrightarrow \exists x \exists y \big(f(x)\neq g(y)\big)[/mm]
genügt es zum Beweis von [mm] $\neg a_2$ [/mm] (in Deinem Modell) zu zeigen, dass es ein [mm] $x\in \IR$ [/mm] und ein [mm] $y\in \IR$ [/mm] gibt, so das [mm] $f(x)\neq [/mm] g(y)$ gilt. Mein Vorschlag war, $x=1$ und $y=2$ zu nehmen. Dann folgt, und diesen Teil hast Du richtig geschrieben (aber nicht auf sinnvolle Weise in ein Gesamtargument eingebettet), dass $f(1)=1$ aber $g(2)=2$ und daher [mm] $f(1)\neq [/mm] g(2)$ gilt. Womit also [mm] $a_2$ [/mm] in diesem Modell widerlegt und somit [mm] $\neg a_2$ [/mm] bewiesen wäre.
Insgesamt haben wir die Konjunktion [mm] $a_1\wedge \neg a_2$ [/mm] in diesem Modell bewiesen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:16 Fr 18.07.2008 | | Autor: | n8Mare |
ok habs nochmal versucht und hoffe die formulierung stimmt jetzt.
ist A = ((x, y) [mm] \in [/mm] B | f,g: B [mm] \mapsto [/mm] B) mit B = {1,2}
so gilt:
A ist ein Modell von [mm] (a_1\wedge \neg a_2)
[/mm]
wenn:
x = 1 und y = 2
weil:
[mm] \neg a_2 \approx \neg\forall x\forall y\big(f(x)=g(y)\big) \approx \exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \big(f(x)\neq g(y)\big) \approx \exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \big(f(1)\neq g(2)\big) [/mm]
und
f(x) = g(x) [mm] \approx [/mm] f(1) = g(1)
koennte man die antwort so formulieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 20.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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