Primelement in Z[i] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallöchen,
ich bin wieder mal fleißig am Vorlesung nachbereiten und auf Probleme gestoßen, die ich mir nicht selber klären kann. Es geht um den Beweis zu dem Satz:
"Jede Primzahl p [mm] \in \IZ [/mm] ist Primelement von R= [mm] \IZ[i] [/mm] "
Nun zu dem Beweis an sich:
Benutze die Normabbildung [mm] N(a+bi)=a^{2}+b^{2}=||a+bi||^{2}, [/mm] N(xy)=N(x)N(y) und x [mm] \in [/mm] R:N(x)=1 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in R^{\times}.
[/mm]
Wenn p= [mm] \pi_{1}....\pi_{r} [/mm] mit [mm] \pi_{i} [/mm] Primelementen [mm] \Rightarrow N(p)=p^{2}=N(\pi_{1})....N(\pi_{r}). [/mm] Dann gibt es nur 3 Möglichkeiten:
(1) p [mm] \sim \pi^{2}, N(\pi)=p
[/mm]
(2) [mm] p=\pi, N(\pi)=p^{2}
[/mm]
(3) [mm] p=\pi_{1} \pi_{2}, N(\pi_{1})=N(\pi_{2})=p
[/mm]
Die Frage mag vielleicht trivial sein aber mir ist nicht ganz klar wie man auf die erste Möglichkeit kommt. Die anderen beiden sind ja klar.
Nun zu (1) nur für p=2: [mm] (a+bi)^{2}=(a^{2}+b^{2})+2abi \sim [/mm] p
Hier bin ich mir leider auch etwas unsicher folgt, das direkt daruas das p [mm] \sim \pi^{2} [/mm] und da die Norm von [mm] \pi [/mm] =p ist muss es doch auch assozziert zu der allgemeinen Norm sein oder sehe ich das völlig falsch?
Sei p [mm] \not=2. [/mm] Dann haben wir Fall (2) [mm] \gdw [/mm] R/pR [mm] \cong \IF_{p}[\overline{i}] \cong \IF[x]/(x^{2}+1)=Körper
[/mm]
Hier verstehe ich leider nicht wieso diese Isomorphien gelten und warum die Äquivalent zu Möglichkeit (2) sind.
Kann mir das vielleicht jemand erklären? Denn ich glaube nicht das es großartig Sinn macht den Beweis weiter zu bearbeiten wenn ich schon zu Beginn scheitere. Ich hoffe jemand hat Zeit und Lust mir eventuell auch mehr Hintergrundinfos zur Thematik zu geben als ich vielleicht gerade so benötige.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Fr 09.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
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> ich bin wieder mal fleißig am Vorlesung nachbereiten und
> auf Probleme gestoßen, die ich mir nicht selber klären
> kann. Es geht um den Beweis zu dem Satz:
> "Jede Primzahl p [mm]\in \IZ[/mm] ist Primelement von R= [mm]\IZ[i][/mm] "[/i][/mm]
Die Behauptung nicht wahr: $5$ ist z.B. kein Primelement von $R$, es ist nicht einmal irreduzibel. Vermutlich geht ihr der Frage nach, welche Primzahlen in $R$ prim bleiben.
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Nun zu dem Beweis an sich:[/i][/mm]
> [mm][i] Benutze die Normabbildung [/i][/mm]
> [mm][i][mm]N(a+bi)=a^{2}+b^{2}=||a+bi||^{2},[/mm] N(xy)=N(x)N(y) und x [mm]\in[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]R:N(x)=1 [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in R^{\times}.[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] Wenn p= [mm]\pi_{1}....\pi_{r}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]mit [mm]\pi_{i}[/mm] Primelementen [mm]\Rightarrow N(p)=p^{2}=N(\pi_{1})....N(\pi_{r}).[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]Dann gibt es nur 3 Möglichkeiten:[/i][/mm]
> [mm][i] (1) p [mm]\sim \pi^{2}, N(\pi)=p[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] (2) [mm]p=\pi, N(\pi)=p^{2}[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] (3) [/i][/mm]
> [mm][i][mm]p=\pi_{1} \pi_{2}, N(\pi_{1})=N(\pi_{2})=p[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [red]Die Frage mag [/red][/i][/mm]
> [mm][i][red]vielleicht trivial sein aber mir ist nicht ganz klar wie [/red][/i][/mm]
> [mm][i][red]man auf die erste Möglichkeit kommt. Die anderen beiden [/red][/i][/mm]
> [mm][i][red]sind ja klar.[/red][/i][/mm]
Man nutzt dafuer natuerlich auch die Gleichung [mm] $N(p)=p^{2}=N(\pi_{1})....N(\pi_{r})$ [/mm] aus. Mache Dir klar, dass nur noch $r=1$ oder $r=2$ sein kann. Der Fall $r=2$ unterteilt sich in zwei weitere,von denen einer Deine Nummero 1. ist. Erklaere doch einmal, wie Du Dir die Faelle 2. und 3. erklaert hast, dann gelingt es vielleicht besser auch den ersten einzusehen.
> [mm][i] Nun zu (1) nur für p=2: [mm](a+bi)^{2}=(a^{2}+b^{2})+2abi \sim[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]p[/i][/mm]
> [mm][i] [red]Hier bin ich mir leider auch etwas unsicher folgt, das [/red][/i][/mm]
> [mm][i][red]direkt daruas das p [mm]\sim \pi^{2}[/mm] und da die Norm von [mm]\pi[/mm] =p [/red][/i][/mm]
> [mm][i][red]ist muss es doch auch assozziert zu der allgemeinen Norm [/red][/i][/mm]
> [mm][i][red]sein oder sehe ich das völlig falsch?[/red][/i][/mm]
Die Rechnung ergibt sich aus der Voraussetzung $p=2 [mm] \sim \pi^{2}, N(\pi)=p$, [/mm] aber das erscheint mir sehr unvollstaendig (wo bleiben die Einheiten von $R$). Zumal ihr auch keine Schlussfolgerung gezogen zu haben scheint.
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Sei p [mm]\not=2.[/mm] Dann haben wir Fall (2) [mm]\gdw[/mm] R/pR [mm]\cong \IF_{p}[\overline{i}] \cong \IF[x]/(x^{2}+1)=Körper[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][red]Hier verstehe ich leider nicht wieso diese Isomorphien [/red][/i][/mm]
> [mm][i][red]gelten und warum die Äquivalent zu Möglichkeit (2) sind.[/red][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Kann mir das vielleicht jemand erklären? Denn ich glaube [/i][/mm]
1. Es gilt natuerlich [mm] $p\IZ\leq \IZ\cap [/mm] pR$, wobei [mm] $\IZ\cap [/mm] pR$ ein Ideal von [mm] $\IZ$ [/mm] ist. [mm] $p\IZ$ [/mm] ist maximales Ideal von [mm] $\IZ$. [/mm] Mache Dir klar, dass nur noch [mm] $p\IZ= \IZ\cap [/mm] pR$ sein kann. In jedem Falle ist damit [mm] $\IZ+pR/pR\cong \IZ/p\IZ= F_{p}$ [/mm] ein Teilkoerper von $R/pR$.
2. Betrachte den Homomorphismus (mache Dir kar, dass es Homomorphismus ist) [mm] $\phi:R\to \IZ/p\IZ[i]$, [/mm] wobei [mm] $a+ib\mapsto a+p\IZ+i(b+p\IZ)$. [/mm] $phi$ ist offenbar surjektiv. Ueberelege Dir, dass sein Kern $pR$ ist.
3. Aus 1. und 2. folgt nun, dass $R/pR$ einen Teilkoerper $K$ (isomoprph zu [mm] $F_{p}$) [/mm] enthaelt und ferner $R/pR= K[i]$ gilt. Insbesondere ist $R/pR$ endlich. Zeige, dass $R/pR$ genau dann nullterfrei ist, wenn $R/pR$ ein Koerper ist.
4. Wenn Du nun noch beachtest, dass $2$ aequivalent dazu ist, dass $p$ in $R$ prim, also $pR$ ein Primideal von $R$ ist, dann sollten sich alle Aequivalenzen mehr oder weniger muehelos einsehen lassen.
> [mm][i]nicht das es großartig Sinn macht den Beweis weiter zu [/i][/mm]
> [mm][i]bearbeiten wenn ich schon zu Beginn scheitere. Ich hoffe [/i][/mm]
> [mm][i]jemand hat Zeit und Lust mir eventuell auch mehr [/i][/mm]
> [mm][i]Hintergrundinfos zur Thematik zu geben als ich vielleicht [/i][/mm]
> [mm][i]gerade so benötige.[/i][/mm]
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> [mm][i]LG Schmetterfee [/i][/mm]
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